Direkte Summe

Der Begriff der direkten Summe in der Mathematik wird zwischen äußerer und innerer direkter Summe unterschieden.

Äußere direkte Summe

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von Vektorräumen, abelschen Gruppen oder Moduln. Er ist gegeben durch den Unterraum, bzw. Untergruppe, bzw. Untermodul des direkten Produktes, welcher aus genau den Tupeln mit endlichem Träger besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für abelsche Gruppen und Moduln geht dies aber analog.) Die direkte Summe wird mit dem Verknüpfungszeichen $\oplus$ geschrieben.

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

Definition

Sei $\left(V_{i}\right)_{i\in I}$ eine Familie von Vektorräumen. Dann heißt

$\bigoplus _{i\in I}V_{i}\colon =\left\{\left(v_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}V_{i}\mid v_{i}=0{\mbox{ für fast alle }}i\in I\ \right\}$

die äußere direkte Summe der Familie $(V_{i})_{i\in I}$, wobei $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$ das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel

$V_{1}\oplus V_{2}=\left\{\left(v_{1},v_{2}\right)\mid v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}\right\}=V_{1}\times V_{2}$

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen (hier zwei) Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen von $V_{1}$ und $V_{2}$ ist.

Innere direkte Summe

Bei einer Familie von Untervektorräumen $(U_{i})_{i\in I}$ des Vektorraumes $V$ heißt $V$ innere direkte Summe von $U_{i}$ (auch direkte Zerlegung von $V$), falls jedes $v\in V$ eindeutig aus der Summe endlich vieler $u_{i}\in U_{i}$ gebildet werden kann, d. h.

$\forall v\in V:\exists \,({\rm {eindeutige}})\,u_{i}\in U_{i}:v=\sum _{i\in I}u_{i},{\text{ fast alle }}u_{i}=0$.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

$V=\bigoplus _{i\in I}U_{i}$

oder im endlichen Fall

$V=U_{1}\oplus \dotsb \oplus U_{n}$

Eine Summe $V=\sum _{i\in I}U_{i}$ einer Familie von Untervektorräumen ist genau dann direkt, wenn für alle $j\in I$ gilt:

$U_{j}\cap \sum _{i\in I\setminus \{j\}}U_{i}=\{0\}$,

also wenn für jedes $U_{i}$ der Schnitt mit der Summe der übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor enthält.

Im Spezialfall $U_{1}\oplus U_{2}=V$ nennt man $U_{1}$ und $U_{2}$ zueinander komplementär. Dabei gilt

$U_{1}\oplus U_{2}=V\Leftrightarrow (U_{1}+U_{2}=V)\land (U_{1}\cap U_{2}=\{0\})$.

Zusammenhang

Man beachte: Die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Den Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann man durch folgenden Trick herstellen.

Man konstruiert eine Abbildung $f_{j}:V_{j}\longrightarrow \oplus V_{i}$ für jedes $V_{j}$ (die Summanden der äußeren Summe):

$f_{j}(x)=(v_{i})_{i\in I},v_{i}=x$ für $i=j$ und $v_{i}=0$ für $i\neq j$

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

Siehe auch

• Orthogonale Summe, Ausweitung auf mit Skalarprodukten versehene Räume, insbesondere Hilberträume.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0