Obstruktionstheorie

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Obstruktionstheorie oder Hindernistheorie die Hindernisse für die Existenz von Schnitten in Faserbündeln.

Obstruktionskozykel

Sei $p\colon E\to B$ eine Faserung über einem Simplizialkomplex $B$ mit Faser $F$. Wir nehmen an, dass bereits ein Schnitt $s_{n}\colon B_{n}\rightarrow E$ über dem $n$-Skelett von $B$ konstruiert wurde und fragen, ob sich dieser Schnitt auf das $(n+1)$-Skelett fortsetzen lässt.

Für jeden $(n+1)$-Simplex $\sigma \in B_{n+1}$ ist $p^{-1}(\sigma )$ homotopieäquivalent zu $F$ und die Abbildung

$s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon S^{n}\simeq \partial \sigma \to p^{-1}(\sigma )\simeq F$

definiert ein Element der $n$-ten Homotopiegruppe der Faser

$o_{n+1}(\sigma )\in \pi _{n}(F)$.

Offensichtlich kann der gegebene Schnitt $s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon \partial \sigma \to E$ nur dann auf $\sigma$ fortgesetzt werden, wenn

$o_{n+1}(\sigma )=0\in \pi _{n}(F)$.

Man kann zeigen, dass $o_{n+1}\colon C_{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)$ ein Kozykel mit lokalen Koeffizienten ist, er wird als Obstruktionskozykel bezeichnet. Seine Kohomologieklasse (in der Kohomologie mit lokalen Koeffizienten)

$o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi _{n}(F))$

heißt $(n+1)$-te Obstruktionsklasse. Sie hängt zwar vom gewählten Schnitt $s_{n}$ ab, man kann aber zeigen, dass sie tatsächlich nur von seiner Einschränkung auf das $(n-1)$-Skelett abhängig ist.

Schnitte in Vektorbündeln

Die wichtigste Anwendung der Obstruktionstheorie ist auf die Frage nach der Existenz von $k$ linear unabhängigen Schnitten in einem Vektorbündel vom Rang $n$, für $1\leq k\leq n$, oder äquivalent nach der Existenz eines Schnittes im $k$-Rahmenbündel

$V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to V_{k}(E)\to B$,

dessen Faser die Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ ist.

Wegen $\pi _{i}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=0$ für $0\leq i\leq n-k-1$ kann man einen solchen Schnitt auf dem $(n-k)$-Skelett $B_{n-k}$ konstruieren, das Hindernis für die Fortsetzung auf das $(n-k+1)$-Skelett ist dann die oben definierte Obstruktionsklasse

$o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))).$

Stiefel-Whitney-Klassen

Die Stiefel-Whitney-Klassen wurden von Stiefel und Whitney ursprünglich als Obstruktionsklassen definiert. Die Homotopiegruppe $\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))$ ist entweder isomorph zu $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (falls $k>1$ und $n-k+1$ gerade ist) oder sonst unendlich zyklisch, kann also in jedem Fall surjektiv auf $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ abgebildet werden. Das Bild der Obstruktionsklasse unter dieser Abbildung ist die Stiefel-Whitney-Klasse

$w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

Euler-Klasse

Für $k=1$ ist $\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(S^{n})=\mathbb {Z}$, für orientierbare Vektorbündel ist die Kohomologie mit lokalen Koeffizienten $H^{n}(B,\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n})))$ isomorph zu $H^{n}(B,\mathbb {Z} )$ und die so definierte Obstruktionsklasse ist die Euler-Klasse

$e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )$.

Analog kann man die Euler-Klasse für beliebige Sphärenbündel, also für Faserbündel mit Faser $S^{n-1}$ definieren: wegen $\pi _{i}(S^{n-1})=0$ für $0<i<n-1$ gibt es einen Schnitt auf dem $(n-1)$-Skelett der Basis und die Obstruktion für die Fortsetzung auf das $n$-Skelett ist die Euler-Klasse

$e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )$.

(Im Falle des Einheitssphärenbündels eines orientierten Vektorbündels stimmt die Euler-Klasse des Sphärenbündels mit der Euler-Klasse des Vektorbündels überein.)

Literatur

• Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. (= Princeton Mathematical Series. vol. 14). Princeton University Press, Princeton, N. J. 1951 (Kapitel 25, 35, 38)
• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies. No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 12)
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. (= Graduate Texts in Mathematics. 61). Springer Verlag, 1978, ISBN 1-4612-6320-4.