Konvexgeometrie

Die Konvexgeometrie (oder auch konvexe Geometrie) ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie wurde von Hermann Minkowski begründet und behandelt die Theorie der konvexen Mengen in $n$-dimensionalen reellen affinen Räumen oder Vektorräumen. Minkowski entwickelte seine Theorie in seinem Werk Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896 und 1910).

Die Konvexgeometrie hat zahlreiche Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik wie etwa der Zahlentheorie, der Funktionalanalysis, der diskreten Mathematik oder der algebraischen Geometrie (Torische Geometrie, Tropische Geometrie).

Definition

Eine Teilmenge eines reellen $n$-dimensionalen Vektorraumes heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten $A$ und $B$ ebenso alle Punkte zwischen ihnen enthält, also die Punkte der Strecke $AB$. Zu jeder Teilmenge $M$ des reellen Raumes existiert ihre konvexe Hülle, das ist der Durchschnitt aller $M$ enthaltenden konvexen Mengen.

Die konvexen Hüllen endlich vieler Punkte heißen konvexe Polyeder oder Polytope. Eigentliche Polytope sind solche, die nicht in einem echten affinen Unterraum liegen. Klassische Beispiele sind Dreieck, konvexes Viereck und Parallelogramm in der Ebene, Tetraeder, Quader, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder im dreidimensionalen Raum, Simplex in beliebigen Dimensionen. Man kann Polyeder als Vereinigungen endlich vieler Polytope erklären und auf diese Definition die Geometrie der Polyeder aufbauen.

Auswahl klassischer Resultate der Konvexgeometrie

• Satz von Bárány
• Satz von Barbier
• Bieberbachsche Ungleichung
• Auswahlsatz von Blaschke
• Brunn-Minkowski-Ungleichung
• Satz von Carathéodory
• Satz von Cauchy
• Eulersche Polyederformel
• Satz von Helly
• Isoperimetrische Ungleichung
• Satz von Jung
• Lemma von Kakutani
• Satz von Kirchberger
• Satz von Krasnoselski
• Satz von Minkowski
• Minkowskischer Gitterpunktsatz
• Satz von Pick
• Satz von Radon
• Satz von Straszewicz
• Satz von Tverberg
• Satz von Motzkin
• Satz von Tietze (Konvexgeometrie)

Viele der genannten Sätze gelten in unendlichdimensionalen Räumen nur noch in abgeschwächter Form. Siehe dazu etwa Satz von Krein-Milman oder Choquet-Theorie.

Literatur

• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Verlag Walter de Gruyter, Berlin 1956.
• Wilhelm Blaschke: Gesammelte Werke. Bd. 3. Konvexgeometrie. Hrsg. von Werner Burau. Thales-Verlag, Essen 1985, ISBN 3-88908-203-3.
• Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1974, ISBN 3-540-06234-3.
• Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1983, ISBN 0-387-90722-X.
• W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0.
• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2.
• Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1955.
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775).
• Isaak M. Jaglom, W. G. Boltjanskij: Konvexe Figuren. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956.
• Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13–15, 1961. American Mathematical Society, Providence RI 1963.
• Steven R. Lay: Convex Sets and their Applications. John Wiley & Sons, New York [u. a.] 1982, ISBN 0-471-09584-2.
• Paul J. Kelly, Max L. Weiss: Geometry and Convexity. John Wiley & Sons, New York [u. a.] 1979, ISBN 0-471-04637-X.
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1980, ISBN 3-540-09071-1.
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1977, ISBN 3-7643-0839-7.
• Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. Chelsea Publ., New York 1953 (Reprint of the 1896 edition).
• Athanase Papadopoulos: Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, S. 298, Zürich: European Mathematical Society 2004, Second edition 2014, ISBN 978-3-03719-010-4
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.
• Günter M. Ziegler: Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1995, ISBN 0-387-94365-X.

Weblink

• Ivan Izmestiev: Einführung in die Konvexgeometrie. (PDF; 548 kB) Skript