Definitionsmenge

Die Definitionsmenge dieser Funktion X → Y ist {1, 2, 3}, in diesem Falle die ganze Grundmenge X.

In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich jene Teilmenge einer Grundmenge, für die im jeweiligen Zusammenhang eine wohldefinierte Aussage möglich ist. In der Schulmathematik wird die Definitionsmenge oft mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} abgekürzt, manchmal wird das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{D}} auch mit einem Doppelstrich geschrieben.

Definitionsbereich einer Funktion

Eine Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon A \to B} ist eine spezielle Relation, die jedem Element der Definitionsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} genau ein Element der Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zuweist. Die Definitionsmenge wird mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_f} bezeichnet. Hat die Funktion einen anderen Namen als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} wie z. B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , dann wird der Definitionsbereich entsprechend mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_g} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_h} bezeichnet.

Die Menge

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{f(a)\mid a\in A\}=\{b \mid \exists a\colon f(a) = b\}\subseteq B}

aller Funktionswerte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(a)} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} heißt Bild- oder Wertemenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_f} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge der reellen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} oder komplexen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}} ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Grundmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Beispiele

Gegeben sei die Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon x \mapsto x^2} mit der Grundmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} und der Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} . Dann gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist eine Funktion mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_f=\mathbb{R}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_f=\R_0^+} .

1. Als Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+\to\R_0^+} (also mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+} und Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+} ) ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
2. Als Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+\to\R} (also mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+} und Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ) ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} injektiv, aber nicht surjektiv.
3. Als Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\to\R_0^+} (also mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} und Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R_0^+} ) ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} surjektiv, aber nicht injektiv.
4. Als Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\to\R} (also mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} und Zielmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ) ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} weder surjektiv noch injektiv.

Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion

→ Hauptartikel: Einschränkung

Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A\to B} eine Funktion und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq A} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V \subseteq B} . Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon U\to V} heißt Einschränkung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(x)=f(x)} für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in U} gilt. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} heißt in dieser Situation Erweiterung oder Fortsetzung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} .

Die Einschränkung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} wird oft als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=f\left|_U\right.} geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=B} gewählt.

Für eine Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A\to B} und zwei gegebene Mengen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq A} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\subseteq B} gibt es höchstens eine Einschränkung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon U \to V} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} Teilmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ist.

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon\left\{\begin{matrix} \R\setminus \{0\} \to \R\\ x \mapsto x\sin\frac{1}{x} \end{matrix}\right.}

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} , also als Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\to \R} , sind beispielsweise sowohl

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_0\colon x \mapsto\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{falls } x=0\\ x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0 \end{matrix}\right.}

als auch

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1\colon x \mapsto\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } x=0\\ x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0 \end{matrix}\right.}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_0} ist insofern eine „schönere“ Fortsetzung, als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_0} stetig ist, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1} hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer holomorphen Fortsetzung auf die komplexen Zahlen von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

Definitionsbereich einer Relation

Unter dem Definitionsbereich der Relation Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = (A,B,G)} mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\subseteq A\times B}

versteht man die Projektion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , also jene Teilmenge von Elementen der Quelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , die als erste Komponenten in Elementen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)\in G} vorkommen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Dom}(R):=\{a\in A|\exist b\in B: (a,b)\in G\}.}

Beispiel

Gegeben sei die Relation Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=(\R,\R,G)} mit

$G=\{(x,y)|x=y^{2}\}$.

Da für reelle $y$ das Quadrat immer nichtnegativ (positiv) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle $x$ mindestens eine reelle Zahl $y$ mit $x=y^{2}$ existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: $\operatorname {Dom} (R)=\mathbb {R} _{0}^{+}$.

Definitionsbereich eines Terms

Der Definitionsbereich eines Terms mit $n$ Variablen $a_{i}$ und den dazugehörigen Grundmengen $A_{i}$ ist die Menge aller n-Tupel $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$, $\alpha _{i}\in A_{i}$ für $i=1,\dots ,n$, für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.

Beispiele

Der Definitionsbereich des Terms ${\frac {1}{x-1}}$ in einer Variablen mit der Grundmenge $\mathbb {R}$ ist $\{x\in \mathbb {R} |x\neq 1\}$, da der Bruch nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms ${\sqrt {x-1}}+{\sqrt {y-2}}$ in zwei Variablen mit der Grundmenge $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ist $\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} |x\geq 1{\mbox{ und }}y\geq 2\}$, da im reellen Fall die Wurzel nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

Definitionsbereich von Gleichungen und Ungleichungen

Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ Terme, so nennt man

$T_{1}=T_{2}$

eine Gleichung,

$T_{1}\leq T_{2}$

und

$T_{1}>T_{2}$

und ähnliche Ausdrücke nennt man Ungleichungen. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jene Teilmenge des Grundbereiches, für die alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von $T_{1}$ und $T_{2}$.

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

Beispiel

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung

${\sqrt {x-1}}+{\sqrt {x+1}}={\sqrt {2x+{\frac {3}{2}}}}$

gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung $\{x\in \mathbb {R} |x\geq 1\}$.

Quadrieren der Gleichung liefert

$2x+2{\sqrt {x^{2}-1}}=2x+{\frac {3}{2}}$

bzw.

${\sqrt {x^{2}-1}}={\frac {3}{4}}$.

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt zwar $a=b\implies a^{2}=b^{2}$, aber nicht $a^{2}=b^{2}\implies a=b$, die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

$x^{2}-1={\frac {9}{16}}$

bzw.

$x^{2}={\frac {25}{16}}$.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen $x=-{\frac {5}{4}}$ und $x={\frac {5}{4}}$. Der Wert $x=-{\frac {5}{4}}$ ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert $x={\frac {5}{4}}$ ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.