Steigung

In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve.

Das Problem, die Steigung zu ermitteln, stellt sich dabei nicht nur bei geometrischen Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der Physik oder in der Volkswirtschaftslehre. So entspricht etwa die Steigung in einem Zeit-Weg-Diagramm der Geschwindigkeit oder die Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm der Stromstärke.

Steigung einer Geraden

Definition und Berechnung

Die Steigung einer Geraden wird häufig durch den Buchstaben $m$ bezeichnet. Verwendet man kartesische Koordinaten, so hat die Gerade, die durch zwei Punkte $(x_{1}|y_{1})$ und $(x_{2}|y_{2})$ festgelegt ist, die Steigung

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

$\Delta x$ (sprich: Delta x) bedeutet dabei die Differenz der x-Werte, $\Delta y$ entsprechend die Differenz der zugeordneten y-Werte.

Für die abgebildete Gerade durch die Punkte $(2|1)$ und $(7|3)$ ergibt sich beispielsweise die Steigung:

$m={\frac {3-1}{7-2}}={\frac {2}{5}}=0{,}4$

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel $(-3|-1)$ und $(2|1)$, so erhält man:

$m={\frac {1-(-1)}{2-(-3)}}={\frac {2}{5}}=0{,}4$

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Hat die Gerade die Steigung $m$ und schneidet sie die y-Achse im Punkt $(0|c)$, so hat sie die Gleichung $y=mx+c$

Hinweis: Die zur y-Achse parallelen Geraden sind keine Funktionsgraphen und haben deshalb auch keinen Steigungswert. Man kann ihnen die Steigung „unendlich” (∞) zusprechen.

Straßenverkehr

Hauptartikel: Gradiente

Steigungsangabe in Prozent auf einem Verkehrsschild

Die Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle. Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie in Prozent ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12 %).

Steigungs- oder Neigungswinkel

Aus der Steigung einer Geraden lässt sich mit Hilfe der Tangens- und Arcustangens-Funktion der zugehörige Steigungs- bzw. Neigungswinkel der Geraden bezogen auf die positive $x$-Achse berechnen:

Ein Zusammenhang aus der Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens eines der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten der jeweiligen Gegen- und Ankathete ist, womit klar wird, dass die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels (in Grad) gegenüber der positiven $x$-Achse ist:

$m=\tan(\alpha ).$

Bei der Angabe in Prozent (%) ist zu beachten, dass Steigung und Steigungswinkel nicht proportional zueinander sind, es also auch nicht möglich ist, Steigungen und Steigungswinkel mit einem einfachen Dreisatz ineinander umzurechnen. So entspricht beispielsweise der Steigung 1 (= 100 %) ein Steigungswinkel von 45°, der Steigung 2 (= 200 %) dagegen nur noch ein Winkel von rund 63,4°, und für einen Steigungswinkel von 90° schließlich müsste die Steigung ins Unendliche wachsen.

Annähernde Proportionalität von Steigung und Steigungswinkel dagegen ist nur für kleine Steigungswinkel bis etwa 5° gegeben - so entspricht einer Steigung von ±0,01 bzw. ±1 % ein Steigungswinkel von annähernd ±0,57°, und umgekehrt ein Steigungswinkel von ±1° einer Steigung von annähernd ±0,0175 bzw. 1,75 %.

Für größere Steigungswinkel dagegen, oder wenn ihre Größe exakt bestimmt werden soll, benötigt man die Umkehrfunktion des Tangens, das heißt die Arcustangens-Funktion:

$\alpha =\arctan(m).$

Im obigen Beispiel errechnet man:

$\alpha =\arctan(0{,}4)\approx 21{,}8^{\circ }.$

Bei negativen Steigungen ist hier zu beachten, dass – aufgrund der Punktsymmetrie der Arcustangens-Funktion – dann auch die Steigungswinkel $\alpha$ negativ werden.

Schnittwinkel

Der Steigungsbegriff liefert auch eine bequeme Methode, den Schnittwinkel $\varepsilon$ zweier Geraden mit gegebenen Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ zu bestimmen:

$\tan \varepsilon =\left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.$

$\varepsilon =\arctan \left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.$

Zwei Geraden sind genau dann parallel ($\varepsilon$ = 0°), wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Sie sind genau dann senkrecht zueinander ($\varepsilon$ = 90°), wenn ihre Steigungen die Orthogonalitäts-Bedingung $m_{1}$ · $m_{2}$ = -1 erfüllen.

Steigung von Gewinden

Bei metrischen Gewinden kennzeichnet die Steigung die Ganghöhe, das heißt den Abstand zwischen zwei Gewindestufen entlang der Gewindeachse, anders gesagt den axialen Weg, der durch eine Umdrehung des Gewindes zurückgelegt wird.

Bei zölligen Gewinden dagegen wird als Wert die Anzahl der Gewindegänge auf der Strecke von einem Zoll angegeben.

Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve

Eines der grundlegenden Probleme der Analysis besteht darin, die Steigung einer Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt herauszufinden. Die oben besprochene Formel ist jetzt nicht mehr verwendbar, da nur ein Punkt gegeben ist. Wählt man den zweiten Punkt willkürlich, erhält man kein eindeutiges Ergebnis oder, falls beide Punkte identisch gewählt werden, ist das Ergebnis nicht definiert, da durch 0 geteilt wird.

Man definiert die Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt des Graphen daher als Steigung der Kurventangente in diesem Punkt. Die Differenzialrechnung liefert den Begriff der Ableitung als Hilfsmittel, um solche Steigungswerte ausrechnen zu können.

Beispiel: Für den Graphen der Funktion $f:\;x\mapsto 2x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{3}$ sollen die Steigung im Kurvenpunkt $(2|4)$ und der zugehörige Neigungswinkel berechnet werden.

Zunächst ermittelt man die Gleichung der Ableitungsfunktion $f'$:

$f'(x)=2\cdot 2x^{2-1}-{\frac {1}{2}}\cdot 3x^{3-1}=4x-{\frac {3}{2}}x^{2}$

Nun wird die x-Koordinate des gegebenen Punktes eingesetzt:

$f'(2)=4\cdot 2-{\frac {3}{2}}\cdot 2^{2}=8-{\frac {3}{2}}\cdot 4=8-6=2$

Aus dem Wert der Steigung ergibt sich der Neigungswinkel:

$\tan \alpha =2$

$\alpha =\arctan 2\approx 63{,}4^{\circ }$

Siehe auch

• Anstieg, Steilheit

Weblinks

• Webseite, die Ableitungen und Integrale automatisch berechnet
• Ableitung am Beispiel f(x)=x²