Erzeuger (Algebra)

Das Erzeugendensystem ist ein Begriff auf der Mathematik, der insbesondere im Bereich der Algebra gebraucht wird. Das Erzeugendensystem ist eine Teilmenge eines mathematischen Raumes, also einer Menge mit einer Struktur. Durch eine strukturverträgliche Konstruktion kann aus dem Erzeugendensystem eine Teilmenge des Ausgangsraums erstellen. Diese erzeugte Teilmenge nennt man das Erzeugnis der vorgegebenen Menge beziehungsweise des Erzeugendensystems in dem betrachteten Raum.

Mit der Strukturverträglichkeit ist gemeint, dass die Axiome, die für den Raum mit seiner Struktur gelten, auch für eine Teilmenge mit der entsprechend eingeschränkten Struktur gelten. Eine solche Teilmenge nennt man dann auch einen Unterraum.

Beispiele für Erzeugnisse sind

• die Menge der Linearkombinationen eines Erzeugendensystems in einem Vektorraum (siehe Lineare Hülle).
• das Erzeugnis einer Teilmenge einer Gruppe in dieser Gruppe.

Zu einem vorgegebenen Erzeugnis ist das Erzeugendensystem jedoch nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist meistens leicht zu zeigen, da man oft das Erzeugnis selbst als Erzeugendensystem wählen kann. dies ist aber selten hilfreich. Oft wird versucht, das Erzeugendensystem minimal zu wählen. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom Zornschen Lemma Gebrauch(siehe bspw. Existenz einer Basis in Vektorräumen).

Konstruktionsverfahren

Mittels eines Erzeugendensystems kann ein mathematischer Raum konstruiert werden. Dazu gibt es zwei meist unterschiedliche Verfahren.

Zum einen kann man den Schnitt aller Unterräume, welche das Erzeugendensystem umfassen, betrachten. Da das Erzeugendensystem Teilmenge des betrachteten Raumes ist, ist stets der Raum selbst ein Unterraum, welcher das Erzeugendensystem umfasst. Das ist wichtig, damit die Definition sinnvoll ist, da der Schnitt über eine leere Menge selbst keine Menge ist.

Bei dem anderen Konstruktionsverfahren betrachtet man die Menge der möglichen Strukturkombinationen mit Elementen aus dem Erzeugendensystem. Beim Vektorraum etwa die Menge der Linearkombinationen mit Elementen des Erzeugendensystems.

Konkrete Beispiele

Die Gruppe der ganzen Zahlen

Ein anschauliches Beispiel ist die Gruppe $(\mathbb {Z} ,0,+)$ mit dem neutralen Element 0. Die erlaubten Operationen sind hier die Addition und der Übergang zum Negativen einer Zahl, denn dies sind genau die Gruppenoperationen.

Die leere Menge $E=\emptyset \subseteq \mathbb {Z}$ erzeugt die triviale Untergruppe $\{0\}\subseteq \mathbb {Z}$, denn von einer Untergruppe verlangt man, dass sie das neutrale Element enthält und dann ist $\{0\}$ die kleinste Untergruppe, die die leere Menge enthält, denn es ist die kleinste Untergruppe überhaupt.

$\mathbb {Z}$ wird als Gruppe von $\{1\}$ erzeugt, das heißt $1$ ist ein Erzeuger von $\mathbb {Z}$, denn jede positive Zahl lässt sich durch sukzessive Addition 1+...+1 aus der 1 gewinnen und alle weiteren als 1+(-1)+...+(-1).

In diesem Fall ist das Erzeugendensystem minimal, denn die einzige echte Teilmenge ist die leere Menge, und diese ist kein Erzeugendensystem für $\mathbb {Z}$. Ein weiteres Erzeugendensystem ist $E=\{2,3\}$, denn das Erzeugnis enthält 1 = 3+(-2) und daher ganz $\mathbb {Z}$, da wir ja schon wissen, dass 1 ein Erzeuger ist. Es ist sogar minimal, das heißt keine echte Teilmenge von E ist ein Erzeugendensystem. Dieses Beispiel zeigt, dass minimale Erzeugendensysteme nicht unbedingt von minimaler Mächtigkeit sein müssen, denn $\{1\}$ ist ein Erzeugendensystem von echt kleinerer Mächtigkeit.

