Division mit Rest

Die Division mit Rest oder der Divisionsalgorithmus ist ein mathematischer Satz aus der Algebra und der Zahlentheorie. Er besagt, dass es zu zwei Zahlen $n$ und $m\neq 0$ eindeutig bestimmte Zahlen $a$ und $b$ gibt, für die

$n=a\cdot m+b\,,\quad 0\leq b<|m|$

gilt. Die Zahlen $a$ und $b$ lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln.

Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. Die allgemeinste mathematische Struktur, in der es eine Division mit Rest gibt, ist der euklidische Ring.

Natürliche Zahlen

Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend $a$ und der Divisor $b$ (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, also wenn

$a:b$

berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl $a$ als Vielfaches von $b$ und einem „kleinen Rest“ darstellen kann:

$a=b\cdot c+r$

Hier ist $c$ der so genannte Ganzzahlquotient und $r$ der Rest. Entscheidende Nebenbedingung ist, dass $r$ eine Zahl in $\{0,\dots ,b-1\}$ ist. Hierdurch wird $r$ eindeutig bestimmt.

Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors, das höchstens so groß ist wie der Dividend. Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich genau dann, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist. Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt.

Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt.

Beispiele

• 7:3 = 2, Rest 1, da 7 = 3×2 + 1 („drei passt zweimal in sieben und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins)
• 2:3 = 0, Rest 2, da 2 = 3×0 + 2
• 3:3 = 1, Rest 0, da 3 = 3×1 + 0

Bestimmung des Restes für spezielle Teiler

Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen:

• bei Division durch 2: der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, und 0, wenn die letzte Ziffer gerade ist
• bei Division durch 3: der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 3 lässt
• bei Division durch 5: der Rest ist gleich dem Rest, den die letzte Ziffer bei Division durch 5 lässt
• bei Division durch 9: der Rest ist die iterierte Quersumme oder 0, falls diese 9 ist
• bei Division durch 10: der Rest ist die letzte Ziffer

Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln existieren für etliche weitere Teiler.

Ganze Zahlen

Ist b eine negative ganze Zahl, dann gibt es keine natürlichen Zahlen zwischen 0 und b-1. Stattdessen fordert man, dass der Rest zwischen 0 und |b|-1 (dem Betrag von b minus 1) liegt. Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest in diesem Fall zwischen b+1 und 0 liegt, also dasselbe Vorzeichen hat wie b. Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest zu wählen. Diese Variante liefert für a = b · c + r die beste Näherung b · c für a.

Beispiel

Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich entsprechend der Alltagserfahrung folgendes Bild:

 7 :   3 =  2 Rest  1
−7 :   3 = −2 Rest −1

Übertragen auf negative Teiler – obwohl wenig anschaulich – folgt:

 7 :  −3 = −2 Rest  1
−7 :  −3 =  2 Rest −1

(Hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). Als Quotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag kleiner oder gleich dem Betrag des Quotienten im Bereich der rationalen Zahlen ist. Der Rest und sein Vorzeichen folgen aus der Wahl des Quotienten.

Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt, sei Geschmackssache, könnte man meinen, denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. Lassen wir hierbei auch zu, dass „Schulden“ gemacht werden dürfen, sind beispielsweise alle folgenden Ergebnisse zulässig:

 7 :  3 =  1 Rest  4
 7 :  3 =  2 Rest  1
 7 :  3 =  3 Rest −2

oder

−7 :  3 = −1 Rest −4
−7 :  3 = −2 Rest −1
−7 :  3 = −3 Rest  2

Zur Normierung wird in der Mathematik die Konvention verwendet, die Vorzeichen der Reste aus denen der Teiler zu beziehen, wie in den folgenden Beispielen dargestellt:

 7 :   3 =  2 Rest  1
−7 :   3 = −3 Rest  2
 7 :  −3 = −3 Rest −2
−7 :  −3 =  2 Rest −1

Hierbei kann die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Restklasse direkt am Rest abgelesen werden.

Implementierung in Computersystemen

Man beachte, dass DIV- und MOD-Befehle (für ganzzahlige Division und Restbildung) in den meisten Programmiersprachen (und sogar in Intels 80x86-Prozessoren) genau diesem Alltagsansatz entsprechend implementiert sind.

Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. Im Beispiel Ada hat:

• (A rem B) dasselbe Vorzeichen wie A und einen Absolutwert kleiner als der Absolutwert von B
• (A mod B) dasselbe Vorzeichen wie B und einen Absolutwert kleiner als der Absolutwert von B

Modulo

Modulo berechnet den Rest b der Division n geteilt durch m. Man kann eine Funktion definieren, welche jedem Zahlenpaar { n ; m } einen eindeutigen Teilerrest b zuordnet. Diese nennt man „Modulo“ (von lat. modulus, Kasus Ablativ, also: „(gemessen) mit dem Maß (des …)“; siehe auch wikt:modulo) und wird meistens mit mod abgekürzt. In vielen Programmiersprachen wird sie durch % dargestellt und als Operator behandelt.

Wir betrachten die Funktion

${\bmod {\colon }}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\to \mathbb {Z} \ ,\quad (a,m)\mapsto a\;{\bmod {\;}}m:=a-\left\lfloor {\frac {a}{m}}\right\rfloor \cdot m\ .$

Die Gaußklammer $\lfloor \cdot \rfloor$ bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich der Zahl in der Gaußklammer ist, also ohne den Rest der Division $a\,/\,m$. Hier gilt stets

$(a+km)\;{\bmod {\;}}m=a\;{\bmod {\;}}m\quad (k\in \mathbb {Z} ),$

aber im Allgemeinen ist

$(-a)\;{\bmod {\;}}m\neq -(a\;{\bmod {\;}}m),$ z. B. $(-2)\;{\bmod {\;}}3=1\neq -2=-(2\;{\bmod {\;}}3)$.

Ist $m$ positiv, so ist $a\;{\bmod {\;}}m\geq 0$ für alle $a$.

Neben dieser sogenannten „Mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, welche für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird:

$(a\;{\bmod {\;}}m):=a-m\cdot (a\,\operatorname {div} \,m);$

dabei bezeichnet $a\,\operatorname {div} \,m$ den zur Null hin gerundeten Quotienten $a\,/\,m$, gegeben durch $a\,\operatorname {div} \,m=\operatorname {sgn}(a)\;\operatorname {sgn}(m)\left\lfloor {\frac {|a|}{|m|}}\right\rfloor$, wobei $\operatorname {sgn}(x)$ die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Für diese Variante gilt

$(-a)\;{\bmod {\;}}m=-(a\;{\bmod {\;}}m)$,

aber im Allgemeinen

$(a+km)\;{\bmod {\;}}m\neq a\;{\bmod {\;}}m$, z. B. $(1-3)\;{\bmod {\;}}3=(-2)\;{\bmod {\;}}3=-2\neq 1=1\;{\bmod {\;}}3$.

$a\;{\bmod {\;}}m$ hat stets dasselbe Vorzeichen wie $a$, oder es gilt $a\;{\bmod {\;}}m=0$.

Gilt $a\geq 0$ und $m>0$, so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis. In Programmiersprachen ist die implementierte Variante nicht einheitlich. So verwenden Ruby, Perl und Python die mathematische Variante, wohingegen C, Java, JavaScript und PHP die symmetrische einsetzen, was besonders wichtig bei Portierungen ist. Der in der Googlesuche enthaltene Rechner verwendet die mathematische Variante.

Steht in einer Sprache wie C(++) oder Java nur die symmetrische Variante zur Verfügung, kann man Ergebnisse nach der mathematischen Variante erhalten mit:

a mod b = ( a % b + b) % b

wobei % der symmetrischen Modulooperation entspricht und mod der mathematischen.

Beispiele

• 17 mod 3 = 2, da $17=5\cdot 3+2$ („3 passt fünfmal in 17 und es bleiben 2 übrig“ – der Rest ist also 2)
• 2 mod 3 = 2, da $2=0\cdot 3+2$
• 3 mod 3 = 0, da $3=1\cdot 3+0$
• -8 mod 6 = 4, da $-8=-2\cdot 6+4$

Wenn $(a\;{\bmod {\;}}m)=(b\;{\bmod {\;}}m)$, dann folgt nicht daraus, dass $a=b$ ist, sondern nur, dass sich $a$ und $b$ um ein ganzzahliges Vielfaches von $m$ unterscheiden, also: $a=b+(k\cdot m)$ mit $k\in \mathbb {Z}$. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden:

$a\equiv b\mod m$ oder auch $a\equiv _{m}b$

Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl

Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender Modulo-Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten endlichen Körper.

