Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformationen, benannt nach Hendrik Antoon Lorentz, verbinden in der Speziellen Relativitätstheorie und in der lorentzschen Äthertheorie die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Dabei handelt es sich um geradlinig gleichförmig bewegte Beobachter und um Koordinaten, in denen kräftefreie Teilchen gerade Weltlinien durchlaufen. Bei Lorentz-Transformationen bleibt die Lichtgeschwindigkeit $c$ unverändert. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist Ausgangspunkt von Einsteins Herleitung der Lorentz-Transformation.

Von der Lorentz-Transformation betroffen sind:

• die zum Geschwindigkeitsvektor ${\vec {v}}$ parallelen Ortsvariablen
• die zum Geschwindigkeitsvektor ${\vec {v}}$ senkrechten elektromagnetischen Feldkomponenten
• die Zeit.

Lorentz-Transformation für Orte und Zeiten

Ist ein Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in $x$-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter bewegt, so hängen die Koordinaten $\textstyle (t',x',y',z')$, die er einem Ereignis zuschreibt, durch die Lorentz-Transformation

$t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\,x\right),\quad x'=\gamma (x-v\,t),\quad y'=y,\quad z'=z$

mit den Koordinaten $(t,x,y,z)$ des anderen Beobachters für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme zum Zeitpunkt $\textstyle t=t'=0$ miteinander übereinstimmen. Darin ist $\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ die Bezeichnung für den Lorentzfaktor.

Hat der bewegte Beobachter eine beliebig gerichtete Geschwindigkeit ${\vec {v}}$, so zerlegt man den Koordinatenvektor ${\vec {r}}=(x,y,z)$ des Ereignisses in zwei Komponenten parallel bzw. senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor $\textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}$:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\quad {\vec {r_{\parallel }}}'=\gamma \left({\vec {r_{\parallel }}}-{\vec {v}}t\right),\quad {\vec {r_{\bot }}}'={\vec {r_{\bot }}}.$

Lorentz-Transformation für das elektromagnetische Feld

Auch bei kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$ treten bei elektromagnetischen Feldern relativistische Effekte auf. Diese Tatsache wird durch ein Gedankenexperiment deutlich:

• Ein Beobachter, der eine relativ zu ihm ruhende Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.

• Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu oder von ihr weg, so wird er bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld zeitlich verändert, also ein Verschiebungsstrom vorhanden ist. Das bedeutet, dass der Beobachter nach dem erweiterten Durchflutungsgesetz eine magnetische Flussdichte misst. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.

Ebenso wie Orte und Zeiten müssen daher die elektromagnetischen Feldkomponenten einer Lorentztransformation unterzogen werden, wenn das Bezugssystem der Beobachtung gewechselt wird. Für die elektrischen und magnetischen Größen gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {E}}'=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {B}}'=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {v}}\times {\vec {E}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {D}}'=\gamma \left({\vec {D}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {D}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {H}}'=\gamma \left({\vec {H}}-{\vec {v}}\times {\vec {D}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {H}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {j}}'={\vec {j}}-\gamma \cdot \rho \cdot {\vec {v}}+\left(\gamma -1\right){\frac {{\vec {j}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\rho }'=\gamma \cdot \left(\rho -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {j}}\cdot {\vec {v}}\right)\\\end{aligned}}$

Eine übersichtlichere Notierung der transformierten Felder gelingt durch deren Zerlegung in orthogonale Komponenten laut ${\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }$ und ${\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }$, worin die Indizes $\parallel$ und $\perp$ die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bezeichnen .

Man erhält damit die (skalaren) Feldkoordinaten

$E'_{\parallel }=E_{\parallel }$

$B'_{\parallel }=B_{\parallel }$

$E'_{\perp }=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }$

$B'_{\perp }=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }$.

In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten $v\ll c$, gilt $\gamma \approx 1$. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden, und für die Feldgrößen gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\approx {\vec {B}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\approx {\vec {B}}'\\\end{aligned}}$

Geschichtliche Entwicklung

Die Arbeiten von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905), welcher der Lorentz-Transformation ihren Namen gab, zeigten, dass die Lösungen der Gleichungen der Elektrodynamik durch Lorentz-Transformationen aufeinander abgebildet werden oder mit anderen Worten, dass die Lorentz-Transformationen Symmetrien der Maxwell-Gleichungen sind.

Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen Äther zu erklären. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. In seiner Äthertheorie konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten, die von bewegten Uhren und Maßstäben angezeigt werden, bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz’ Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest, der ein absolut ruhendes, aber eben nicht nachweisbares System auszeichnete.

Einsteins spezielle Relativitätstheorie löste Newtons Mechanik und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem Relativitätsprinzip ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit $c$. Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen, statt wie in Newtons Mechanik durch eine Galilei-Transformation.

Herleitung

Die erste Herleitung beruhte auf der Wellengleichung der elastischen Lichttheorie. Voigt (1887) konnte Transformationsformeln, die allerdings nicht reziprok sind, unter Zugrundelegung der Wellengleichung für ein elastisches inkompressibles Übertragungsmedium herleiten. Die betreffende Wellengleichung lässt als Lösungen ausschließlich Transversalwellen zu. Mit Hilfe der Voigt-Transformation kann der Doppler-Effekt transversaler Wellen berechnet werden, der in der modernen Relativitätstheorie als ‚relativistischer Doppler-Effekt‘ bezeichnet wird.

Später wurde gezeigt, dass die exakten Lorentz-Transformationsformeln, die den Ausdruck $\textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}$ und somit die Form von Lichtkugelwellen invariant lassen, sich rigoros aus der elektromagnetischen Wellengleichung (und somit aus den Maxwell-Gleichungen) herleiten lassen, sofern die Forderung nach Linearität und Reziprozität berücksichtigt wird. In den Arbeiten von Lorentz und Larmor spielt diese Transformation deswegen eine grundlegende Rolle bei Problemlösungen der Maxwellschen Elektrodynamik. Im Rahmen der Elektrodynamik kann die Herleitung der Lorentz-Transformation auch unter Berücksichtigung des Potentials einer bewegten Ladung (Liénard-Wiechert-Potential) erfolgen. Darüber hinaus gibt es eine größere Gruppe von Kugelwellentransformationen, welche den Ausdruck $\textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)$ invariant lassen. Jedoch nur die Lorentz-Transformationen mit $\lambda =1$ bilden alle Naturgesetze einschließlich der Mechanik symmetrisch ab, und gehen für $v\ll c$ in die Galilei-Transformation über.

Herleitungen in modernen Lehrbüchern beruhen überwiegend auf der Interpretation der Transformationen im Sinne der Speziellen Relativitätstheorie, wonach diese Raum und Zeit selbst betreffen, und sind unabhängig von Annahmen zur Elektrodynamik. Einstein (1905) benutzte dabei zwei Postulate: Das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Allgemeinere Herleitungen, welche auf Wladimir Ignatowski (1910) zurückgehen, beruhen auf gruppentheoretischen Erwägungen.

Die folgenden Überlegungen klären, wie Koordinaten zusammenhängen, die inertiale Beobachter (Beobachter die fest mit einem Inertialsystem verbunden sind) zur Benennung der Zeit und des Ortes von Ereignissen verwenden. Die Beobachter sollen hier beispielhaft Anna und Bert sein. Annas Koordinatensystem ist durch $x,y,z,t$ gegeben und Berts durch die gestrichenen Variablen $\textstyle x',y',z',t'$. Es handele sich um rechtwinklige Koordinaten.

Um die Formeln einfach zu halten, wird als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt gewählt. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt $c=1$. Die Geschwindigkeit $v$ wird also in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen.

Linearität

Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear ist.

Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen.

Bert bewege sich relativ zu Anna mit der Geschwindigkeit $v$. Die Koordinatensysteme werden so orientiert, dass $x,x'$ und $v$ auf einer Gerade in einer Richtung liegen. Dann kann man sich auf die Koordinaten $x,t$ beschränken.

Die gesuchte Lorentz-Transformation lautet dann

$t'=at+bx,\quad x'=et+fx.$

Die Unbekannten $a,b,e,f$ sind nun zu bestimmen.