Im Allgemeinen wird $\mathbb {Z}$ von einer nicht-leeren Teilmenge $E\subseteq \mathbb {Z}$ erzeugt, wenn der größte gemeinsame Teiler $d$ aller Elemente aus $E$ den Betrag $|d|=1$ hat. Das zeigt der Euklidische Algorithmus, denn dieser produziert als Nebenprodukt eine Darstellung von $d$ als ganze Linearkombination von Elementen aus $E$ (und jede solche Linearkombination wird von $d$ geteilt).

Allgemeine Beispiele

Vektorräume

Eine Menge $E\subseteq V$ von Vektoren eines $K$-Vektorraums $V$ heißt Erzeugendensystem des Vektorraums, falls jedes Element $v\in V$ als Linearkombination von Vektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}$ aus der Menge $E$ darstellbar ist:

$v=\lambda _{1}e_{1}+\ldots +\lambda _{n}e_{n},\quad \lambda _{i}\in K.$

Ist die Menge $E$ endlich, so spricht man auch von einem endlich erzeugten Vektorraum. Ist nun ein Vektorraum $V$ gegeben, so kann man nach der kleinsten Anzahl von Vektoren fragen, welche $V$ erzeugen. Ein minimales Erzeugendensystem existiert in diesem Fall und heißt Basis des Vektorraums $V$, die Kardinalität einer Basis gibt die Dimension des Vektorraums $V$ an.

Da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Unterräumen wiederum Unterraum von $V$ ist, und $V$ einen Unterraum (sich selbst) besitzt, der $E$ enthält, kann man den Durchschnitt aller Unterräume von $V$ betrachten, die $E$ enthalten. Dieser ist offenbar der kleinste Unterraum im Sinne der Inklusion, welcher die Eigenschaft besitzt, $E$ als Teilmenge zu enthalten. Es ist nicht schwer, zu zeigen, dass dieser Unterraum genau der von $E$ im Sinne der vorherigen Definition erzeugte ist (d. h. $W$ besteht als allen möglichen Linearkombinationen aus Element aus $E$).

Gruppen

Im Falle einer Gruppe $G$ wird die von einer Teilmenge $E\subseteq G$ erzeugte Untergruppe oft mit $\langle E\rangle$ bezeichnet. Gilt $\langle E\rangle =G$, so sagt man, dass $G$ von der Menge $E$ erzeugt wird. Besitzt die Gruppe $G$ ein endliches Erzeugendensystem so heißt die Gruppe endlich erzeugt.

Anschaulich enthält $\langle E\rangle$ das neutrale Element von $G$ sowie alle endlichen Produkte $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ für die für $1\leq i\leq n$ jeweils $a_{i}\in E$ oder $a_{i}^{-1}\in E$ gilt.

Ist insbesondere $E$ einelementig, d. h. $E=\{g\}$, so schreibt man statt $\langle \{g\}\rangle$ auch $\langle g\rangle$ und nennt $\langle g\rangle$ zyklisch mit Erzeuger $g$. Hier gilt $\langle g\rangle =\{g^{z}\mid z\in \mathbb {Z} \}$, d. h. das Erzeugnis besteht aus den ganzzahligen Potenzen des Erzeuger $g$.

Allgemein ist das Erzeugnis $\langle E\rangle$ das Bild unter der kanonischen Abbildung $h:F(E)\to G$ der freien Gruppe $F(E)$ über der Menge $E$, wobei $h$ die Inklusion $f:E\to G$ fortsetzt. Dies erklärt die obige explizite Beschreibung des Erzeugnisses. Weiterhin findet diese Interpretation wichtige Anwendungen in der Gruppentheorie. Wir nehmen an, dass $f$ surjektiv ist, d. h. dass $G$ von $E$ erzeugt wird. Die Kenntnis des Kernes $N$ von $h$ bestimmt dann $G$ bis auf Isomorphie eindeutig. In günstigen Fällen lässt sich der Kern selbst wiederum durch Erzeuger $M\subseteq N$ einfach beschreiben. Das Datum $(E,M)$ legt dann $G$ bis auf Isomorphie eindeutig fest.

