Gruppenoperation

Durch eine Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung werden in der Mathematik die Elemente einer Gruppe $G$ so mit Selbstabbildungen einer Menge $X$ identifiziert, dass dabei immer das Produkt zweier Gruppenelemente der Hintereinanderausführung der zugehörigen Abbildungen entspricht. Die Menge $X$ zusammen mit der Operation von $G$ auf $X$ heißt $G$-Menge, die operierende Gruppe $G$ wird Transformationsgruppe genannt. Die Gruppenoperation ermöglicht es in der Algebra, der Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund, und die operierende Gruppe ist häufig von vornherein als Gruppe von Abbildungen gegeben. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. Dabei steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

Einführendes Beispiel: Operation der Symmetriegruppe eines Würfels auf den Raumdiagonalen

ABCDEFGH seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h. ABCD und EFGH sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgenden Vertauschung der Ecken:

$A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A,\quad E\mapsto F\mapsto G\mapsto H\mapsto E.$

Durch die Drehung werden auch die Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

$AG\mapsto BH\mapsto CE\mapsto DF\mapsto AG.$

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

$A\mapsto G\mapsto A,\quad B\mapsto H\mapsto B,\quad C\mapsto E\mapsto C,\quad D\mapsto F\mapsto D.$

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale zwar gespiegelt, aber auf sich selbst abgebildet. Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels operiert auf der Menge der Raumdiagonalen. Dieser Umstand erlaubt es, Rückschlüsse auf die Gruppe zu ziehen. Dazu stellt man fest, dass es zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Symmetrieabbildung gibt, die diese beiden vertauscht und die anderen beiden fest lässt, nämlich die Spiegelung an der Ebene, die die beiden anderen Raumdiagonalen enthält. Aus den allgemeinen Eigenschaften der symmetrischen Gruppe folgt damit, dass es zu jeder Permutation der Raumdiagonalen eine entsprechende Symmetrieabbildung gibt. Da es $4!=24$ dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

$24\cdot 2=48$

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)

Definition

(Links-)Aktion

Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe $(G,*)$ auf einer Menge $X$ ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

$\triangleright \colon G\times X\to X,(g,x)\mapsto g\triangleright x,$

mit folgenden Eigenschaften:

• $(g*h)\triangleright x=g\triangleright (h\triangleright x)$ für alle $g,h\in G,x\in X,$
• $e\triangleright x=x$ für alle $x\in X$, wobei $e$ das neutrale Element von $G$ ist.

Man sagt dann $G$ operiert (von links) auf $X$ und nennt $X$ zusammen mit dieser Gruppenoperation eine $G$-Menge.

Aus den beiden Axiomen folgt, dass für jedes $g\in G$ die Transformation $\vartheta _{g\triangleright }\colon X\to X,x\mapsto \vartheta _{g\triangleright }(x):=g\triangleright x,$ eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung $\vartheta _{g\triangleright }^{-1}$ ist $\vartheta _{g^{-1}\triangleright }\colon X\to X,x\mapsto \vartheta _{g^{-1}\triangleright }(x)=g^{-1}\triangleright x$). Deswegen ist eine Gruppenoperation von $G$ auf $X$ im Wesentlichen das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus von $(G,*)$ in die symmetrische Gruppe $(\operatorname {Sym} (X),\circ ).$

Rechtsaktion

Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

$\triangleleft \colon X\times G\to X,(x,g)\mapsto x\triangleleft g,$

mit

• $x\triangleleft (g*h)=(x\triangleleft g)\triangleleft h$ für alle $g,h\in G,x\in X,$
• $x\triangleleft e=x$ für alle $x\in X$ und das neutrale Element $e$ von $G.$

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen $g*h$ auf $X$ operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst $h$ und dann $g$, während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist. Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem statt $g$ von links $g^{-1}$ von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation $\triangleleft$ gibt es eine Linksoperation

$\triangleright \colon G\times X\to X,(g,x)\mapsto g\triangleright x:=x\triangleleft g^{-1},$

denn

${\begin{aligned}(g*h)\triangleright x&=x\triangleleft (g*h)^{-1}=x\triangleleft (h^{-1}*g^{-1})\\&=(x\triangleleft h^{-1})\triangleleft g^{-1}=(h\triangleright x)\triangleleft g^{-1}=g\triangleright (h\triangleright x)\end{aligned}}$

und

$e\triangleright x=x\triangleleft e^{-1}=x\triangleleft e=x.$

Auf ähnliche Weise lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Begriffe im Zusammenhang mit Gruppenoperationen

Bahn

Es sei $\triangleright$ die (Links-)Operation einer Gruppe $(G,*)$ auf einer Menge $X.$ Für jedes $x\in X$ nennt man dann

$G\triangleright x:=\{g\triangleright x\mid g\in G\}$

die Bahn oder den Orbit von $x.$ Die Bahnen bilden eine Partition von $X.$ Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:

$x_{1}\sim x_{2},$

falls es ein $g\in G$ gibt, für das $g\triangleright x_{1}=x_{2}$ gilt.

