Craig-Interpolation

Die Craig-Interpolation ist ein Ausdruck der Logik. Der zugrunde liegende Satz (Craig’s Lemma, Interpolationstheorem) lautet folgendermaßen:

Es seien $T1$ und $T2$ zwei Theorien und der Satz $A\rightarrow C$ sei ein in $T1\cup T2$ ableitbarer Satz. Dann gilt: Es gibt ein $B$, sodass $A\rightarrow B$ in $T1$ ableitbar ist, und $B\rightarrow C$ ist in $T2$ ableitbar.

Das Interpolationstheorem

Dieses Interpolationstheorem wurde zuerst von dem US-amerikanischen Logiker William Craig (1918–2016) 1953 aufgestellt. Es wurde von S. Maehara und von Kurt Schütte (für intuitionistische Kalküle) bewiesen und hat zahlreiche Anwendungen in der Beweis- und Modelltheorie.

Algorithmus zur Bestimmung der Craig-Interpolante

Voraussetzung: Die Formel $A\rightarrow C$ sei ableitbar.

1. Suche alle Atome, die in $A$, aber nicht in $C$ enthalten sind.
2. Für jedes dieser Atome ver-odere (Verknüpfung mit oder) $A$ mit sich selbst, wobei jedes dieser Atome einmal mit $0$ und einmal mit $1$ belegt werden muss.
3. Die resultierende Formel ist die Craig-Interpolante $B$.

Literatur

• Kurt Schütte: Proof Theory. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-07911-4 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 225).
• Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1967, ISBN 0-201-07028-6 (Addison-Wesley Series in Logic).