Doppelspaltexperiment

Doppelspaltexperiment

Beim Doppelspaltexperiment lässt man Wellen, zum Beispiel kohärente Lichtwellen, durch eine Blende mit zwei schmalen, parallelen Spalten treten. Auf einem Beobachtungsschirm in einer Distanz zur Blende, die sehr viel größer ist als der Abstand a der beiden Spalte, zeigt sich ein Interferenzmuster. Dieses Muster entsteht durch Beugung der Wellenausbreitung am Doppelspalt. Bei monochromatischem Licht (z. B. von einem Laser) besteht dieses Muster auf dem Schirm aus hellen Streifen (Maxima) und dunklen Streifen (Minima). Voraussetzung zur Beobachtung des Interferenzmusters ist, dass die Wellenlänge λ kleiner als der Abstand a der beiden Spalte ist.

Das Experiment wurde 1802 von Thomas Young durchgeführt, um der Wellentheorie des Lichts den Vorrang vor der Korpuskeltheorie zu geben. Der Streit zwischen diesen beiden Theorien schien bis zu Einsteins Arbeiten zum Photoelektrischen Effekt entschieden. Seither dient es insbesondere dazu, in der Quantenmechanik den Welle-Teilchen-Dualismus zu illustrieren. Es kann nicht nur mit Licht, sondern auch mit Teilchen (Elektronen, Neutronen, Atomen, Molekülen wie z. B. Fullerenen) durchgeführt werden. Die dabei beobachteten Interferenzmuster zeigen, dass auch Objekte Welleneigenschaften haben, die in der klassischen Physik nur als Teilchen angesehen werden. Bei diesen Materiewellen tritt die De-Broglie-Wellenlänge an die Stelle der Wellenlänge des Lichts.

Geschichte

Thomas Young

1802 führte Thomas Young das Experiment erstmals durch, um die Wellennatur des Lichtes zu beweisen.

1927 zeigten Clinton Davisson und Lester Germer die Welleneigenschaften von Elektronen anhand der Beugung eines Elektronenstrahls an einem Nickel-Kristall. Der Kristall wirkt dabei als Reflexionsgitter. Statt zweier Spalte sind hier sehr viele Streuzentren im Spiel.

1961 wurde das Doppelspaltexperiment mit Elektronen durch Claus Jönsson durchgeführt und gelingt inzwischen auch mit Atomen und Molekülen.

Experimentelle Beobachtung

Interferenzmuster eines Doppelspaltexperiments mit verschiedener Anzahl Elektronen (b: 200, c: 6000, d: 40000, e: 140000).

• Die beiden interferierenden Wellen müssen eine feste Phasenbeziehung zueinander haben, damit überhaupt Interferenz auftreten kann. Ausreichende räumliche Kohärenz ist gegeben, wenn die Breite der Quelle (bei Young ein Eintrittsspalt) aus Sicht des Doppelspaltes nicht aufgelöst werden kann (siehe Rayleigh-Kriterium). Die Anforderung an die zeitliche Kohärenz hängt davon ab, wie viele Streifen man neben dem zentralen Streifen erkennen will. Mit ‘inkohärentem’ Tageslicht erscheint bereits die erste Beugungsordnung bunt. Mehr dazu unter Kohärenz.
• Deckt man einen der beiden Blendenspalte ab, beobachtet man nun je nach Breite b des Spaltes entweder ein Beugungsmuster am Einzelspalt (b → Wellenlänge λ) oder aber einen breiten, hellen Streifen hinter dem jeweils geöffneten Spalt mit Interferenzmustern hinter den Kanten des Spaltes (b ≫ λ).
• Versucht man, durch eine beliebige Apparatur (einen sog. Quantenradierer) herauszufinden, welchen Weg ein bestimmtes Teilchen genommen hat (durch Spalt 1 oder Spalt 2), verschwindet das Interferenzmuster. Diese Information erhält man auch dadurch, dass man einen der Spalte abdeckt. Dieses Verschwinden wird in der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik durch den sogenannten Kollaps der Wellenfunktion erklärt. Das bedeutet, dass das System bei Interferenz in einer Überlagerung der beiden möglichen Wege ist, während eine Messung des tatsächlichen Weges dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird. Dies gilt auch, wenn der Weg des Teilchens erst später festgestellt wird.
• Bezüglich des Interferenzmusters muss beachtet werden, dass die Energie des Lichts nicht reduziert wird. Vielmehr handelt es sich lediglich um eine Umverteilung der Energie (Licht) – die Energie bleibt also erhalten.
• Das Interferenzmuster hängt nicht von der Anzahl oder Gleichzeitigkeit der beteiligten Photonen ab. Bei einer langsamen Folge von einzelnen Teilchen baut sich das Interferenzmuster langsam auf der Photoplatte auf. Nach dem Detektieren von immer mehr Teilchen sieht man die bekannte Verteilung immer genauer. Das ist das eigentlich Überraschende, denn jedes einzelne Teilchen „kennt“ die früher oder später kommenden Teilchen nicht, jeder „Durchflug“ eines Teilchens durch den Doppelspalt ist unabhängig von den anderen. Daher muss auch die Verteilung der Wahrscheinlichkeit des Ankommens an den Positionen auf der Photoplatte bei jedem einzelnen Durchflug entstehen. Das lässt sich als Interferenz der Teilchen mit sich selbst interpretieren.

