Derivation (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen. Das Konzept der Derivationen ist eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Ableitung.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$. Außerdem sei $A$ eine $R$-Algebra. Eine ($R$-lineare) Derivation von $A$ ist eine $R$-lineare Abbildung $D\colon A\to A$, die

$D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})a_{2}+a_{1}D(a_{2})$ für alle $a_{1},a_{2}\in A$

erfüllt. Die Eigenschaft $R$-linear besagt, dass für alle $a_{1},a_{2}\in A$ und $r\in R$ die Gleichungen

$D(a_{1}+a_{2})=D(a_{1})+D(a_{2})$

und

$D(ra_{1})=rD(a_{1})$

gelten. Die Definition schließt Ringe $A$ ein, indem man sie als $\mathbb {Z}$-Algebren auffasst. Bildet $D$ in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.

Allgemeine Eigenschaften

• Ist $A$ eine Algebra mit Einselement $1_{A}$, so gilt $D(1_{A})=0$. Damit gilt auch $D(r)=0$ für alle $r\in R$.
• Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
• Die Menge der Derivationen von $A$ mit Werten in $A$ bildet mit dem Kommutator eine Lie-Algebra: Sind $D_{1}$ und $D_{2}$ Derivationen, so auch

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.$

• Für ein Element $b\in A$ ist $D_{b}\colon A\to A$, $D_{b}(a)=ba-ab$, eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen innere Derivationen. Die Hochschild-Kohomologie $H^{1}(A,A)$ ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
• In einer kommutativen Algebra $A$ gilt $D(a^{n})=na^{n-1}D(a)$ für alle $a\in A$ und alle nichtnegativen ganzen Zahlen $n$.

Beispiele

• Die Ableitung reeller Funktionen $f:D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist eine Derivation. Dies besagt die Produktregel.
• Für $A=R[X]$ ist die formale Ableitung

$\sum a_{i}X^{i}\mapsto \sum ia_{i}X^{i-1}$

eine $R$-lineare Derivation von $A$ mit Werten in $A$.

• Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit. Dann ist die Cartan-Ableitung eine $\mathbb {R}$-lineare Derivation von $C^{\infty }(X)$ mit Werten im Raum $A^{1}(X)$ der 1-Formen auf $X$.
• Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Liealgebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:

$[X,[A,B]]=[[X,A],B]+[A,[X,B]].$

Derivationen und Kähler-Differentiale

Per definitionem werden $R$-lineare Derivationen einer kommutativen Algebra $A$ durch den Modul $\Omega _{A/R}$ der Kähler-Differentiale klassifiziert, d. h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den $R$-linearen Derivationen von $A$ mit Werten in einem $A$-Modul $M$ und den $A$-linearen Abbildungen $\Omega _{A/R}\to M$. Jede Derivation $D\colon A\to M$ entsteht als Verkettung der universellen Derivation $\mathrm {d} \colon A\to \Omega _{A/R}$ mit einer $A$-linearen Abbildung $\Omega _{A/R}\to M$.

Antiderivationen

Definition

Ist $A$ eine $\mathbb {Z}$- oder $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra, so heißt eine $R$-lineare graduierte Abbildung $D\colon A\to A$ eine Antiderivation, wenn

$D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})a_{2}+(-1)^{|a_{1}|}\cdot a_{1}D(a_{2})$

für alle homogenen Elemente $a_{1},a_{2}\in A$ gilt; dabei bezeichnet $|a_{1}|$ den Grad von $a_{1}$.

Beispiele

• Die äußere Ableitung von Differentialformen ist eine Antiderivation:

$\mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{|\omega |}\cdot \omega \wedge \mathrm {d} \eta .$

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.