Lichtkegel

Ein Lichtimpuls, den Anna zur Zeit $t=0$ am Ort $x=0$ losschickt, wird durch $x=\pm t$ beschrieben. Da die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für Bert $x'=\pm t'$ gelten. Die Gleichungen mit dem Pluszeichen erfordern $e+f=a+b$ und die Gleichungen mit dem Minuszeichen $e-f=-a+b$. Daraus folgt $e=b$ und $f=a$ bzw.

$t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.$

Dies gilt für alle Lorentz-Transformationen, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter.

Relativgeschwindigkeit

Anna beschreibt Berts Bewegung durch $x=vt$, Bert seine eigene durch $\textstyle x'=0$. Die Lorentz-Transformation von Annas zu Berts Koordinatensystem muss diese beiden Ausdrücke ineinander überführen. Aus $\textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0$ folgt dann $b=-av$, also

$t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).$

Es bleibt noch der Vorfaktor $a$ zu bestimmen. Von den Koordinaten kann er nicht abhängen, sonst wäre die Lorentz-Transformation nichtlinear. Bleibt also eine Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit. Man schreibt $a=a(v)$. Da die Lorentz-Transformation nicht von der Richtung von $v$ abhängen soll, gilt $a=a(|v|)$.

Vorfaktor

Um den Vorfaktor zu bestimmen, führt man eine weitere inertiale Beobachterin Clara mit den Koordinaten $\textstyle t'',x''$ und der Relativgeschwindigkeit $v'$ in Bezug auf Bert ein. Die Lorentz-Transformation von Berts zu Claras Koordinaten muss wegen des Relativitätsprinzips dieselbe Form wie die obige haben, also

$t''=a'(t'-v'x'),\quad x''=a'(x'-v't'),$

dabei wurde $a'=a(v')$ abgekürzt.

Man kombiniert nun die beiden Transformationen, rechnet also die Koordinaten von Anna in die von Clara um. Es reicht dazu, eine der beiden Koordinaten zu berechnen:

$t''=a'(t'-v'x')=a'(a(t-vx)-v'a(x-vt))=a'a(1+vv')\left(t-{\frac {v+v'}{1+vv'}}x\right).$

Sitzt Clara neben Anna, ist $v'=-v$ und die doppelt gestrichenen Koordinaten sind gleich den ungestrichenen. Der Faktor $\textstyle (v+v')/(1+vv')$ verschwindet und der Vorfaktor $\textstyle a'a(1+v'v)=a'a(1-v^{2})$ muss gleich 1 sein. Wegen $\textstyle a(-v)a(v)\cdot (1-v^{2})=1$ und $a(-v)=a(v)$ muss dann

$a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

gelten. Mit der Abkürzung $\gamma =a(v)$ ist

$t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).$

Die Lorentz-Transformationen lauten daher

$t'=\gamma (t-(v/c^{2})x),\quad x'=\gamma (x-vt),\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.$

Additionstheorem

Sitzt Clara nicht neben Anna, lässt sich aus dem obigen Ausdruck, der $\textstyle t''$ mit den Koordinaten von Anna verknüpft, das Additionstheorem der Geschwindigkeiten ablesen (in Einheiten mit $c=1$):

$v''={\frac {v+v'}{1+vv'}}.$

Invariante

Durch Einsetzen der Lorentz-Transformation lässt sich zeigen, dass

$c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$

gelten muss. Der Ausdruck $\textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}$ ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant. In drei Raumdimensionen ist $\textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ die Invariante. Die Verallgemeinerung der Lorentz-Transformation auf drei Raumdimensionen ist daher: $y'=y,\quad z'=z$.

Invarianz der transversalen Koordinaten

Bei Relativbewegung in x-Richtung definiert ein Maßstab, der in y-Richtung aufgestellt ist, einen Streifen parallel zur x-Achse. Die Beobachter im gestrichenen und ungestrichenen System können die Breite der Streifen zu beliebig gewählten Zeitpunkten vergleichen. Anders als bei Maßstäben in x-Richtung, bei denen es zur Lorentz-Kontraktion kommt, wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit hier nicht aus. Da die Inertialsysteme äquivalent sind, müssen die Streifen gleiche Breite haben, d. h. $\textstyle y=y'$.