Physikalische Beschreibung

Schematische Darstellung des Doppelspaltexperiments

Der folgende Abschnitt geht von einem senkrechten Einfall einer ebenen Welle der Wellenlänge $\lambda$ auf einen Doppelspalt mit Spaltbreite b und Spaltmittenabstand a aus. In der Spaltebene sind die Phasen noch im Gleichtakt, Phasenunterschiede, die den Interferenzeffekt ausmachen, ergeben sich erst durch die Abstände s von Punkten in den Spaltöffnungen zum Beobachtungspunkt (rote Linien). Der Abstand d des Schirms soll groß sein, $d\gg {\tfrac {a^{2}}{\lambda }}$, Fernfeldnäherung.

Orte der Minima und Maxima durch Interferenz der beiden Spalte

Ein Minimum der Intensität findet man für solche Orte, wo der Gangunterschied $\Delta s$ von den Spaltmitten aus ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, also $\Delta s=\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {3}{2}},\,\pm {\tfrac {5}{2}},\,\dots \right)\cdot \lambda$. Dann sind die beiden Teilwellen gegenphasig und löschen sich aus. Das gilt auch für den Fall, dass die Breite der Spaltöffnungen nicht klein gegenüber der Wellenlänge ist. Dann variiert zwar s merklich mit der Lage des Punktes innerhalb der Spaltbreite, aber zu jedem Punkt in dem einen Spalt gibt es im Abstand a einen Punkt im anderen Spalt, von dem aus die Welle gegenphasig ankommt.

Maxima befinden sich etwa mittig zwischen den Minimumstellen, wo mit $\Delta s=\left(0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots \pm n\right)\cdot \lambda$ konstruktive Interferenz gegeben ist. Für höhere Beugungsordnungen n nehmen die Maximalintensitäten ab, denn die konstruktive Interferenz gilt zwar paarweise für Punkte in beiden Spalten, aber nicht für die Variation der Punktposition innerhalb des Spaltes (s.u.).

Für den Zusammenhang zwischen dem Gangunterschied $\Delta s$ und der Position $x$ auf dem Schirm liest man aus der Zeichnung ab:

$\arcsin {\frac {\Delta s}{a}}=\arctan {\frac {x}{d}}$

also für kleine Winkel ungefähr

${\frac {\Delta s}{a}}={\frac {x}{d}}\,.$

Damit beträgt die Periode des Streifenmusters $\lambda \cdot {\frac {d}{a}}$.

Das Interferenzmuster

Intensitätsverteilung hinter einem Doppelspalt (rot). Die Einhüllende (grau) ist das Beugungsbild eines der beiden Einzelspalte.

Allerdings hat bereits jeder der beiden Einzelspalte ein Beugungsmuster, da für verschiedene Winkel $\alpha$ sich die obere und die untere Hälfte des Einzelspalts der Breite b gerade aufheben. Die Intensität des Doppelspaltes ist daher das Produkt der Intensität des Einzelspaltes und zweier punktförmiger Quellen im Abstand a:

$I(\alpha )=I_{0}\left({\frac {\sin \gamma }{\gamma }}\right)^{2}\cos ^{2}\delta$

wobei $\gamma ={\frac {k_{x}}{2}}b$ und $\delta ={\frac {k_{x}}{2}}a$ bzw. $\gamma ={\frac {k}{2}}b\sin \alpha$ und $\delta ={\frac {k}{2}}a\sin \alpha$ sind.

Dabei ist $\alpha$ der Beobachtungswinkel, $b$ die Spaltbreite, $a$ der Spaltabstand, $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl und $k_{x}=k\cdot \sin \alpha$ die Wellenzahlkomponente quer zu den Spalten.