Die Menge $G\backslash X:=\{G\triangleright x\mid x\in X\}$ der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt.

Für eine Rechtsoperation $\triangleleft$ definiert man analog

$x\triangleleft G:=\{x\triangleleft g\mid g\in G\}$

und

$X/G:=\{x\triangleleft G\mid x\in X\}.$

Transitive und scharf transitive Operationen

Man bezeichnet die Gruppenoperation $\triangleright$ von $G$ auf $X$ als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe $G$ operiert (einfach) transitiv auf $X$“, wenn es zu je zwei Elementen $x_{1},x_{2}\in X$ ein $g\in G$ gibt, so dass $g\triangleright x_{1}=x_{2}$ gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz $X$ umfasst. Ist das Gruppenelement $g$ mit $g\triangleright x_{1}=x_{2}$ darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente $x_{1},x_{2}\in X$ eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern $(x_{1},x_{2})\in X^{2}$ mit $x_{1}\neq x_{2}$ und jedem Paar von Bildern $(y_{1},y_{2})\in X^{2}$ ein Gruppenelement $g\in G$, für das $g\triangleright x_{1}=y_{1}$ und $g\triangleright x_{2}=y_{2}$ ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Allgemein bestimmt eine Operation $\triangleright$ der Gruppe $G$ auf $X$ für $k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$ stets eine Operation

$\triangleright _{k}:G\times X^{k}\to X^{k}$

auf den geordneten Teilmengen von $X$ mit $k$ Elementen (k-Tupel) durch

$g\triangleright _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=(g\triangleright x_{1},g\triangleright x_{2},\ldots ,g\triangleright x_{k}).$

Ist $\triangleright _{k}$ (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation $\triangleright$ (scharf) $k$-fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via $\triangleright$ genau dann $k$-fach transitiv auf $X,$ wenn $X^{k}$ bezüglich $\triangleright _{k}$ nur eine Bahn (nämlich $X^{k}$ selbst) hat, scharf $k$-fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel) $t_{1},t_{2}\in X^{k}$ dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement $g\in G$ mit $g\triangleright _{k}t_{1}=t_{2}$ gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Homogene Operationen

Eine Verallgemeinerung der $k$-fach transitiven Operation ist die $k$-fach homogene Operation. Eine Gruppe $G$ operiert $k$-fach homogen auf der Menge $X$ mit $k\in \mathbb {N} \setminus \{0\},$ wenn es für zwei beliebige Teilmengen $X_{1},X_{2}\subseteq X$ mit je genau $k$ Elementen stets mindestens ein Gruppenelement $g\in G$ gibt, das $X_{1}$ auf $X_{2}$ abbildet, also mit $g\triangleright X_{1}=X_{2}.$ Jede $k$-fach transitive Operation ist auch $k$-fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die $k$ vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Stabilisator

Für ein $x\in X$ nennt man

$G_{x}=\{g\in G\mid g\triangleright x=x\}$

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von $x.\;(G_{x},*)$ ist eine Untergruppe von $(G,*)$, die auf $G$ operiert. Durch die Operation $\triangleright$ ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von $x$ gegeben:

$G_{x}\backslash G\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;G\triangleright x,\,G_{x}*g\mapsto g\triangleright x.$

$G_{x}$ operiert (durch Einschränkung von $\triangleright$) auf $X\setminus \{x\}.$ Ist diese Operation $k$-fach transitiv und $G_{x}\neq G,$ so ist die Operation von $G$ auf $X$ sogar $(k+1)$-fach transitiv.

Ist $Y\subseteq X$ eine Teilmenge und $H\subseteq G$ eine Untergruppe, und gilt

$H\triangleright Y\subseteq Y$ mit $H\triangleright Y:=\{h\triangleright y\mid h\in H,y\in Y\},$

so sagt man, dass $Y$ stabil unter $H$ ist oder dass $Y$ von $H$ stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar $H\triangleright Y=Y.$ Der Stabilisator eines Punktes $x\in X$ ist also die maximale Untergruppe von $G,$ die $\{x\}$ stabilisiert.

Freie und treue Operationen

Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h. $G_{x}=\{e\}$ für alle $x\in X.$

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus $G\to \operatorname {Sym} (X)$ trivialen Kern hat, also injektiv ist. In diesem Fall und wenn zusätzlich die Menge $X$ (und damit auch die Gruppe $G$) endlich ist, sagt man auch: „$G$ operiert als Permutationsgruppe auf $X.$“

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Homomorphismen zwischen G-Mengen

Wenn $Y$ eine weitere Menge mit einer $G$-Linksoperation $\star$ ist und $\varphi \colon X\to Y$ eine Abbildung, so dass für alle $g\in G$ und für alle $x\in X$ gilt:

$\varphi (g\triangleright x)=g\star \varphi (x),$

dann wird $\varphi$ als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von $G$-Mengen bezeichnet.

