Chiralität (Physik)

Die Chiralität (griechisches Kunstwort, Händigkeit, abgeleitet von χειρ~, ch[e]ir~ - hand~), bezeichnet in der Physik ein abstraktes Konzept im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie. Im Gegensatz zur Chiralität in der Chemie existiert keine konkrete bildliche Visualisierung der Chiralität physikalischer Größen in Form einer Spiegelung am ebenen Spiegel; stattdessen beschreibt sie die Zerlegung von Dirac-Spinoren in orthogonale Zustände, die unter Paritätsoperationen ineinander übergehen. Die Chiralität ist eine entscheidende Größe im Rahmen der schwachen Wechselwirkung, da W-Bosonen nur an Teilchen mit negativer Chiralität und Antiteilchen mit positiver Chiralität koppeln.

Von der Chiralität zu unterscheiden ist das Konzept der Helizität.

Definition

Die fünfte Gamma-Matrix $\gamma ^{5}=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ heißt Chiralitätsoperator; er ist hermitesch und selbstinvers. Seine Eigenwerte sind daher $\pm 1$. Den zum Eigenwert +1 gehörigen Eigenzustand nennt man den Zustand positiver/rechtshändiger Chiralität, den zum Eigenwert -1 gehörigen Zustand nennt man den Zustand negativer/linkshändiger Chiralität.

Masselose Fermionen

Aus der Dirac-Gleichung lässt sich im Grenzfall masseloser Fermionen wie Neutrinos die Weyl-Gleichung $\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$ erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in Dirac-, sondern in Weyl-Darstellung zu notieren, sodass nur Blockmatrizen auf der Nichtdiagonalen auftreten. Durch das Fehlen des Masseterms entkoppeln somit die vier Komponenten der Dirac-Spinoren zu zwei unabhängigen Zweierspinoren

$\partial _{0}{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=-\mathrm {i} {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\nabla }}{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}$.

Der Chiralitätsoperator kommutiert mit dem Weyl-Hamiltonoperator, sodass ein Satz gemeinsamer Energie- und Chiralitäts-Eigenzustände gefunden werden kann. Aufgrund der Diagonalität des Chiralitätsoperators in Weyl-Darstellung

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}$,

folgt direkt, dass der obere Zweierspinor $\psi _{\text{L}}$ als linkshändiger und der untere Spinor $\psi _{\text{R}}$ als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos sogenannte sterile Teilchen. Im Rahmen des Standardmodells sind daher alle Neutrinos negativer Chiralität und Antineutrinos positiver Chiralität.

Massebehaftete Fermionen

Da der Dirac-Hamiltonoperator einen Masseterm besitzt, kommutiert er nicht mit dem Chiralitätsoperator; es lassen sich daher keine gemeinsamen Eigenzustände konstruieren. Insbesondere folgt daraus auch, dass die Chiralität eines massiven Objektes keine Erhaltungsgröße darstellt, da der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem Zeitentwicklungsoperator als Exponential des Hamiltonoperators kommutiert.

Aus der Eigenschaft des Chiralitätsoperators bzw. der fünften Gamma-Matrix, ihr Selbstinverses zu sein, folgt jedoch, dass die Operatoren $P_{\text{R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}$ und $P_{\text{L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}$ einen vollständigen Satz von Projektionsoperatoren bilden. Sie projizieren die Anteile positiver bzw. negativer Chiralität aus dem Dirac-Spinor hinaus: $\gamma ^{5}P_{\text{R/L}}\psi \equiv \gamma ^{5}\psi _{\text{R/L}}=\pm \psi _{\text{R/L}}$. Jeder Dirac-Spinor kann auf diese Weise in einen Anteil rechts- beziehungsweise linkshändiger Chiralität zerlegt werden.

Zusammenhang mit anderen Konzepten

Helizität

Der Helizitätsoperator betrachtet die Projektion des Spins in Bewegungsrichtung eines Teilchens und ist daher im Gegensatz zum Chiralitätsoperator nicht lorentzinvariant. Im Gegensatz zum Chiralitätsoperator kommutiert der Helizitätsoperator jedoch mit dem Dirac-Hamiltonoperator, sodass die Helizität eine Erhaltungsgröße darstellt.

Im Falle masseloser Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen (Spin-) Faktor überein.

CP-Invarianz

Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, nicht invariant unter Paritätsoperationen ${\mathcal {P}}$:

${\mathcal {P}}\psi _{\text{R/L}}(x)=\gamma ^{0}{\frac {1\pm \gamma ^{5}}{2}}\psi ({\mathcal {P}}x)={\frac {1\mp \gamma ^{5}}{2}}\gamma ^{0}\psi ({\mathcal {P}}x)=({\mathcal {P}}\psi (x))_{\text{L/R}}$

Ebenso ändert die Ladungskonjugation (Charge conjugation) ${\mathcal {C}}$ die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines komplex Konjugierten ist:

${\mathcal {C}}\psi _{\text{R/L}}(x)=\mathrm {i} \gamma ^{2}{\frac {1\pm \gamma ^{5^{*}}}{2}}\psi ^{*}(x)={\frac {1\mp \gamma ^{5}}{2}}\mathrm {i} \gamma ^{2}\psi ^{*}(x)=({\mathcal {C}}\psi (x))_{\text{L/R}}$

Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung von beiden Operationen erhalten. Diesen Fakt bezeichnet man als CP-Invarianz.

Siehe auch

• Helizität
• Paritätsverletzung
• Schwache Wechselwirkung

Weblinks

• Helicity and chirality.