Alternative Herleitung

Zeitdilatation

Mit einem Argument von Macdonald kann man die Transformationsformeln aus der Zeitdilatation gewinnen. An einer Lichtfront, die sich in positiver x-Richtung bewegt, hat die Differenzkoordinate $ct-x$ überall denselben Wert, ebenso $\textstyle ct'-x'$. Man betrachtet eine Front, die durch das Ereignis E geht und irgendwann (vorher oder nachher) auf den bewegten Koordinatenursprung O' trifft, der langsamer als Licht sein muss. Wegen der gleichbleibenden Werte stehen die Differenzkoordinaten bei E in derselben Beziehung zueinander wie am Punkt O'. An diesem gilt $\textstyle x'=0,\ x=vt$, sowie nach der Dilatationsformel $\textstyle t=\gamma t'$ wobei $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ist. Für die Differenzkoordinaten gilt daher

$ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')$

Analog hat an einer Lichtfront, die sich in negativer x-Richtung bewegt, die Summenkoordinate $ct+x$ überall denselben Wert, ebenso $\textstyle ct'+x'$. Auch eine solche Front geht durch E (mit gleichen Koordinaten wie oben) und durch O' (zu einem anderen Zeitpunkt als oben). In der Gleichung analog zur vorhergehenden werden nun Summen statt Differenzen gebildet, daher lautet sie

$ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')$

Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt $ct,x$ als Funktion von $ct',x'$.

Empirische Herleitung

Howard P. Robertson und andere zeigten, dass die Lorentz-Transformation auch empirisch hergeleitet werden kann. Dazu ist es nötig, allgemeine Transformationsformeln zwischen verschiedenen Inertialsystemen mit experimentell bestimmbaren Parametern zu versehen. Es wird angenommen, dass ein einziges „bevorzugtes“ Inertialsystem $X,Y,Z,T$ existiert, in dem die Lichtgeschwindigkeit konstant, isotrop und unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle ist. Ebenso sollen Einstein-Synchronisation und Synchronisation durch langsamen Uhrentransport in diesem System äquivalent sein. Es sei ein weiteres, zu diesem System kollineares System $x,y,z,t$ gegeben, dessen räumlicher Ursprung zum Zeitpunkt $T=t=0$ mit dem Ursprung des ersten Systems übereinstimmt und in dem die Uhren und Maßstäbe dieselbe interne Konstitution haben wie im ersten System. Dieses zweite System bewegt sich relativ zum ersten System mit konstanter Geschwindigkeit entlang der gemeinsamen X-Achse. Folgende Größen bleiben dabei zunächst unbestimmt:

• $a(v)$ Unterschiede in der Zeitmessung,
• $b(v)$ Unterschiede in der Messung longitudinaler Längen,
• $d(v)$ Unterschiede in der Messung transversaler Längen,
• $\varepsilon (v)$ folgt aus der Konvention zur Uhrensynchronisation.

Daraus ergeben sich folgende Transformationsformeln:

${\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}$

$\varepsilon (v)$ wird nicht direkt gemessen, sondern folgt aus der Uhrensynchronisationskonvention. Hier ist die Einstein-Synchronisation die einfachste Möglichkeit, woraus sich $\textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}$ ergibt. Das Verhältnis zwischen $b(v)$ und $d(v)$ wird aus dem Michelson-Morley-Experiment, das Verhältnis zwischen $a(v)$ und $b(v)$ aus dem Kennedy-Thorndike-Experiment und schließlich $a(v)$ allein aus dem Ives-Stilwell-Experiment bestimmt. Die Experimente ergaben $\textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma$ und $d(v)=1$, was obige Transformation in die Lorentz-Transformation überführt. Hingegen wurde die Galilei-Transformation $a(v)=b(v)=d(v)=1$ damit ausgeschlossen.

Lorentz-Invariante

Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Masse $m$, die Teilchenzahl, die elektrische Ladung, etc. Ausgehend von einem Lorentz-Vektor (oder Vierervektor) ist die Norm die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit $c$ multiplizierte Masse $mc$, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Lorentz-Vektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur, etc.

