Überabzählbare Menge

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Dabei heißt eine Menge abzählbar, wenn sie entweder endlich ist oder eine Bijektion zur Menge der natürlichen Zahlen existiert. Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (entspricht der Anzahl der Elemente bei endlichen Mengen) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.

Anschaulich gesprochen ist eine Menge überabzählbar, wenn jede Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ von Elementen der Menge unvollständig ist.

Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Cantors zweites Diagonalargument ist ein Widerspruchsbeweis, mit dem er 1877 die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewies. (Das erste Diagonalargument ist der Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen.)

Im Gegensatz zur allgemeinen Meinung ist dieser Beweis nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem zweiten Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

Vergleich der Mächtigkeit einer Menge und ihrer Potenzmenge

Mit einer Verallgemeinerung des Cantorschen Verfahrens kann man zeigen, dass die Menge aller Teilmengen einer Menge $M$, die so genannte Potenzmenge $P(M)$ von $M$ überabzählbar ist, wenn $M$ unendlich viele Elemente hat. Genauer: Man kann zeigen, dass $P(M)$ eine höhere Mächtigkeit hat als $M$. Mit Hilfe der Potenzmenge lassen sich unendlich viele verschiedene Klassen von Unendlichkeit konstruieren.

Nach der Kontinuumshypothese gibt es keine überabzählbaren Mengen, deren Mächtigkeit kleiner als die der reellen Zahlen ist. Es konnte jedoch gezeigt werden, dass diese Hypothese grundsätzlich nicht entscheidbar ist.

Weblinks

• Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre - (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band I ab Seite 75 (Navigationsleiste 83:75))
• Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 77: 258-262