Körperkompositum

In der Mathematik ist das Kompositum zweier Körper ihr kleinster gemeinsamer Oberkörper.

Für die in diesem Artikel verwendeten Begriffe (wie „Körperadjunktion“, „Zwischenkörper“ und „Erweiterungsgrad“), siehe Körpererweiterung.

Sind A und B Unterkörper des Körpers K, dann definiert man das Körperkompositum AB als

AB := A(B).

Dabei bezeichnet A(B) die Körperadjunktion der Menge B an den Körper A, sie besteht aus allen Brüchen von A-Linearkombinationen von Elementen aus B. Die Adjunktion ist in diesem Fall symmetrisch, d. h. A(B) = B(A).

Sind A und B Zwischenkörper einer Körpererweiterung L/K, und sind beide endliche Erweiterungen von K, dann ist der Erweiterungsgrad des Kompositums höchstens gleich dem Produkt der beiden einzelnen Erweiterungsgrade und mindestens so groß wie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

kgV([A : K], [B : K]) ≤ [AB : K] ≤ [A : K] · [B : K].

Sind A und B linear disjunkt, dann ist [AB : K] = [A : K] · [B : K]. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Erweiterungsgrade von A und B teilerfremd sind.

Man kann auch das Kompositum beliebig vieler Teilkörper eines gemeinsamen Oberkörpers betrachten, so ist z. B. der Körper der algebraischen Zahlen ein Oberkörper jeder endlichen Erweiterung von Q, und ist gleich dem Kompositum aller endlicher Erweiterungen.