Kegelschnitt

Kegelschnitte

Ellipse: Definition

Parabel: Definition

Hyperbel: Definition

ausgeartete Kegelschnitte:
sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt

Ein Kegelschnitt (lateinisch sectio conica, englisch conic section) ist eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so entsteht als Schnitt entweder ein Punkt oder eine Gerade oder ein sich schneidendes Geradenpaar. Ist die Spitze nicht enthalten, so entsteht eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel.

Den Nachweis, dass dann wirklich diese in der Ebene als Ortskurven definierten Kurven entstehen, lässt sich ohne Rechnung mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln führen. Der rechnerische Nachweis wird hier im Abschnitt Ebene Schnitte des Einheitskegels gegeben.

Ein Kegelschnitt kann auch als zweidimensionaler Sonderfall einer Quadrik angesehen werden und durch eine Gleichung 2. Grades, die allgemeine Kegelschnittgleichung, beschrieben werden.

Gleichungen der Kegelschnitte

Die Kegelschnitte können in einem geeigneten x-y-Koordinatensystem durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:

• Ellipse mit Mittelpunkt M im Punkt (0,0) und der Hauptachse auf der x-Achse:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b=|MS_{3}|,\qquad a,b\neq 0\quad ,$ (s. Bild). (Für $a=b=r$ ergibt sich ein Kreis.)

• Parabel mit Scheitel im Punkt (0,0) und der Achse auf der y-Achse:

$y=ax^{2},\quad a={\frac {1}{4|SF|}},\qquad a\neq 0\quad ,$ (s. Bild).

• Hyperbel mit Mittelpunkt M im Punkt (0,0) und der Hauptachse auf der x-Achse:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b^{2}=|MF_{1}|^{2}-a^{2},\qquad a,b\neq 0\quad ,$ (s. Bild).

• Sich schneidendes Geradenpaar mit Schnittpunkt im Punkt (0,0):

$a^{2}x^{2}-y^{2}=0,\ a\neq 0.$

• Gerade durch den Punkt (0,0):

$x^{2}=0.$

• Punkt, der Punkt (0,0):

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=0,\ a,b\neq 0.$

Der Vollständigkeit halber werden noch zwei weitere Fälle hinzu genommen, die nicht als eigentliche Kegelschnitte auftreten, aber auch durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:

• Paralleles Geradenpaar:

$x^{2}=a^{2},\ a\neq 0.$

• Die leere Menge:

$x^{2}+y^{2}=-1$ oder $x^{2}=-1$.

Die letzten beiden Fälle können als ebene Schnitte eines geraden Kreiszylinders auftreten. Ein Kreiszylinder lässt sich als Grenzfall eines Kegels mit Kegelspitze im Unendlichen auffassen. Deshalb nimmt man diese beiden Fälle mit zu den Kegelschnitten.

Ebene Schnitte des Einheitskegels

Kegelschnitt-Fälle

Um festzustellen, dass die oben als Kegelschnitte bezeichneten Kurven/Punkte tatsächlich beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene auftreten, schneiden wir hier den Einheitskegel (gerader Kreiskegel) $K_{1}:x^{2}+y^{2}=z^{2}$ mit einer Ebene, die parallel zur y-Achse ist. Dies ist keine Einschränkung, da der Kegel rotationssymmetrisch ist. Ein beliebiger gerader Kreiskegel ist das affine Bild des Einheitskegels $K_{1}$ und Ellipsen/Hyperbeln/Parabeln/… gehen bei einer affinen Abbildung wieder in ebensolche über.

Gegeben: Ebene $\varepsilon :ax+cz=d\ ,$ Kegel $K_{1}:x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Gesucht: Schnitt $\varepsilon \cap K_{1}$.

• Fall I: $c=0$ In diesem Fall ist die Ebene senkrecht und $a\neq 0$ und $x=d/a$. Eliminiert man $x$ aus der Kegelgleichung, so erhält man $z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2}$.
  • Fall Ia: $d=0$. In diesem Fall besteht der Schnitt aus dem Geradenpaar $t(0,1,\pm 1),\ t\in \mathbb {R} .$.
  • Fall Ib: $d\neq 0$. Die obige Gleichung beschreibt jetzt eine Hyperbel in der y-z-Ebene. Also ist auch die Schnittkurve $\varepsilon \cap K_{1}$ selbst eine Hyperbel.
• Fall II: $c\neq 0$. Eliminiert man $z$ aus der Kegelgleichung mit Hilfe der Ebenengleichung, so erhält man das Gleichungssystem $(1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.$
  • Fall IIa: Für $d=0$ geht die Ebene durch die Kegelspitze $(0,0,0)$ und Gleichung (1) hat jetzt die Gestalt $(c^{2}-a^{2})x^{2}+c^{2}y^{2}=0$.

