Ellipsoid

Kugel (oben, a=4),
Rotationsellipsoid (unten links, a=b=5, c=3),
triaxiales Ellipsoid (unten rechts, a=4.5, b=6, c=3)

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

• Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der (kartesischen) Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

• $E_{abc}:\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad a,b,c>0.$

Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt $(0,0,0)$, dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen $a,b,c$ sind (analog zu einer Ellipse) die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte $(\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)$ ihre 6 Scheitel.

• Falls $a=b=c$ ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
• Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
• Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide $E_{abc}$ sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Parameterdarstellung eines Ellipsoids

Die Punkte auf der Einheitskugel können wie folgt parametrisiert werden (s. Kugelkoordinaten):

$x=\cos \theta \cdot \cos \varphi ,\ y=\cos \theta \cdot \sin \varphi ,\ z=\sin \theta ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2,\ 0\leq \varphi <2\pi$

Skaliert man die einzelnen Koordinaten mit den Faktoren $a,b,c$ so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids $E_{abc}$:

$x=a\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi$

$y=b\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi$

$z=c\cdot \sin \theta$

mit $-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2$ und $0\leq \varphi <2\pi .$

Volumen eines Ellipsoids

Das Volumen des Ellipsoids $E_{abc}$ ist

• $V={\frac {4}{3}}\pi abc.$

Eine Kugel mit Radius $r$ hat das Volumen $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Herleitung

Der Schnitt des Ellipsoids $E_{abc}$ mit einer Ebene in der Höhe $z$ ist die Ellipse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}$ mit den Halbachsen $a'=a{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}},\ b'=b{\sqrt {1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}$. Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist $A(z)=\pi a'b'=\pi ab(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}})$. Das Volumen ergibt sich dann aus

$\int _{-c}^{c}A(z)\;dz=\pi ab\int _{-c}^{c}(1-{\frac {z^{2}}{c^{2}}})={\frac {4}{3}}\pi abc.$

Oberfläche eines Ellipsoids

Oberfläche eines Rotationsellipsoids

→ Hauptartikel: Rotationsellipsoid

Die Oberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoids $E_{aac}$ mit $a>c$ ist

$A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right),$

die des verlängerten Ellipsoids ($c>a$)

$A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right).$

Eine Kugel mit Radius $r$ hat die Oberfläche $A=4\pi r^{2}$ (s. Kugel).

Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids

Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. $\operatorname {arsinh}$ oder $\arcsin$ oben beim Rotationsellipsoid. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei $a>b>c$. Schreibt man

$k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}$ und $\varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}},$

so lauten die Integrale

$E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x$ und $F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.$

Die Oberfläche hat mit $E$ und $F$ nach Legendre den Wert

$A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).$

Werden die Ausdrücke für $k$ und $\varphi$ sowie die Substitutionen

$u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}$  und  $v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}$

in die Gleichung für $A$ eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

$A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.$

Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel

$A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{\frac {8}{5}}+(ac)^{\frac {8}{5}}+(bc)^{\frac {8}{5}}}{3}}\right)^{\frac {5}{8}}.$

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids $\left(c\to 0\right)$ streben alle drei angegebenen Formeln für $A$ gegen $2\pi ab,$ den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$.

Ebene Schnitte eines Ellipsoids

Ebener Schnitt eines Ellipsoids

Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer Ebene ist

• eine Ellipse, falls er wenigstens zwei Punkte enthält,
• ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist,
• andernfalls leer.

Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine Kugel in einem Kreis schneidet und ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse übergeht.

Der wahre Umriss eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

Ellipsoid in beliebiger Lage

Ellipsoid als affines Bild der Einheitskugel

Parameterdarstellung

Eine affine Abbildung lässt sich durch eine Verschiebung um ${\vec {f}}_{0}$ und eine reguläre 3×3-Matrix $A$ beschreiben: ${\vec {x}}\rightarrow {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+x{\vec {f}}_{1}+y{\vec {f}}_{2}+z{\vec {f}}_{3}$, wobei ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ die Spaltenvektoren der Matrix $A$ sind.

Die Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der Einheitskugel und der Beschreibung einer affinen Abbildung:

• ${\vec {x}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{3}\sin \theta ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2,\ 0\leq \varphi <2\pi$

Umgekehrt gilt: Wählt man einen Vektor ${\vec {f}}_{0}$ beliebig und die Vektoren ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ beliebig, aber linear unabhängig, so beschreibt die obige Parameterdarstellung in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ ein Orthogonalsystem, so sind die Punkte ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{i},\ i=1,2,3$ die Scheitel des Ellipsoids und $|{\vec {f}}_{1}|,|{\vec {f}}_{2}|,|{\vec {f}}_{3}|$ die zugehörigen Halbachsen.

Ein Normalenvektor im Punkt ${\vec {x}}(\theta ,\varphi )$ ist

${\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\vec {f}}_{2}\times {\vec {f}}_{3}\cos \theta \cos \varphi +{\vec {f}}_{3}\times {\vec {f}}_{1}\cos \theta \sin \varphi +{\vec {f}}_{1}\times {\vec {f}}_{2}\sin \theta .$

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine implizite Beschreibung $F(x,y,z)=0$ angeben. Für ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Ursprung, d. h. ${\vec {f}}_{0}=(0,0,0)^{T}$, ist

• $F(x,y,z)=\operatorname {det} ({\vec {x}},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {x}},{\vec {f}}_{3})^{2}\;+\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {x}})^{2}\;-\;\operatorname {det} ({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3})^{2}=0$

ein implizite Darstellung.

Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem (eventuell schiefen) Koordinatensystem ${\vec {f}}_{0}$ (Ursprung), ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ (Basisvektoren) die Einheitskugel.

Ellipsoid als Quadrik

→ Hauptartikel: Quadrik

Ein beliebiges Ellipsoid mit Mittelpunkt ${\vec {f}}_{0}$ lässt sich als Lösungsmenge einer Gleichung

$({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})^{\mathrm {T} }\!A\,({\vec {x}}-{\vec {f}}_{0})=1$

schreiben, wobei A eine positiv definite Matrix ist.

Die Eigenvektoren von A bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die Eigenwerte von A sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen: $a^{-2}$, $b^{-2}$ und $c^{-2}$.

Ellipsoid in der projektiven Geometrie

Schließt man den 3-dimensionalen affinen Raum und die einzelnen Quadriken projektiv durch eine Fernebene bzw. Fernpunkte (Quadriken) ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive Kollineation, die die eine Quadrik in die andere überführt:

• Ellipsoid, elliptisches Paraboloid und 2-schaliges Hyperboloid.

Siehe auch

• Hyperboloid
• Paraboloid
• Homöoid
• Fokaloid
• Referenzellipsoid in der Kartografie

Weblinks

• Online-Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Ellipsoids (englisch)
• Herleitung der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids (englisch)
• Mathematische Basteleien: Ellipsoid
• Eric W. Weisstein: Ellipsoid. In: MathWorld. (englisch)