Quantil

Zwei Beispiele: Einmal die Standardnormalverteilung und einmal eine Chi-Quadrat-Verteilung mit drei Freiheitsgraden (schiefe Verteilung). Den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten werden ihre Quantile zugeordnet; die Fläche unter der abgebildeten Dichte von minus unendlich bis zum Quantil ist der jeweilige Wert.

Ein Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik. Anschaulich ist ein Quantil ein Schwellwert: ein bestimmter Anteil der Werte ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25% aller Werte kleiner sind als dieser Wert. Quantile erlauben ganz praktische Aussagen im Stile von „25% aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ – wobei 1,62 m hier das 25%-Quantil ist.

Genauer ist das $p$-Quantil, wobei $p$ eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist, ein Wert einer Variablen oder Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte (salopp „die Verteilung“) in zwei Abschnitte unterteilt: Links vom $p$-Quantil liegt der Anteil $p\equiv p\cdot 100\,\%$ aller Beobachtungswerte oder der Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der Verteilungskurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche Anteil $1-p\equiv (1-p)\cdot 100\,\%$. Die Zahl $p$ heißt auch der Unterschreitungsanteil.

Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile.

Als Quantil der Ordnung $p$ oder $p$-Quantil $Q(p)$ (veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil $p$ aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von $Q(p)$ unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Dabei kann der Unterschreitungsanteil $p$ auch als eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle bzw. 100 % der Verteilung) angegeben werden.

Definition

Quantile $q_{i}$ zu den Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$

Die Quantilfunktion $F_{X}^{-1}(p)$

Sei $X$ eine Zufallsvariable und $F$ ihre Verteilungsfunktion. Für $p\in (0,1)$ wird die Menge aller p-Quantile von $F_{X}$ oder von $X$ beschrieben durch

$\{x\in \mathbb {R} \mid P(X\leq x)\geq p\land P(X\geq x)\geq 1-p\}$

Diese Menge ist ein abgeschlossenes Intervall und hat die obere Grenze

$\sup\{x\in \mathbb {R} \mid P(X\geq x)\geq 1-p\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)\leq p\}$

und die untere Grenze

$F_{X}^{-1}(p):=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid P(X\leq x)\geq p\}=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid F_{X}(x)\geq p\}$.

Quantilfunktion

Ist $F_{X}$ invertierbar, beispielsweise bei stetigen Verteilungen mit streng monotoner Verteilungsfunktion, fallen obere und untere Grenze zusammen, wodurch die obengenannte Menge einelementig bzw. das p-Quantil eindeutig wird.

Die Funktion $F_{X}^{-1}:(0,1)\to \mathbb {R}$ heißt Quantilfunktion oder verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion, der Wert $F_{X}^{-1}(p)$, zuweilen auch $Q_{X}(p)$ geschrieben, dementsprechend $p$-Quantil von $F_{X}$ oder von $X$ (ist klar, welche Zufallsvariable gemeint ist, wird diese oft auch weggelassen.).

In den Grafiken rechts ist $q_{2}$ das eindeutige $p_{2}$-Quantil, ferner ist $q_{3}$ das eindeutige $p_{3}$-Quantil, $p_{3}^{+}$-Quantil sowie $p_{3}^{-}$-Quantil.

Hat $F_{X}$ eine Sprungstelle bei $q$, ist also $P(X=q)>0$, so gilt $F_{X}(F_{X}^{-1}(p))>p$ für fast alle $p$ mit $F_{X}^{-1}(p)=q$.

In der Grafik rechts oben ist $P(X=q_{3})=P(X\leq q_{3})-P(X<q_{3})=p_{3}^{+}-p_{3}^{-}\ >\ 0$

und daher $F(F^{-1}(p_{3}^{+}))=F(F^{-1}(p_{3}^{-}))=F(q_{3})=p_{3}^{+}\ >\ p_{3}^{-}$.

Nicht-Eindeutigkeit

Ist $F_{X}$ für ein $p$ nicht invertierbar, also ein Stück weit konstant, besitzt die Quantilfunktion $F_{X}^{-1}$ für dieses $p$ eine Sprungstelle, bei der sie als Funktionswert das kleinstmögliche p-Quantil angibt. In der Grafik ist

• $q_{1}^{-}=F_{X}^{-1}(p_{1})$ das kleinstmögliche $p_{1}$-Quantil,
• $q_{1}^{+}$ das größtmögliche $p_{1}$-Quantil, und
• jedes $q_{1}\in (q_{1}^{-},q_{1}^{+})$ ein weiteres $p_{1}$-Quantil.