Poincaré- und Lorentz-Gruppe

Die Poincaré-Gruppe ist die Menge der linear inhomogenen Transformationen

$T_{\Lambda ,a}\colon x\mapsto T_{\Lambda ,a}x=x^{\prime },\quad x^{\prime \,m}=\Lambda ^{m}{}_{n}\,x^{n}+a^{m},\quad m,n\in \{0,1,2,3\},$

die den Abstand zweier Vierervektoren invariant lassen. Die Untergruppe der homogenen Transformationen $\textstyle T_{\Lambda ,0}$ bildet die Lorentz-Gruppe, $\mathrm {O} (1,3)$, das ist die Gruppe der linearen Transformationen von $\textstyle \mathbb {R} ^{4}$ auf $\textstyle \mathbb {R} ^{4}$, die das Längenquadrat

$w^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

jedes Vektors $w=(t,x,y,z)$ aus $\textstyle \mathbb {R} ^{4}$ invariant lassen. Schreiben wir das Längenquadrat als Matrixprodukt

$w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w$

des Spaltenvektors $w$ mit der Matrix

$\eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$

und der transponierten Spalte, der Zeile $\textstyle w^{\mathrm {T} }$, so muss für jeden Lorentz-transformierten Vektor $\Lambda w$ gelten

$w^{\mathrm {T} }\,\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda \,w=w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w.$

Dies ist genau dann der Fall, wenn die Lorentz-Transformation die Gleichung

$\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda =\eta$

erfüllt.

Alle Lösungen dieser Gleichung, die die Zeitrichtung und räumliche Orientierung nicht umdrehen, sind von der Form

$\Lambda =D_{1}\,\Lambda _{v}\,D_{2}.$

Dabei sind $D_{1}$ und $D_{2}$ Drehungen

$D={\begin{pmatrix}1&\\&D_{3\times 3}\\\end{pmatrix}},\quad D_{3\times 3}^{\mathrm {T} }\,D_{3\times 3}=\mathbf {1} ,\quad \det D_{3\times 3}=1.$

Diese Drehungen bilden die Untergruppe SO(3) der Lorentz-Gruppe. Die Matrix

$\Lambda _{v}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \,{\frac {v}{c}}&0&0\\-\gamma \,{\frac {v}{c}}&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

bewirkt die oben angegebene Lorentz-Transformation mit einer Geschwindigkeit $v:|v|<c.$

Die Transformationen

$\Lambda =D\,\Lambda _{v}\,D^{-1}.$

heißen Lorentz-Boost. Sie transformieren auf die Koordinaten des bewegten Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit $v$ in die Richtung bewegt, die sich durch die Drehung $D$ aus der $x$-Richtung ergibt.

Lorentz-Transformationen, die das Vorzeichen der Zeitkoordinate, die Richtung der Zeit, nicht ändern,

• $\Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,$

bilden die Untergruppe der orthochronen Lorentz-Transformationen. Die Lorentz-Transformationen mit

• $\det \Lambda =1$

bilden die Untergruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen. Für die orientierungstreuen Lorentz-Transformationen gilt

• $\Lambda _{\ 0}^{0}\cdot \det \Lambda \geq 1.$

Die zeit- und orientierungstreuen Lorentz-Transformationen

• $\Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,\quad \det \Lambda =1,$

bilden die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe. Sie ist zusammenhängend: jede eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation kann durch stetige Veränderung der sechs Parameter, drei für die Drehachse und den Drehwinkel und drei für die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, in die identische Abbildung übergeführt werden.

Zeit- und Raumspiegelung

Die nicht mit der $\mathbf {1}$ zusammenhängenden Lorentz-Transformationen erhält man, indem man die Zeitspiegelung oder die Raumspiegelung

${\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$

oder beide mit den Lorentz-Transformationen multipliziert, die mit der $\mathbf {1}$ zusammenhängen. Die Lorentz-Gruppe $\mathrm {O} (1,3)$ hat vier Zusammenhangskomponenten.

Geschwindigkeitsaddition

Im Folgenden wird weiterhin $c=1$ verwendet.

Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit $v_{1}$ und $v_{2}$ ergeben einen Lorentz-Boost mit der Gesamtgeschwindigkeit

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}\,v_{2}}}.$

Die Gleichung zeigt, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa $v_{1}$ die Lichtgeschwindigkeit, das heißt $v_{1}=1$, so ist $v={\frac {1+v_{2}}{1+1v_{2}}}=1$ ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.

