Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

Das Koordinatensystem im zweidimensionalen Raum

Regelfall: Rechtshändige kartesische Koordinatensysteme

Ebenes (2-dimensionales) kartesisches Koordinatensystem mit 2 Punkten $P$ und $Q$ und ihren Koordinaten

Die beiden Richtungsachsen stehen orthogonal aufeinander, schneiden sich also im 90°-Winkel. Die Koordinatenlinien sind Geraden in konstantem Abstand voneinander. Geht man von der mathematischen Rechtshändigkeit aus, so bezeichnet man die horizontale Achse als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) oder Rechtsachse. Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“) oder Hochachse.

Häufig werden in der Mathematik die Variablen $x$ und $y$ zur Bezeichnung der Koordinaten verwendet, zum Beispiel dann, wenn Geraden oder Kurven durch Gleichungen beschrieben werden. Man spricht dann auch von der $x$-Achse statt Abszissenachse und der $y$-Achse statt Ordinatenachse. Den $x$- bzw. $y$-Wert eines Punktes bezeichnet man als Abszisse bzw. Ordinate. Manchmal werden auch die Koordinatenachsen abkürzend Abszisse oder Ordinate genannt, (siehe auch y-Achse und x-Achse bzw. Abhängige und unabhängige Variable).

Als Eselsbrücke kann man sich merken, dass immer die jeweils im Alphabet vorne stehenden und hinten stehenden Bezeichnungen zusammengehören: $x$ zu Abszisse und $y$ zu Ordinate. Noch eine Eselsbrücke: Die Ordinatenachse zeigt (bei positiven $y$-Werten) nach oben – die Abszissenachse muss also (bei positiven $x$-Werten) nach rechts zeigen.

Der Punkt $O(0\mid 0)$, in dem sich die beiden Achsen treffen, wird Koordinatenursprung oder origo (lat. „Ursprung“) genannt.

Für einen Punkt $P$ mit den Koordinaten $x$ und $y$ schreibt man $P(x|y)$ oder auch $P=(x,y)$.

Linkshändige kartesische Koordinatensysteme

In der Geodäsie sind die X-Y-Koordinatenachsen vertauscht, zudem beschränken sich geodätische Koordinatensysteme manchmal auf den ersten Quadranten, um negative Werte zu vermeiden. Hierzu wird der Nullpunkt des Koordinatensystems durch Verwendung von Additionskonstanten fiktiv nach Südwesten, außerhalb des Abbildungsgebietes, verschoben, so dass nur noch positive Koordinatenwerte auftreten (Beispiel: Koordinatensystem Soldner-Berlin). Linkshändige Koordinatensysteme finden sich aber auch in Bereichen wie etwa den Wirtschaftswissenschaften, wo zum Beispiel die abhängige Größe der Angebots-, Preis-Absatz- oder Nachfragefunktion üblicherweise nicht auf der Hoch-, sondern Querachse abgetragen wird, die unabhängige dagegen stattdessen auf der Hochachse.

Koordinatensysteme mit mehr als zwei Dimensionen

Im dreidimensionalen Raum kommt noch eine dritte Achse hinzu, die räumliche Achse ($z$-Achse, hier nicht abgebildet), Applikate (in der Geographie: Kote) genannt. Meistens liegen hier $x$- und $y$-Achse in der Ebene, und die $z$-Achse dient der Höhenanzeige. Grafisch ergeben Punkte hier eine Punktwolke.

Wie im zweidimensionalen Fall sind auch bei dreidimensionalen geodätischen Koordinatensystemen $x$- und $y$-Achse vertauscht, während die $z$-Achse wie auch beim mathematischen Koordinatensystem nach oben zeigt.

In der Verallgemeinerung sieht die Mathematik höherdimensionale Räume (siehe: 4D) vor. So wird beispielsweise die Achse für die Ausdehnung in der vierten Raumdimension dann manchmal als $w$-Achse bezeichnet, die Ausdehnungsrichtungen als ana („oben“) und kata („unten“).

Beispielhafte Anwendungen

In der Physik wird die Rechtsachse häufig zur Darstellung der Zeit $t$ als unabhängige Variable verwendet; von ihr wird dann als der Zeit- bzw. $t$-Achse gesprochen, während die Hochachse die zeitlich veränderliche Größe, z. B. den zurückgelegten Weg $s$ oder die Geschwindigkeit $v$, repräsentiert und dementsprechend als $s$- oder $v$-Achse bezeichnet wird.

Dreidimensionale Koordinatensysteme erlauben bspw. die Darstellung zweidimensionaler statistischer Verteilungen, bei denen die Höhenachse die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion angibt.

Eine der häufigsten Anwendungen von 3-achsigen Koordinatensystemen dürfte die Anwendung für die räumliche Erfassung und Beschreibung sein, z. B. in der Konstruktion, im Vermessungswesen und in der Navigation. In der Navigation werden sie etwa bei der Lokalisierung eines Objekts mittels GPS bemüht. Darauf aufbauend ist die Beschreibung der räumlichen Orientierung von Objekten mittels Winkeln, was häufig mit Hilfe von Roll-, Nick- und Gierwinkeln (engl. Roll/Pitch/Yaw, RPY-Winkel) realisiert wird. Erd-bezogene Koordinatensysteme gelten oft als annähernd kartesisch da sie in Wirklichkeit Kugelkoordinaten­systeme sind. Die Verwendung liefert für den Anwendungsfall bei relativ kurzen Distanzen in den allermeisten Fällen trotzdem sehr brauchbare Werte – die Abweichungen aus der Näherung sind dabei typisch um einige Größenordnungen kleiner als die für die Anwendung benötigte bzw. in der Praxis erreichbare Messgenauigkeit aus anderen Faktoren heraus.

Geschichte

Apollonios schreibt in Definition 4 der Konika von Parallelen, die zum Durchmesser eines Kegelschnittes „geordnet gezogen“ werden. Der griechische Ausdruck für „geordnet“, tetagmenos, wird lateinisch als ordinatim wiedergegeben. Das ist der Ursprung des Wortes „Ordinate“.

Die erste bekannte Verwendung der Worte Abszisse und Ordinate findet sich in einem Brief von Gottfried Wilhelm Leibniz an Henry Oldenburg vom 27. August 1676.

Synthetische Geometrie

Der Begriff kartesisches Koordinatensystem wird in der synthetischen Geometrie für Ebenen verallgemeinert: Dort heißt ein affines Koordinatensystem $(O,E_{1},E_{2})$ kartesisch, wenn die Einheitspunkte $E_{1},E_{2}$ benachbarte Ecken in einem Quadrat mit Mittelpunkt $O$ sind.

Siehe auch

• Polarkoordinaten­system (in der Ebene)
• Zylinderkoordinaten­system (im Raum)

Weblinks

• Erklärung mit Abbildungen auf mathe-online.at