Beim oft verwendeten 50%-Quantil sind zur besseren Unterscheidung sogar eigene Begrifflichkeiten üblich: Der Untermedian $F_{X}^{-1}(0{,}5)$ ist das kleinstmögliche 50%-Quantil, der Median das mittlere 50%-Quantil und der Obermedian das größtmögliche 50%-Quantil, wobei alle drei deutlich auseinanderfallen können.

Beispiel

Das Quantil $Q_{0{,}3}$ (also das 0,3-Quantil) ist der Wert des Punktes einer Verteilung, unterhalb dessen sich 30 % aller Fälle der Verteilung befinden.

Ein p-Quantil mit Unterschreitungsanteil

Berechnung empirischer Quantile

Empirische Quantile teilen die Daten einer Messreihe prozentual in zwei Teile, sodass mindestens $p\cdot 100\%$ der Daten kleiner oder gleich dem Quantil sind und mindestens $(1-p)\cdot 100\%$ größer gleich. Angenommen die Messdaten sind geordnet in Form einer Rangliste gegeben: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$. Sei weiter $0<p<1$. Die Formel für die Berechnung eines p-Quantils ist dann wie folgt:

${\tilde {x}}_{p}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(x_{n\cdot p}+x_{n\cdot p+1}),&{\text{wenn }}n\cdot p{\text{ ganzzahlig,}}\\x_{\lceil n\cdot p\rceil },&{\text{wenn }}n\cdot p{\text{ nicht ganzzahlig.}}\end{cases}}$

Dabei ist für eine reelle Zahl $x$ der Wert $\lceil x\rceil$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $x$ ist (also die Aufrundungsfunktion).

• Beispiel 1:

${\begin{aligned}&x_{1},\dots ,x_{10}=(1,1,1,3,4,7,9,11,13,13),~p=0{,}3\\&n\cdot p=10\cdot 0{,}3=3{\text{ ist ganzzahlig}}\rightarrow {\tilde {x}}_{0{,}3}={\frac {1}{2}}(x_{n\cdot p}+x_{n\cdot p+1})={\frac {1}{2}}(x_{3}+x_{4})={\frac {1}{2}}(1+3)=2\end{aligned}}$

• Beispiel 2:

${\begin{aligned}&x_{1},\dots ,x_{10}=(1,1,1,3,4,7,9,11,13,13),~p=0{,}75\\&n\cdot p=10\cdot 0{,}75=7{,}5{\text{ ist nicht ganzzahlig}}\rightarrow {\tilde {x}}_{0{,}75}=x_{\lceil n\cdot p\rceil }=x_{\lceil 7{,}5\rceil }=x_{8}=11\end{aligned}}$

Besondere Quantile

Für einige bestimmte $p$ haben die $p$-Quantile zusätzliche Bezeichnungen.

Median

→ Hauptartikel: Median

Der Median oder Zentralwert entspricht dem Quantil $Q_{0{,}5}$ (0,5-Quantil). Es erfolgt also eine Einteilung aller Fälle der Verteilung in zwei umfangsgleiche Teile. Bei jeder Einteilung in eine ungerade Anzahl von $p$-Quantilen mit äquidistant-verteilten $p$ (was eine gerade Anzahl umfangsgleicher Teile impliziert) entspricht der Median jeweils dem mittleren Quantil (beispielsweise dem 2. Quartil Q2 oder dem 50. Perzentil P50).

Terzil

Durch Terzile wird die größengeordnete Menge der Werte in drei Abschnitte gleichen Umfangs geteilt: unteres, mittleres und oberes Drittel.

Quartil

Darstellung des Interquartilabstands einer Normalverteilung.

Quartile (lateinisch „Viertelwerte“) sind die Quantile $Q_{0{,}25}$ (0,25-Quantil), $Q_{0{,}5}$ (0,5-Quantil = Median) und $Q_{0{,}75}$ (0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.

Der (Inter-)Quartilabstand oder auch (Inter-)Quartilsabstand (englisch interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also $Q_{0{,}75}-Q_{0{,}25}$ und umfasst daher 50 % der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.