Topologien

In der Topologie ist der Begriff des Erzeugendensystems mit dem der Subbasis gleichbedeutend. Hierbei handelt es sich um ein Mengensystem ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {T}}$ offener Teilmengen eines topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$ , welches die Topologie ${\mathcal {T}}$ erzeugt. Dies bedeutet, dass aus den in ${\mathcal {T}}$ enthaltenen Elementen allein durch die beiden Operationen der Bildung des Durchschnitts endlich vieler Mengen und der Bildung der Vereinigungsmenge beliebig vieler Mengen jede offene Menge $O\subseteq X$ erzeugt wird.

${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {T}}$ ist also dadurch gekennzeichnet, dass ${\mathcal {T}}$ die gröbste Topologie auf der Grundmenge $X$ ist, bezüglich welcher die Mengen in ${\mathcal {E}}$ alle offen sind. Mithin ist ${\mathcal {T}}$ der Durchschnitt aller Topologien auf $X$, welche ${\mathcal {E}}$ enthalten.

Kann sogar die Topologie ${\mathcal {T}}$ aus ${\mathcal {E}}$ allein durch Bildung beliebiger Vereinigungsmengen erzeugt werden, so nennt man ${\mathcal {E}}$ eine Basis der Topologie ${\mathcal {T}}.$

Topologische Gruppen

In der Theorie der topologischen Gruppen interessiert man sich in der Regel für abgeschlossene Untergruppen und vereinbart daher, unter dem Erzeugnis einer Teilmenge $E$ die kleinste abgeschlossene Untergruppe, die $E$ enthält, zu verstehen.

Da die Verknüpfung und die Inversenbildung stetig sind, ist der Abschluss ${\overline {\langle E\rangle }}$ des algebraischen Erzeugnisses $\langle E\rangle$ wieder eine Untergruppe von $G$. Daher ist das Erzeugnis einer Teilmenge $E\subseteq G$ einer topologischen Gruppe $G$ der Abschluss des Gruppenerzeugnisses $\langle E\rangle$.

Besitzt $G$ als topologische Gruppe ein endliches Erzeugendensystem, so wird $G$ auch als topologisch endlich erzeugt bezeichnet.

Da $\mathbb {Z}$ in den ganzen p-adischen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$ dicht ist, wird $\mathbb {Z} _{p}$ als topologische Gruppe von $1$ erzeugt. Es ist also topologisch endlich erzeugt. Aus der Terminologie der proendlichen Gruppen leitet sich ab, dass $\mathbb {Z} _{p}$ prozyklisch ist.

Ringe

Als Ring mit Eins wird $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ von der leeren Menge erzeugt. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass $\mathbb {Z}$ das Initialobjekt in der Kategorie der Ringe mit Eins ist.

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1. Ein Erzeugendensystem eine Ideals $I\subset R$ ist eine Menge $J\subset I$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes $a\in I$ als $a=r_{1}a_{1}+\ldots +r_{n}a_{n}$ mit $r_{i}\in R,a_{i}\in J,i=1,\ldots ,n$ zerlegen lässt. Ein Ideal $I\subset R$ heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge $\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\subset I$ mit $I=Ra_{1}+\ldots Ra_{n}$ gibt. Ein Hauptideal ist ein von einer 1-elementigen Menge erzeugtes Ideal. Insbesondere ist der Ring R ein Hauptideal, denn er wird von $\left\{1\right\}$ erzeugt. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn alle Ideale endlich erzeugt sind.

Äquivalenzrelationen

Äquivalenzrelationen sind manchmal schwierig explizit zu beschreiben. Oftmals möchte man eine Äquivalenzrelation konstruieren, die gewisse vorgegebene Elemente miteinander identifiziert und zugleich gewisse Eigenschaften erhält, bspw. mit vorgegebenen Verknüpfungen verträglich ist (d.h. eine Kongruenzrelation ist).

Sei eine Menge $X$ gegeben und eine beliebige Relation $R\subseteq X\times X$. Dann kann die durch $R$ erzeugte Äquivalenzrelation $\sim _{R}$ auch dadurch beschrieben werden, dass $a\sim _{R}b$ genau dann gilt, wenn

• $a=b$ oder
• es gibt endlich viele Elemente $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$ mit $c_{0}=a$, $c_{n}=b$ und für $0\leq i<n$ jeweils $c_{i}Rc_{i+1}$ oder $c_{i+1}Rc_{i}$.