Eigenschaften

Operiert die Gruppe $(G,*)$ auf $X,$ dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von $X,$ das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von $X$ liegt in einer Bahn. Denn man kann die folgende Äquivalenzrelation „$\sim$“ definieren:

Sind $x,y\in X,$ dann ist $x\sim y,$ falls ein $g$ in $G$ existiert, so dass $g\triangleright x=y$ ist.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von $X$ ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Genauer gilt der

Bahnensatz: Ist $x\in X,$ dann ist die Abbildung $i\colon \,G_{x}\backslash G\to G\triangleright x,\,G_{x}*g\mapsto i(G_{x}*g):=g\triangleright x,$ eine Bijektion.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe $G$ die Bahnformel

$|G\triangleright x|\cdot |G_{x}|=|G|.$

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von $G.$

Beispiele

Operation einer Gruppe auf sich selbst

Operation durch Multiplikation

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe $(G,*)$ auf sich selbst: $*$ ist stets eine Operation auf $G$, denn $(g*h)*x=g*(h*x)$ und $e*g=g.$

Die Abbildung $\Theta \colon G\to \operatorname {Sym} (G)$ ordnet jedem Gruppenelement $g$ die Linkstranslation $\vartheta _{g*}$ mit diesem zu. ${\Theta }$ ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung $n$ ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\operatorname {Sym} _{n\!}.$

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation $\vartheta _{*g}.$

Betrachtet man eine Untergruppe $H$ von $G,$ dann operiert auch $H$ auf $G.$ Die Bahn $H*g$ eines Elements $g\in G$ heißt dann auch Rechtsnebenklasse und $g*H$ Linksnebenklasse von $g.$ Man beachte, dass im Allgemeinen nicht $g*H=H*g$ sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

$G:H:=|H\backslash G|.$

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt $|H*g|=|H|$ für jedes $g\in G.$ Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe $H$ einer endlichen Gruppe $G$ gilt:

$|G|=(G:H)\cdot |H|.$

Insbesondere ist die Ordnung von $H$ ein Teiler der Ordnung von $G.$

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

$G:H=|H\backslash G|=|G/H|.$

Eine Untergruppe $H$ von $G$ heißt Normalteiler, wenn $g*H=H*g$ für alle $g\in G$ gilt. Ist $H$ ein Normalteiler von $G,$ dann wird durch

$(g_{1}*H)\circledast (g_{2}*H):=(g_{1}*g_{2})*H$

eine Verknüpfung auf $G/H$ definiert, mit der $(G/H,\circledast )$ eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von $(G,*)$ modulo $H.$

Operation durch Konjugation

Eine Gruppe $(G,*)$ operiert auf sich durch die Konjugation, also $g\triangleright h:=g*h*g^{-1}.$

Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang als Konjugationsklassen, die Stabilisatoren als Zentralisatoren bezeichnet. Aus der Bahnformel erhält man in diesem Fall die Klassengleichung.

Die Automorphismen $\varphi _{g}\colon \,h\mapsto g*h*g^{-1}$ heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen wird mit $\mathrm {Inn} (G)$ bezeichnet.

Automorphismengruppe einer Körpererweiterung

Ist $L/K$ eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit $\mathrm {Aut} (L/K)$ die Gruppe aller Automorphismen von $L,$ die $K$ punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf $L$ durch $\varphi \triangleright x:=\varphi (x).$ Jede Bahn besteht aus den in $L$ liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in $K,$ das über $K$ irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über $K,$ sie haben dasselbe Minimalpolynom über $K.$

Moduln und Vektorräume

Ein $G$-(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe $(M,+),$ auf der eine Gruppe $(G,*)$ (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation $\triangleright \colon G\times M\to M$ linksverträglich mit $+$ ist, d. h. es gilt

$g\triangleright (x+y)=(g\triangleright x)+(g\triangleright y)$ für alle $g\in G$ und alle $x,y\in M.$

Die Transformationen $\vartheta _{g\triangleright },g\in G,$ bilden dann die Gruppe $(\operatorname {Aut} (M),\circ )$ der Automorphismen auf $(M,+)$ und die Abbildung $G\to \operatorname {Aut} (M),g\mapsto \vartheta _{g\triangleright },$ ist ein Gruppenisomorphismus.

Ist insbesondere $\odot$ die skalare Multiplikation eines Vektorraums $(V,\oplus ,\odot )$ über dem Körper $(K,+,\cdot ),$ dann operiert die multiplikative Gruppe $(K\setminus \{0\},\cdot )$ auf $V.$

Kategorien

Ist allgemeiner $X$ ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe $G$ auf $X$ definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

$G\to \operatorname {Aut} X,$

dabei ist $\operatorname {Aut} X$ die Gruppe der Automorphismen von $X$ im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Siehe auch

• G-Raum für stetige Gruppenwirkungen

Weblinks

•  Commons: Category:Group actions – Sammlung von Bildern und/oder Videos und Audiodateien
• Gruppenoperation bei MathWorld (englisch)