Siehe auch: Streuung (Statistik)

Quintil

Durch Quintile (lateinisch „Fünftelwerte“) wird die Menge der Werte der Verteilung in 5 umfangsgleiche Teile zerlegt. Unterhalb des ersten Quintils, d. h. des Quantils $Q_{0{,}2}$, liegen 20 % der Werte der Verteilung, unterhalb des zweiten Quintils (Quantil $Q_{0{,}4}$) 40 % usw.

Dezil

Durch Dezile (lateinisch „Zehntelwerte“) wird die Menge der verteilten Werte in 10 umfangsgleiche Teile zerlegt. Entsprechend liegen dann z. B. unterhalb des dritten Dezils (Quantil $Q_{0{,}3}$) 30 % der Werte. Dezile teilen ein der Größe nach geordnetes Datenbündel in 10 umfangsgleiche Teile. Das 10-%-Dezil (oder 1. Dezil) gibt an, welcher Wert die unteren 10 % von den oberen 90 % der Datenwerte trennt, das 2. Dezil, welcher Wert die unteren 20 % von den oberen 80 % der Werte trennt, usw. Der Abstand zwischen dem 10-%-Dezil und dem 90-%-Dezil heißt Interdezilbereich.

Perzentil

Durch Perzentile (lateinisch „Hundertstelwerte“), auch Prozentränge genannt, wird die Verteilung in 100 umfangsgleiche Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1-%-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen $100\cdot p$ eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil $Q_{0{.}97}$ dem Perzentil P97: unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.

a-Fraktil

Für $a$ aus $(0,1)$ wird das $(1-a)$-Quantil auch als $a$-Fraktil bezeichnet. Diese Unterteilung wird z. B. in der als „Paretoprinzip“ bezeichneten Vermutung verwendet.

Beispiele

• Wenn eine Schule 141 Schüler hat, so hat derjenige Schüler den Alters-Prozentrang von 50, der älter ist als die 70 jüngeren Schüler, aber jünger als die 70 älteren Schüler. Ein Prozentrang von 50 oder das 50. Perzentil entspricht dem 0,5-Quantil, also dem Median.
  Für den Prozentrang ist unerheblich, welche Altersunterschiede zwischen den Schülern bestehen; der Prozentrang gibt nur Auskunft über die Position des Einzelnen innerhalb der Gruppe (Stichprobe). Das Alter der Person mit Prozentrang 50 ist deshalb nicht identisch mit dem Durchschnittsalter der betrachteten Gruppe. Deshalb würde sich am Median auch nichts ändern, wenn man die älteren 70 Schüler durch 70 Rentner ersetzen würde.
• In einer Schulklasse sind 13 Aufsätze geschrieben worden, mit der folgenden (sortierten) Notenverteilung:

Aufsatz	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
Note	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	4	5	6

Die Noten der Aufsätze D („2“), G („3“) und J („4“) entsprechen jeweils den Quartilen Q1, Q2 (d. h. dem Median) und Q3. Der Durchschnitt ist aber ≈ 3,31 (43/13), eine Zahl, die in der Liste gar nicht vorkommt.

• Wird die Körpergröße eines Kindes als Perzentil ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Körpergröße in Bezug auf die Körpergrößen der Altersgenossen angegeben wird. Eine Körpergröße auf dem 20. Perzentil bedeutet beispielsweise, dass 20 % der Kinder gleichen Alters und gleichen Geschlechts nicht größer als das betreffende Kind sind (80 % sind größer).

• Ist $X$ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\lambda >0$, so gilt für ihre Verteilungsfunktion

$F(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$ für $x\geq 0$ und $F(x)=P(X\leq x)=0$ für $x<0$.

Durch Auflösen der Gleichung $F(x)=p$ nach $x$ erhält man für ihre Quantilfunktion

$F^{-1}(p)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-p).$

Siehe auch

• Modus (Statistik)
• Parameter (Statistik)
• Grafische Darstellung:
  • Boxplot
  • Streuungsfächer
• Value at Risk
• Cornish-Fisher-Methode

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. 2 Auflage. de Gruyter, Berlin 2004, ISBN 3-11-018282-3, S. 225 (Definition Quantil, Quartil, a-Fraktil).