Für $c^{2}>a^{2}$ ist der Schnitt der Punkt $P_{0}=(0,0,0)$.

Für $c^{2}=a^{2}$ ist der Schnitt die Gerade $t(c,0,-a),\ t\in \mathbb {R} .$

Für $c^{2}<a^{2}$ ist der Schnitt das Geradenpaar $t(c/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}},1,-a/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}),\ t\in \mathbb {R} .$

• Fall IIb: Für $d\neq 0$ geht die Ebene nicht durch die Kegelspitze und ist nicht senkrecht.

Für $c^{2}=a^{2}$ geht (1) in $x=-{\frac {c^{2}}{2ad}}y^{2}+{\frac {d}{2a}}$ über und die Schnittkurve ist eine Parabel.

Für $c^{2}\neq a^{2}$ formen wir (1) um in ${\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{d^{2}c^{2}}}\left(x+{\frac {ad}{c^{2}-a^{2}}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{d^{2}}}y^{2}=1$.

Für $c^{2}>a^{2}$ ergibt sich als Schnittkurve eine Ellipse und

für $c^{2}<a^{2}$ ergibt sich eine Hyperbel.

Parameterdarstellungen der Schnittkurven findet man in Weblink CDKG, S. 106-107.

Zusammenfassung:

Wenn die Schnittebene die Kegelspitze nicht enthält, entstehen die nicht ausgearteten Kegelschnitte (s. Bild zu Ib, IIb):

• eine Ellipse, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene (gegenüber der x-y-Ebene) kleiner ist als der Neigungswinkel der Mantellinien des Kegels. Ist die Ebene horizontal, ist die Schnittkurve ein Kreis.
• eine Parabel, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene (gegenüber der x-y-Ebene) gleich dem Neigungswinkel der Mantellinien des Kegels ist.
• eine Hyperbel, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene (gegenüber der x-y-Ebene) größer ist als der Neigungswinkel der Mantellinien des Kegels.

Wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze geht, entstehen die ausgearteten Kegelschnitte (s. Bild zu Ia, IIa):

• ein Punkt, wenn die Schnittebene den Kegel nur in der Spitze schneidet.
• eine Gerade, wenn die Schnittebene den Kegel entlang einer Mantellinie berührt (die Schnittebene ist Tangentialebene).
• ein sich schneidendes Geradenpaar, wenn die Schnittebene zwei Mantellinien enthält.

Allgemeine Kegelschnittgleichung

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

(man beachte, dass die Parameter a und b nicht diejenigen des vorhergehenden Kapitels sind)

Die Parameter a, b, c sind im Speziellen nicht alle 0. Falls a = b = c =0 ist, beschreibt die Gleichung eine Gerade oder ganz $\mathbb {R} ^{2}$.

Ellipse: Hauptachsentransformation

Es soll jetzt nachgewiesen werden, dass als Lösungsmengen der allgemeinen Kegelschnittgleichung nur die obigen 8 Fälle auftreten. Das Ziel erreichen wir in zwei wesentlichen Schritten, der Hauptachsentransformation:

1. Drehung des Koordinatensystems zur Beseitigung des Terms $xy$.
2. Verschiebung des Nullpunktes (Translation) so, dass möglichst die linearen Terme $\dots x+\dots y$ verschwinden.

1. Schritt: Falls $b\neq 0$, führen wir die Drehung

$(x,y)=(x'\cos \alpha -y'\sin \alpha ,x'\sin \alpha +y'\cos \alpha )$

um den Winkel $\alpha$ mit $\tan(2\alpha )={\tfrac {b}{a-c}}$ bzw. $\alpha =45^{\circ }$, falls $a=c$, durch.

Die Kegelschnittgleichung hat danach die Form

$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0,$ (statt $x',y'$ wurde wieder $x,y$ benutzt).

2.Schritt:

Falls $A\neq 0$ ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term $A\left(x+{\tfrac {C}{2A}}\right)^{2}$ und damit zur Verschiebung $x'=x+{\tfrac {C}{2A}}$.

