Algebraische Gleichung

In der Mathematik wird der Begriff algebraische Gleichung in einer engeren und einer weiteren Bedeutung verwendet.

Engere Bedeutung

Im engeren Sinn versteht man unter einer algebraischen Gleichung vom Grad $n$ über einem Ring oder Körper $K$ eine Gleichung der Form

$P_{n}(x)=0$

mit einem Polynom $P_{n}(x)$ $n$-ten Grades über $K$, also eine Gleichung der Gestalt

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$

mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $K$ und $a_{n}\neq 0.$

Wird $K$ nicht genauer spezifiziert, so sind üblicherweise die reellen Zahlen gemeint, also beispielsweise die Gleichung

$-7x^{3}+{\frac {2}{3}}x^{2}-5x+3=0.$

Im Fall der rationalen Zahlen lässt sich die Gleichung durch Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der Koeffizienten stets in eine gleichwertige Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten umwandeln, so ergibt sich etwa

$-21x^{3}+2x^{2}-15x+9=0$

für obiges Beispiel.

Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt algebraische Zahl; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen algebraische Elemente. Diese Bezeichnung drückt aus, dass eine solche Lösung nicht in dem Ring oder Körper liegen muss, aus dem die Koeffizienten der Gleichung stammen, sondern erst in einem geeigneten Erweiterungsring oder -körper.

Jede algebraische Gleichung positiven Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung. Das ist die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra.

Die Lösungen einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten sind reell oder paarweise konjugiert komplex.

Man kann auch algebraische Gleichungen für Funktionen definieren. Nimmt man als Koeffizientenring den Ring

$R=C(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )$

der stetigen Funktionen über der positiven Halbachse und bezeichnet mit x die durch x(t)=t für alle t definierte identische Funktion, so ist die Quadratwurzelfunktion eine Lösung der algebraischen Gleichung

$y(t)^{2}-x(t)=0.$

Eine solche Betrachtungsweise ist erforderlich, um Lösungen unterbestimmter algebraischer Gleichungssysteme zu untersuchen.

Weitere Bedeutung

In einem weiteren Sinn wird algebraische Gleichung auch als Abgrenzung gegenüber Differentialgleichungen verwendet. So bezeichnet man beispielsweise bei der Algebro-Differentialgleichung

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{1}(t)&=&f_{1}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)\\0&=&f_{2}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)\end{matrix}}$

($f_{1},f_{2}$ sind dabei gegebene Funktionen einer Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R}$; $x_{1},x_{2}$ sind gesuchte Funktionen einer Teilmenge von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$) die zweite Gleichung als algebraische Gleichung (unabhängig davon, ob $f_{2}$ algebraisch im engeren Sinn ist), um sie von der ersten Gleichung, der Differentialgleichung, zu unterscheiden.