Die explizite Angabe ist hier also relativ kompliziert.

Kongruenzrelationen

Obiges Konzept wird insbesondere zur Konstruktion von Normalteilern und Idealen oder allgemeiner Kongruenzrelationen angewandt.

Der von einer Teilmenge $E$ einer Gruppe $G$ erzeugte Normalteiler $N$ (d.h. der kleinste Normalteiler, welcher $E$ enthält) ist nichts anderes als die feinste Äquivalenzrelation $\equiv _{E}$ auf $G$, welche alle Elemente in $E$ miteinander identifiziert und zugleich mit der Gruppenverknüpfung verträglich ist (d.h. eine Kongruenzrelation ist). Genauso wie $N$ der Durchschnitt aller $E$ enthaltenden Normalteiler ist, ist $\equiv _{E}\subseteq G\times G$ der Durchschnitt aller Äquivalenzrelationen auf $G$, welche $E\times E$ enthalten und welche die Gruppenverknüpfung respektieren.

Analoges gilt mutatis mutandis für die Konstruktion von Idealen und entsprechenden Kongruenzrelationen auf Ringen.

σ-Algebren

In der Maß- und Integrationstheorie untersucht man sogenannte σ-Algebren. Man betrachtet zum Beispiel einen topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ und sucht in diesem eine kleinste σ-Algebra auf $X$, die alle offenen Mengen enthält, also die von ${\mathcal {T}}$ erzeugte σ-Algebra. Die dadurch eindeutig bestimmte σ-Algebra heißt die Borelsche σ-Algebra. Diese ist in der Integrationstheorie von zentraler Bedeutung. Hier steht die zweite Form des besagten Prinzips im Vordergrund, da es im Allgemeinen schwierig ist, das Erzeugnis als solches explizit anzugeben.

Mengentheoretische Formulierung

Es sei eine Grundmenge $X$ und ein System ${\mathfrak {B}}\subseteq \operatorname {Pot} (X)$ von Teilmengen von $X$ gegeben. Diese Teilmengen entsprechen dabei den mathematischen Objekten, die im Folgenden betrachtet werden. Im obigen Beispiel von Vektorräumen ist also $X=V$ und ${\mathfrak {B}}$ die Menge der Unterräume von $V$. Sei weiter eine Menge $E\subseteq X$ gegeben. Dann wird nach der kleinsten Menge $A\in {\mathfrak {B}}$ gefragt, so dass $E\subseteq A$ gilt. Die Menge $E$ ist also das Erzeugendensystem, im obigen Beispiel gilt also $E={\mathfrak {E}}$. Ein solches Element $A$ existiert und ist eindeutig bestimmt, sofern gilt

1. ${\mathfrak {B}}$ ist stabil unter beliebigen Durchschnitten, d. h. ist $S\subseteq {\mathfrak {B}}$ nichtleere Teilmenge, so ist auch der Durchschnitt $\bigcap S$ Element des Mengensystems ${\mathfrak {B}}$
2. Es gibt mindestens ein Element $A$ aus ${\mathfrak {B}}$ mit der Eigenschaft $E\subseteq A$ (meist gilt $X\in {\mathfrak {B}}$).

Und zwar gilt dann

$A=\bigcap \{B\in {\mathfrak {B}}\mid E\subseteq B\}.$

Dies trifft auf alle obigen Beispiele zu. Im Falle von Gruppen ist das betrachtete Mengensystem ${\mathfrak {B}}$ die Menge der Untergruppen einer Gruppe $G$ und die Grundmenge ist $X=G$. Im Falle der σ-Algebren entspricht dem System ${\mathfrak {B}}$ die Menge der σ-Algebren auf $T$ und die Grundmenge $X$ analog die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(T)$. Dies gilt mutatis mutandis auch für alle anderen genannten Beispiele.

Siehe auch

• Hüllenoperator

Quellen

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin (u.a.) 1992, ISBN 3-11-013625-2.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7.
• Kurt Meyberg: Algebra. Bd. 1. Carl Hanser Verlag, München [u.a.] 1975, ISBN 3-446-11965-5.
• Christian Karpfinger - Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen - Ringe - Körper. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2600-0.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.