Birnbaum-Orlicz-Raum

Ein Birnbaum-Orlicz-Raum (auch Orlicz-Raum) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis und ein Funktionenraum, der die L^p-Räume verallgemeinert. Er ist benannt nach den polnischen Mathematikern Zygmunt Wilhelm Birnbaum und Władysław Orlicz.

Definition

Orlicz-Funktion

Sei $\mu$ ein σ-endliches Maß auf einer Menge $X$. Eine konvexe Funktion $\phi \colon [0,\infty ]\to [0,\infty ]$ nennt man Orlicz-Funktion (auch Young-Funktion) wenn Folgendes gilt:

${\frac {\phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad {\text{wenn }}x\to \infty ,$ und

${\frac {\phi (x)}{x}}\to 0,\quad {\text{wenn }}x\to 0$.

Orlicz-Norm

Sei nun $\psi$ die rechtsinverse Funktion zu $\phi$, das heißt, es gilt $\psi (s)=\sup\{t:\phi (t)\leq s\}$. Wir definieren die Komplementärfunktion zu $\phi$ als das Integral über ihre rechtsinverse Funktion:

$Q_{\psi }(x)=\int _{0}^{|x|}\psi (s)\,\mathrm {d} s$.

Die Orlicz-Norm ist dann gegeben durch:

$\|f\|_{Q}=\sup \left\{\left|\int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:\int _{X}Q_{\psi }(g(t))\,\mathrm {d} \mu (t)\leq 1\right\}$.

Birnbaum-Orlicz-Raum

Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist definiert als

$L_{Q}(X,\mu ):=\left\{f\colon X\to \mathbb {K} :f\,{\rm {ist\ messbar}}\,,\|f\|_{Q}<\infty \right\}$

(oder kurz als $L_{Q}$), also als der Raum aller messbaren Funktionen, die eine endliche Orlicz-Norm besitzen.

Luxemburg-Norm

Eine äquivalente Norm namens Luxemburg-Norm erhält man durch

$\|f\|_{\phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty ):\int _{X}\phi (|f|/k)\,\mathrm {d} \mu \leq 1\right\}$.

Für eine Zufallsvariable $Y$ ergibt sich daraus folgende Norm:

$\|Y\|_{\phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty ):\mathbb {E} [\phi (|Y|/k)]\leq 1\right\}$.

Es gilt für die Luxemburg-Norm: $\|\emptyset \|_{\phi }=\inf \left\{\emptyset \right\}=\infty$.

Eigenschaften

• Es gilt für $p\in [1,\infty )$ die Inklusion: $L^{\infty }\supset L_{Q}\supset L^{p}$

Nimmt man für $\phi _{p}(x):=x^{p}$, so erhält man die L^p-Räume.

• Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist ein Banach-Raum.