Frappé-Effekt

Frappé-Effekt: Abbildung eines kegelstumpfförmigem, dreidimensionalen Glases mit Markierungen der vermeintlichen und tatsächlichen halben Füllmenge

Als Frappé-Effekt wird die optische Täuschung über die tatsächliche Volumenverteilung in kegelförmigen Gefäßen bezeichnet. Bei seitlicher Ansicht eines konischen Trinkglases markieren Versuchspersonen die Trennlinie zwischen der oberen und unteren Hälfte des Volumens meist deutlich unter ihrer eigentlichen Lage, weil die dreidimensionale Abnahme des Volumens nicht ausreichend berücksichtigt wird.

Die Bezeichnung Frappé-Effekt stammt von den konischen Gläsern, in denen Frappés häufig serviert werden. Für Martinis und andere Cocktails verwendete Cocktailgläser haben häufig eine Form, die einem Kreiskegel noch näher kommt, als die Gläser von Kaffeegetränken.

Berechnung

Allgemeine Formeln

• Volumen eines beliebigen Kreiskegels:

$V={\frac {r^{2}\pi h}{3}}$

• Volumen eines Kegelstumpfs

$V={\frac {\pi \cdot h}{3}}\cdot (R^{2}+R\cdot r+r^{2})$

Mathematische Herleitung

Folgend werden die Berechnungen der Höhen der Flächen dargelegt, die ein kegelförmiges Gefäß in zwei, drei oder beliebig viele gleiche Teile zerlegen. Dabei wird stets von einem auf dem Kopf stehenden, geraden Kreiskegel (wie bei einem Getränkeglas) ausgegangen.

Höhe der Volumen-halbierenden Fläche

Abbildung eines konischen Körpers: Der Rauminhalt der Volumen A und B ist gleich groß.

Zur Berechnung der Höhe $x$ der Volumen-halbierenden Fläche in einem konischen Gefäß werden die beiden Teile separat berechnet. Das Volumen des unteren Teils (gerader Kreiskegel; in der Abbildung als $A$ bezeichnet) entspricht

$(I)V_{\text{A}}={\frac {z^{2}\pi x}{3}}$

Dabei entspricht die Höhe gerade $x$; der Radius wird als $z$ festgelegt. Das Volumen des oberen Teils (Kegelstumpf; in der Abbildung als $B$ bezeichnet) entspricht

$(II)V_{\text{B}}={\frac {\pi (h-x)}{3}}(r^{2}+rz+z^{2})$

Für den Radius der kleineren parallelen Kreisfläche wird wiederum $z$ als Variable eingesetzt; die Höhe entspricht $h-x$. Für die Berechnung der Volumen-halbierenden Höhe reicht eine der beiden Gleichungen aus. Einfacher zu berechnen ist der Teil $A$, weshalb die Gleichung $(I)$ verwendet wird. Auch die Berechnung mehrerer Volumen-teilender Flächen kann lediglich mit Gleichung $(I)$ erfolgen.

Der Radius $z$ entspricht nach den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck (Tangensfunktion; $x$ ist die Ankathete und $z$ die Gegenkathete)

$(III)z={\frac {x}{\tan(\displaystyle 90^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}})}}$

oder einfacher nach dem 1. Strahlensatz:

$(IV)z=x\cdot {\frac {r}{h}}$

Da der Radius normalerweise einfacher zu messen ist, bietet sich die Gleichung $(IV)$ an. Eingesetzt in $(I)$ ergibt sich

$V_{\text{A}}={\frac {(x\cdot {\frac {r}{h}})^{2}\pi x}{3}}$

Um die Höhe $x$ der Volumen-halbierenden Fläche zu ermitteln setzt man für $V_{\text{A}}$ die Hälfte des gesamten Volumens, also (nach der allgemeinen Volumengleichung für Kreiskegel) $\textstyle ({\frac {r^{2}\pi h}{6}})$ ein. Somit ergibt sich

${\frac {r^{2}\pi h}{6}}={\frac {(x\cdot {\frac {r}{h}})^{2}\pi x}{3}}$

$r^{2}$ und $\pi$ lassen sich eliminieren. Somit steht als einfache Formel zur Verfügung:

$x={\sqrt[{3}]{\frac {h^{3}}{2}}}$ oder $x\approx {\frac {h}{1.26}}$

Daraus wird ersichtlich, dass der Winkel $\varphi$ resp. der Radius $r$ für die Höhe der Flächen, die das Volumen eines konischen Gefäßes in zwei, drei oder $n$ Teile zerlegen, keine Rolle spielen (siehe Abbildung).

Abbildung von zwei konischen Cocktailgläsern mit gleicher Höhe aber unterschiedlichem Radius

Höhe der Deckflächen beliebig vieler Teile

Dieses Prinzip lässt sich auch auf die Berechnung eines Drittels (oder $n$-tels) der Füllmenge übertragen. Dazu wird die allgemeine Volumenformel für gerade Kreiskegel durch $n$ (statt wie oben durch 2) geteilt (resp. sie wird mit $\textstyle {\frac {1}{n}}$ multipliziert). Diese Formel wird dann analog zu oben in die Gleichung $(I)$ eingesetzt. Folglich erhält man

${\frac {r^{2}\pi h}{3n}}={\frac {(x\cdot {\frac {r}{h}})^{2}\pi x}{3}}$

Nach demselben Verfahren kann anschließend gekürzt werden und es ergibt sich eine einfache allgemeine Formel:

$x={\sqrt[{3}]{\frac {h^{3}}{n}}}$ oder $x={\frac {h}{\sqrt[{3}]{n}}}$

Um auch die weiteren $n-2$ Flächen (ohne die oberste Deckfläche) ihren Höhen zuzuordnen, kann nun die Gleichung $(II)$ verwendet werden. Einfacher geht es jedoch wiederum mit der Gleichung $(I)$ um die Höhe zwischen Boden und Fläche zu erhalten, statt nur die Höhe des Zwischenraums zwischen zwei Flächen. Somit wird für die nächste Fläche das Gesamtvolumen mit $\textstyle {\frac {2}{n}}$ multipliziert. Man erhält schlussendlich

$x={\sqrt[{3}]{\frac {2h^{3}}{n}}}$

Dieser Vorgang wird nun soviel mal wiederholt, bis alle Höhen bekannt sind. Die letzte Höhe (abgesehen von der Fläche auf dem Glasrand) hat dementsprechend den Wert

$x={\sqrt[{3}]{\frac {(n-1)h^{3}}{n}}}$