Beispiele

• Restklasse modulo 3: $(2\;{\bmod {\;}}3)+(2\;{\bmod {\;}}3)\;{\bmod {\;}}3=4\;{\bmod {\;}}3=1\;{\bmod {\;}}3$
• Restklasse modulo 5: $(3\;{\bmod {\;}}5)\cdot (3\;{\bmod {\;}}5)\;{\bmod {\;}}5=9\;{\bmod {\;}}5=4\;{\bmod {\;}}5$

Verallgemeinerung: Reelle Zahlen

Sind a und b reelle Zahlen, b ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient c und Rest r im halboffenen Intervall [0, |b|) sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung a = b · c + r erfüllen.

Auch hier gibt es die Alternativen, dem Rest dasselbe Vorzeichen wie b zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Letztere Alternative entspricht der Rundung: Die Division mit Rest von a durch 1 liefert eine ganze Zahl c und eine reelle Zahl r mit Betrag kleiner oder gleich 0,5, die die Gleichung a = c + r erfüllen. Die Zahl c ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von a.

Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend.

Polynome

Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom $f(X)$ aus dem Polynomring $R[X]$ eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von $f(X)$ muss eine Einheit von $R$ sein (insb. ist $f(X)$ nicht das Nullpolynom). Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem $g(X)\in R[X]$ eindeutig bestimmte Polynome $q(X),r(X)\in R[X]$ mit

$g(X)=q(X)f(X)+r(X)\quad {\text{und}}\quad \operatorname {deg} (r)<\operatorname {deg} (f)$

Dabei wird dem Nullpolynom ein Grad kleiner als jedem anderen Polynom gegeben, bspw. $-\infty .$

Ein Beispiel ist das folgende Polynom

$2X^{2}+4X+5=(2X+2)(X+1)+3\in \mathbb {R} [X]$

Die Polynome $q(X)$ und $r(X)$ lassen sich durch Polynomdivision bestimmen.

Anwendung

Programmierung

Die Division mit Rest (Modulo) wird in der Programmierung relativ häufig verwendet. Der entsprechende Operator heißt in unterschiedlichen Programmiersprachen oft mod oder %. Etwa könnte man prüfen, ob eine gegebene Zahl $x$ gerade ist, indem man folgende Abfrage durchführt: if ( (x mod 2) == 0). Modulo kann man auch nutzen, wenn man in einer Schleife lediglich bei jedem $x$-ten Schleifendurchlauf einen speziellen Programmcode ausführen will. Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist er sinnvoll einsetzbar. Allgemein kann man mit mod prüfen, ob eine Zahl durch eine andere genau teilbar ist: nur dann ist der Modulo gleich Null. Des Weiteren muss man in der Programmierung oft auf ganze Vielfache einer Zahl ergänzen (z. B. 4 Bytes) und bekommt durch den Modulo heraus, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen. Durch die Funktion divmod werden Ganzzahlquotient und Rest ausgewertet.

Beispiel

Man programmiert eine Uhr und hat die Zeit als Sekundenwert seit 0 Uhr gegeben. Dann kann man den Sekundenwert Mod 3600 berechnen. Ist dieser gleich 0, so weiß man, dass eine volle Stunde angefangen hat. Diese Information kann man nutzen, um z. B. ein akustisches Signal (Gong zur vollen Stunde) auszulösen. Mit der Berechnung Sekundenwert Mod 60 erhält man die Sekunde der aktuellen Minute, die oftmals von Digitaluhren als letzte zwei Stellen angezeigt werden.

Weitere Anwendungen

• Berechnung der Prüfziffer der Internationalen Standardbuchnummer
• Prüfsummen-Formel Luhn-Algorithmus zur Bestätigung von Identifikationsnummern wie Kreditkartennummern und kanadische Sozialversicherungsnummern
• Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des Osterdatums)
• Bei der International Bank Account Number (IBAN)
• In der Kryptografie, beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch oder beim RSA-Kryptosystem

Siehe auch

• Hashfunktion und die dort genannten Verfahren
• Kleiner fermatscher Satz
• Satz von Euler
• Endlicher Körper

Literatur

• Kristina Reiss, Gerald Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie. Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21248-5.
• Peter Hartmann: Mathematik für Informatiker. Ein praxisbezogenes Lehrbuch. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0096-1, S. 62, (online).
• Albrecht Beutelspacher, Marc-Alexander Zschiegner: Diskrete Mathematik für Einsteiger. Mit Anwendungen in Technik und Informatik. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0094-7, S. 65, (online).

Weblinks

• Modulo online berechnen
• Java ist auch eine Insel: Der Restwert-Operator %
• Ganzzahlige Division und der Rest
• Division mit Rest - der heimliche Hauptsatz der Algebra (PDF-Datei; 86 kB)