Satz von Edelstein

Der Satz von Edelstein ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Funktionalanalysis. Er geht auf eine Arbeit des Mathematikers Michael Edelstein aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt eine Fixpunkteigenschaft gewisser nichtexpansiver Abbildungen. Der Satz ist verwandt mit dem banachschen Fixpunktsatz und dem Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Edelstein lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Sei $X$ eine nichtleere Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ oder allgemein ein nichtleerer metrischer Raum, versehen mit einer Metrik $d$ .

Weiter gegeben sei eine strikt nichtexpansive Abbildung $f\colon X\to X$ und deren Bildmenge $\Omega =f(X)$ sei kompakt in $X$.

Dann gilt:

Es gibt genau einen Punkt $x^{*}\in X$ mit $f(x^{*})=x^{*}$ .

Dabei konvergiert für jeden Punkt $x_{0}\in X$ die iterative Folge $(f^{n}(x_{0}))_{n=0,1,\dots ,\infty }$ gegen diesen Fixpunkt $x^{*}$ .

Anmerkungen zum Beweis

Einem Gedanken von M. Krein folgend, gewinnt man die Existenz eines Fixpunktes wegen der Kompaktheit der Bildmenge $\Omega$ unmittelbar durch Anwendung des Satzes vom Minimum auf das nichtnegative reelle Funktional $T\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{\geq 0}\;,\;x\mapsto T(x)=d(f(x),x)$. Damit ist nämlich gesichert, dass das $T$-Minimum in einen Punkt $x^{*}\in \Omega$ angenommen wird, welcher dann ein Fixpunkt sein muss. Denn wegen der vorausgesetzten strikten Nichtexpansivität von $f$ muss $T(x^{*})=0$ gelten, da aus $T(x^{*})>0$ sofort $f(x^{*})\neq x^{*}$ folgte und dann $T(f(x^{*}))=d(f(f(x^{*})),f(x^{*}))<d(f(x^{*}),x^{*})=T(x^{*})$, im Widerspruch zur Minimumseigenschaft von $x^{*}$.

Zudem ist durch die strikte Nichtexpansivität von $f$ offenbar auch direkt auf die Eindeutigkeit des Fixpunktes zu schließen. Denn für einen von $x^{*}$ verschiedenen Fixpunkt $x^{**}$ wäre sogleich die in sich widersprüchliche Ungleichung $d(x^{*},x^{**})=d(f(x^{*}),f(x^{**}))<d(x^{*},x^{**})$ zu folgern.

Quellen und Hintergrundliteratur

• M. Edelstein: On fixed and periodic points under contractive mappings. In: Journal of the London Mathematical Society. 37, 1962 S. 74–79, doi:10.1112/jlms/s1-37.1.74 (MR0133102).
• L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1, S. 512 (MR0458199).
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3, S. 404–407 (MR1744713).