Einfluss von Spaltgeometrie und Wellenlänge

Setzt man die Ausdrücke für $\gamma$ und $\delta$ in die Gleichung des Interferenzmusters ein, so werden die Einflüsse von Spaltgeometrie und Wellenlänge des einfallenden Lichtes auf das Aussehen des Interferenzmusters deutlich:

$I(\alpha )=I_{0}\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {k}{2}}b\sin \alpha \right)}{{\frac {k}{2}}b\sin \alpha }}\right)^{\!2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {k}{2}}a\sin \alpha \right)$

mit $k=2\pi /\lambda$.

• Eine Änderung der Spaltbreite b führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Einfachspaltes, dessen Intensitätsverteilung (im Bild blau) die Hüllkurve der Intensitätsverteilung des Doppelspalts bildet (im Bild rot)

→ Je breiter der Spalt, desto enger wird die Hüllkurve

• Eine Änderung des Spaltabstandes a führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Doppelspalts innerhalb der konstant bleibenden Hüllkurve

→ Je größer der Spaltabstand, desto enger liegen die Extrema des Doppelspalts beieinander

• Eine Änderung der Wellenlänge λ wirkt sich sowohl auf die Hüllkurve, wie auch auf die Intensitätsverteilung des Doppelspalts aus

→ Je größer die Wellenlänge, desto breiter werden Hüllkurve und die Interferenzabstände des Doppelspalts

Berechnung mit Fourier-Optik

Das Interferogramm einer Spaltkonstellation lässt sich auch mit Hilfe der Fourier-Optik berechnen. Dabei wird ausgenutzt, dass im Falle der Fraunhofer-Beugung das Beugungsmuster der Fouriertransformierten der Autokorrelation der Blendenfunktion entspricht. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass sich auch das Beugungsbild komplizierterer Mehrfachspalte und Gitter schnell berechnen lässt. Wesentlich ist dabei die Ausnutzung des Faltungstheorems.

Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die zwei Einzelspalte mit Abstand a symmetrisch zum Schnitt der Koordinatenachsen liegen. Die Blendenfunktion der zwei identischen Spalte mit Breite b im Ortsraum lautet

$(\delta (x\pm d))*\operatorname {rect} _{b}(x)=(\delta (x+a/2)+\delta (x-a/2))*\operatorname {rect} _{b}(x)$

wobei $*$ den Faltungsoperator und $\operatorname {rect} _{b}(x)$ die Rechteckfunktion bezeichnet.

Die Fouriertransformierte der gegebenen Blendenfunktion ist nach dem Faltungstheorem das Produkt aus der Fouriertransformierten der Rechteckfunktion und der Fouriertransformierten der zwei Delta-Distributionen.

${\mathcal {F}}[\operatorname {rect} _{b}(x)](k_{x})=b\cdot \operatorname {si} \left({\frac {b}{2}}k_{x}\right)=b{\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}={\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{\frac {k_{x}}{2}}}$

${\mathcal {F}}[\delta (x\pm d)](k_{x})=\cos(a\cdot k_{x}/2)$

Daraus folgt für die Intensität am Schirm ein Cosinus mit einer Sinc-Funktion als Einhüllende. Die Funktion weist die charakteristischen $N-1=1$ Nebenmaxima eines $N=2$-fach-Spaltes auf (siehe auch Optisches Gitter).

$I(k)=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}\cdot \cos({\frac {k_{x}}{2}}a)\right)^{2}$

Mit $I_{0}$ als Intensitätskonstante.

Für $k_{x}=k\cdot \sin \alpha$ folgt die oben bereits gezeigte Beziehung für $I(\alpha )$.

Siehe auch

• Heisenbergsche Unschärferelation
• Zustand (Quantenmechanik)
• Quantenmechanische Messung

Literatur

• John Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze. Quantenphysik und Wirklichkeit. 5. Auflage. Piper, 2004, ISBN 3-492-24030-5.
• Claus Jönsson: Interferenz von Elektronen am Doppelspalt. In: Zeitschrift für Physik, Nr. 161, 1961, S. 454–474.
• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2003, ISBN 3-527-40366-3.
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2 : Elektrizität und Optik. 3. Auflage. Springer, Berlin, 2004, ISBN 3-540-20210-2.

Weblinks

Wiktionary: Doppelspaltexperiment – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Doppelspaltexperiment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wikibooks: Optik#Beugung am Doppelspalt – Lern- und Lehrmaterialien

• Video zur Interferenz einzelner Photonen (Veritasium, Englisch)
• Doppelspaltversuch – Einführung mit interaktiven Animationen (Universität Ulm)
• Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt (mit Versuchsaufbauten, Simulationen etc.) (LEIFI)
• Vielstrahlinterferenz, Schiller- und Strukturfarben (D. Zawischa, Uni Hannover)