Falls $B\neq 0$ ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term $B\left(y+{\tfrac {D}{2B}}\right)^{2}$ und damit zur Verschiebung $y'=y+{\tfrac {D}{2B}}$.

Nach diesen beiden Schritten hat die Kegelschnittgleichung (x' und y' werden wieder durch x,y ersetzt) schließlich die Form

I: $ux^{2}+vy^{2}+w=0$ mit $u,v\neq 0$ oder

II: $ux^{2}+vy+w=0$ oder $uy^{2}+vx+w=0$ mit $u\neq 0$.

Es können nur die obigen 8 Fälle auftreten:

Im Fall I ergeben sich eine Ellipse oder eine Hyperbel oder die leere Menge, falls $w\neq 0$ ist, oder ein Punkt oder ein sich schneidendes Geradenpaar, falls $w=0$ ist.

Im Fall II ergeben sich eine Parabel, falls $v\neq 0$ ist, oder ein paralleles Geradenpaar oder eine Gerade oder die leere Menge, falls $v=0$ ist.

Bei den hier durchgeführten Transformationen (Drehung, Verschiebung) wird die geometrische Form des durch die ursprüngliche Gleichung beschriebenen Kegelschnitts nicht verändert. Parameter wie Halbachsen bei Ellipsen und Hyperbel oder Brennweite bei der Parabel oder Winkel/Abstand zwischen sich schneidenden/parallelen Geraden lassen sich an dem transformierten Kegelschnitt ablesen.

Bemerkung: Der quadratische Anteil der allgemeinen Kegelschnittgleichung lässt sich auch mit Hilfe einer 2×2-Matrix schreiben:

${\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+dx+ey+f=0.$

Da eine Drehung und eine Verschiebung das Vorzeichen der Determinante $\delta =ac-{\tfrac {b^{2}}{4}}$ der 2×2-Matrix nicht verändert, führt $\delta \neq 0$ auf den Fall I und $\delta =0$ auf den Fall II. Weiß man, dass die ursprüngliche Kegelschnittgleichung einen nicht ausgearteten Kegelschnitt darstellt, kann man an der Determinante $\delta$ schon erkennen, ob es sich um eine Ellipse ($\delta >0$) oder eine Hyperbel ($\delta <0$) oder eine Parabel ($\delta =0$) handelt.

Bemerkung:

• Da die allgemeine Kegelschnittgleichung nur bis auf einen Faktor durch die 6 Koeffizienten bestimmt ist, sind für die Bestimmung der Koeffizienten 5 Punkte (Gleichungen) nötig. Aber: Nicht jede Wahl von 5 Punkten bestimmen einen Kegelschnitt eindeutig. (Gegenbeispiel: 4 Punkte auf einer Gerade, 1 Punkt nicht auf der Gerade.) Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt (Ellipse, Hyperbel, Parabel) ist durch 5 Punkte, wobei keine 3 auf einer Gerade liegen, eindeutig bestimmt. Eine elegante Formel für den nicht ausgearteten Fall benutzt eine 6x6-Determinante:

${\begin{vmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1\\\end{vmatrix}}=0\quad ,$ ($(x_{i},y_{i}),i=1,\dots ,5$ sind die vorgegebenen Punkte. Siehe .)

• Ein Kreis ist schon durch 3 Punkte (nicht auf einer Geraden) eindeutig bestimmt. Die Gleichung erhält man durch die 4x4-Determinante

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}=0$.

Beispiel: Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte (1,0),(-1,0),(0,1),(-1,0),(1,1) hat nach Ausrechnen obiger Determinante die Gleichung $-4x^{2}+4xy-4y^{2}+4=0$ oder nach Vereinfachung: $x^{2}-xy+y^{2}-1=0$. Die Hauptachsentransformation erfolgt mit einer Drehung um $45^{\circ }$. Eine Verschiebung ist nicht nötig. Der Kegelschnitt hat die transformierte Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {3}{2}}y^{2}-1=0$ und ist eine Ellipse.

Scheitelgleichung einer Kegelschnitt-Schar

Kegelschnitt-Schar: p fest, $\varepsilon$ variabel

Die Schar der nicht ausgearteten Kegelschnitte, deren Achse die x-Achse ist und die im Punkt (0,0) einen Scheitel haben, lässt sich durch die Gleichung

$y^{2}=2px+(\varepsilon ^{2}-1)x^{2}\qquad ,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0$

beschreiben (zum Beweis siehe Leitlinien-Eigenschaft der Hyperbel). Für

$\varepsilon =0$ erhält man einen Kreis,

für $0<\varepsilon <1$ eine Ellipse,

für $\varepsilon =1$ eine Parabel und

für $\varepsilon >1$ eine Hyperbel.