Obige Additionsformel ergibt sich aus der Transformation $\textstyle t'=k_{1}\,t$ und $\textstyle t''=k_{2}\,t'$, also $\textstyle t''=k\,t$ mit

$k=k_{2}\,k_{1}$

Setzen wir ein, wie die Faktoren von der Geschwindigkeit abhängen und quadrieren, so gilt

${\frac {1+v}{1-v}}={\frac {1+v_{2}}{1-v_{2}}}\,{\frac {1+v_{1}}{1-v_{1}}}.$

Dies lässt sich nach der Gesamtgeschwindigkeit $v$ auflösen und ergibt eine Formel, wie sich Geschwindigkeiten bei Bewegung in dieselbe Richtung kombinieren.

Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in verschiedene Richtungen ergeben im Allgemeinen keine Lorentz-Boosts: Die Menge der Lorentz-Boosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.

Überlagerungsgruppe

Die folgenden Überlegungen zeigen, dass die Gruppe der linearen Transformationen des zweidimensionalen, komplexen Vektorraumes $\textstyle \mathbb {C} ^{2}$, deren Determinante den speziellen Wert $1$ hat, die sogenannte spezielle lineare Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$, die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist. Dabei überlagert die Untergruppe der speziellen unitären zweidimensionalen Transformationen, SU(2) die Gruppe der Drehungen, $\mathrm {SO} (3)$.

Jede hermitesche $2\times 2$ – Matrix ist von der Form:

${\hat {w}}={\begin{pmatrix}t+z&x-\mathrm {i} y\\x+\mathrm {i} y&t-z\end{pmatrix}}={\hat {w}}^{\mathrm {T} \,*}={\hat {w}}^{\dagger }.$

Da sie umkehrbar eindeutig durch die vier reellen Parameter $w=(t,x,y,z)$ bezeichnet wird und da Summen und reelle Vielfache hermitescher Matrizen wieder hermitesch sind und zu den Summen und Vielfachen der Vierervektoren $w$ gehören, ist sie Element eines vierdimensionalen Vektorraums.

Die Determinante

$\det {\hat {w}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

ist das Längenquadrat des Vierervektors $w$.

Multipliziert man ${\hat {w}}$ von links mit einer beliebigen, komplexen $2\times 2$ – Matrix und von rechts mit deren adjungierten, so ist das Ergebnis $\textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}$ wieder hermitesch und lässt sich als ${\hat {u}}$ schreiben, wobei $u=\Lambda w$ linear von $w$ abhängt. Ist $M$ aus der speziellen linearen Gruppe der komplexen $2\times 2$-Matrizen, $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$, deren Determinanten den speziellen Wert $1$ haben, so stimmt das Längenquadrat von $w$ und $u=\Lambda w$ überein, $\Lambda$ ist also eine Lorentz-Transformation. Zu jedem $M$ aus $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ gehört so vermöge

$M{\hat {w}}M^{\dagger }={\widehat {\Lambda w}}$

eine Lorentz-Transformation $\Lambda$ aus $\mathrm {O} (1,3)$. Genauer gehört zu jedem Paar $\pm M$ von komplexen $2\times 2$-Matrizen aus $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ genau eine Lorentz-Transformation $\Lambda (M)=\Lambda (-M)$ aus dem Teil von $\mathrm {O} (1,3)$, welcher mit der $\mathbf {1}$ stetig zusammenhängt. Dieser Teil der Lorentz-Gruppe ist eine Darstellung der Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$.

Die Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ ist die Produktmannigfaltigkeit $\mathbb {R} ^{3}\times S^{3}$ und einfach zusammenhängend. Die Gruppe der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist hingegen nicht einfach zusammenhängend: Drehungen um eine feste Achse mit Winkeln, die von $\alpha =0$ bis $\alpha =2\pi$ anwachsen, bilden in der Drehgruppe einen geschlossenen Kreis. Man kann diese Transformationen nicht stetig in andere Drehungen abändern, so dass dieser Kreis auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Referenzen

• Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman: Mechanik (= Berkeley Physik Kurs. Bd. 1). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-528-08351-4, S. 232: Kap. 11.
• Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF-Datei; 2,37 MB)

Weblinks

• Interaktives Java Applet
• Video: Lorentz-Transformationen. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19922.
• Video: Lorentz-Transformation im Detail. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19921.