$\varepsilon$ ist die numerische Exzentrizität.

$2p$ ist die Weite des Kegelschnitts, gemessen am Brennpunkt senkrecht zur Achse.

$p$ ist der Scheitelkrümmungskreisradius im Scheitel $(0,0)$.

Für Ellipsen und Hyperbeln ist $\varepsilon =e/a$, wobei $a$ die große Halbachse und $e$ die lineare Exzentrizität ist. Im Fall einer Ellipse ist $(a,0)$ der Mittelpunkt und $(a-e,0)$ ein Brennpunkt. Im Fall einer Hyperbel ist $(-a,0)$ der Mittelpunkt und $(e-a,0)$ ein Brennpunkt. Im Fall einer Parabel ist $({\tfrac {p}{2}},0)$ der Brennpunkt.

Äquivalenz nicht ausgearteter Kegelschnitte

• Alle Ellipsen sind affine Bilder des Einheitskreises (s. Ellipse),
• alle Parabeln sind affine Bilder der Normalparabel (s. Parabel) und
• alle Hyperbeln sind affine Bilder der Einheitshyperbel (s. Hyperbel).

Eine Ellipse ist aber mit einer affinen Abbildung nicht (z. B.) auf eine Parabel abbildbar. Ergänzt man aber die affine Koordinatenebene zu einer projektiven Ebene und fügt einer Parabel den Fernpunkt ihrer Achse hinzu, so lässt sich eine Ellipse mit einer projektiven Abbildung auf eine so erweiterte Parabel abbilden. Das Analoge gilt für eine um die zwei Fernpunkte ihrer Asymptoten ergänzte Hyperbel.

• Vom projektiven Standpunkt aus sind also alle nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitte zueinander äquivalent (s. auch Weblink CDKG, S. 251).

Beispiele:

1. Die projektive Abbildung mit $(x,y)\to ({\tfrac {x}{1+y}},{\tfrac {1-y}{1+y}})$ bildet den Einheitskreis $x^{2}+y^{2}=1$ auf die Parabel $y=x^{2}$ ab.
2. Die projektive Abbildung mit $(x,y)\to ({\tfrac {1}{x}},{\tfrac {y}{x}})$ bildet die Parabel $y=x^{2}$ auf die Hyperbel $y={\tfrac {1}{x}}$ ab.

Anwendungen und Beispiele

Kegelschnitte beschreiben die Bahnen von Himmelskörpern.

Datei:Brazil.Brasilia.01.jpg

Kegelschnitt in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der Astronomie, da die Bahnen der Himmelskörper genäherte Kegelschnitte sind.

Auch in der Optik werden sie verwendet – als Rotationsellipsoid für Autoscheinwerfer, als Paraboloid oder Hyperboloid für Spiegelteleskope usw.

In der Darstellenden Geometrie treten Kegelschnitte als Bilder von Kreisen bei Parallel- und Zentralprojektionen auf. Siehe Ellipse (Darstellende Geometrie).

Geschichte

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte an Platons Akademie die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das delische Problem auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Euklid schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste Apollonios von Perge in seinem achtbändigen Werk Konika zusammen. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch Koordinatengleichungen wurde von Fermat und Descartes eingeführt.

Kegelschnitte über beliebigen Zahl-Körpern

Kegelschnitte lassen sich auch über beliebigen Körpern definieren. Es bleiben dabei erstaunlich viele Inzidenz- und Symmetrieeigenschaften erhalten. Siehe Weblink Projektive Geometrie, projektiver Kegelschnitt und für Kegelschnitte über endlichen Körpern den Artikel Quadratische Menge.

Kegelschnitte und Benz-Ebenen

Kegelschnitte spielen bei den Benz-Ebenen, das sind Möbius-Ebenen (Geometrie der Kreise), Laguerre-Ebenen (Geometrie der Parabeln) und Minkowski-Ebenen (Geometrie der Hyperbeln), eine wichtige Rolle.

Siehe auch

Korbbogen, Himmelsmechanik, Zweikörperproblem, projektive Geometrie, Drehquadrik, Formelsammlung Analytische Geometrie.

Weblinks

• Kegelschnitte. Uni Wien.
• Projektive Geometrie. Kurzskript. Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 12–16.
• Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. (CDKG) Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB).

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
• Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II, Teubner-Verlag Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 338.