Elektrostatik

Papierschnipsel werden von einer durch Reiben elektrostatisch aufgeladenen CD angezogen

Blitze als Folge von elektrostatischer Aufladung

Die Elektrostatik ist das Teilgebiet der Physik, das sich mit ruhenden elektrischen Ladungen, Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper befasst.

Die Phänomene der Elektrostatik rühren von den Kräften her, die elektrische Ladungen aufeinander ausüben. Diese Kräfte werden vom Coulombschen Gesetz beschrieben. Ein klassisches Beispiel ist, dass geriebener Bernstein Teilchen anzieht (siehe Geschichte). Auch wenn die Kräfte klein erscheinen, ist die elektrische Kraft z. B. im Vergleich zur Gravitationskraft außerordentlich stark. So ist die elektrische Kraft zwischen einem Elektron und einem Proton (beide bilden zusammen ein Wasserstoffatom) um ungefähr 40 Größenordnungen größer als ihre gegenseitige Anziehung aufgrund der Gravitationskraft.

Die Elektrostatik ist ein Spezialfall der Elektrodynamik für unbewegte elektrische Ladungen und statische (sich nicht mit der Zeit ändernde) elektrische Felder. Die Elektrostatik findet ihr Analogon in der Magnetostatik, die sich mit stationären (zeitlich konstanten) Strömen und Magnetfeldern befasst.

Geschichte

Schon im Altertum war bekannt, dass bestimmte Materialien wie beispielsweise Bernstein, nach dem Reiben mit einem Tuch oder Fell, kleine leichte Teilchen anziehen (siehe Reibungselektrizität). William Gilbert setzte die Arbeiten von Petrus Peregrinus aus dem 13. Jahrhundert fort und fand heraus, dass auch andere Stoffe durch Reibung elektrisiert werden können und entwickelte das Versorium, eine frühe Bauform eines Elektroskops. Er führte in seinem 1600 erschienenen Buch De Magnete, Magnetisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure (deutsch etwa: Über den Magneten, Magnetische Körper und den großen Magneten Erde) den dem Neulateinischen entlehnten Begriff „electrica“ für die Erscheinungen ein, die er im Zusammenhang mit dem Bernstein entdeckte, „elektron“ stammt vom griechischen Wort für Bernstein.

Übersicht

Die von einer gegebenen Ladung Q auf ein Objekt ausgeübte Kraft ist proportional zur Ladung q des Objektes. Sie lässt sich also durch die Gleichung F=q · E beschreiben; E ist die Feldstärke des die Ladung Q begleitenden elektrischen Feldes.

Von einem äußeren elektrischen Feld werden in elektrischen Leitern und Isolatoren unterschiedliche Effekte hervorgerufen. Die freien elektrischen Ladungen in Leitern, z. B. die Leitungselektronen der Metalle, verschieben sich makroskopisch solcherart, dass das elektrische Feld im gesamten Inneren des Leiters verschwindet (siehe Faradayscher Käfig). Dieses Phänomen wird Influenz genannt. Andererseits reagieren die lokal gebundenen Ladungen in einem Isolator, also die Elektronen und Kerne der Atome, durch eine gegenseitige Verschiebung, wodurch der Isolator polarisiert wird.

Das von einem elektrostatischen Feld E auf eine Probe q induzierte Kraftfeld F ist konservativ, das heißt, dass die potentielle Energie W der Probe im elektrostatischem Feld nur abhängig ist von der Position x der Probe, nicht aber vom Weg, auf dem die Probe nach x bewegt wurde. Das bedeutet auch, dass sich das elektrostatische Feld als Gradient eines elektrostatischen Potentials φ darstellen lässt. Die potentielle Energie einer Probe im Potential ist also W=q · φ. Der Differenz zweier elektrischer Potentiale entspricht die elektrische Spannung. Das Verschwinden des elektrischen Feldes, E=0, ist gleichbedeutend mit einem konstanten elektrischen Potential, φ=const.

Das Feld und damit auch das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung in einem homogenen Isolator lässt sich leicht anhand der aus dem Coulombschen Gesetz abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten berechnen. (Das Feld in einem Leiter verschwindet.) Eine solche Berechnung ist bei räumlichen Anordnungen von Leitern, Nichtleitern und Ladungen nur in wenigen Fällen einfach.

Das elektrische Feld

→ Hauptartikel: Elektrisches Feld

Illustration des elektrischen Feldes und der Äquipotentialflächen um eine positive Ladung im Raum

Feldlinien einer positiv geladenen, unendlich ausgedehnten Ebene

Für den elektrostatischen Spezialfall stationärer magnetischer Felder (${\dot {\vec {B}}}=0$) und verschwindender elektrischer Ströme (${\vec {j}}=0$) folgt aus dem Coulombschen Gesetz und der Definition des elektrischen Feldes ${\vec {E}}={\vec {F}}/q$ für das von einer Punktladung Q am Ort ${\vec {x'}}$ erregte elektrische Feld ${\vec {E}}$ am Ort ${\vec {x}}$

${\vec {E}}({\vec {x}})=kQ{\frac {{\vec {x}}-{\vec {x'}}}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {x'}}\right\|^{3}}}$

Das elektrische Feld ist ein gerichtetes Vektorfeld. Für eine positive Ladung ist es genau von der Ladung weg, für eine negative Ladung zur Ladung hin gerichtet, was gleichbedeutend ist mit der Abstoßung gleichnamiger und der Anziehung entgegengesetzter Ladungen. Seine Stärke ist proportional zur Stärke der Ladung Q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von Q. Der Proportionalitätsfaktor k (siehe Dielektrizitätskonstante) ist die Naturkonstante $k=1/(4\pi \varepsilon _{0})$ im SI-Einheitensystem und $k=1$ im gaußschen-Einheitensystem.

Das Maß der elektrischen Feldstärke in SI-Einheiten ist

$[E]_{\mathrm {SI} }={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} }}$

Das von einer Menge an Ladungen, Q_i, erregte Feld ist die Summe der Teilbeiträge (Superpositionsprinzip)

${\vec {E}}({\vec {x}})=k\sum _{i}{Q_{i}{\frac {{\vec {x}}-{\vec {x_{i}}}}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {x_{i}}}\right\|^{3}}}}$

Oder im Fall einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung, ρ, das Integral

${\vec {E}}({\vec {x}})=k\int {\rho ({\vec {x'}}){\frac {{\vec {x}}-{\vec {x'}}}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {x'}}\right\|^{3}}}}d^{3}x'$

Das gaußsche Gesetz beschreibt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche A proportional zur Stärke der von der Oberfläche umschlossenen Ladung Q ist

$\int {\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}\sim Q=\int \rho dV$

Der gaußsche Integralsatz verknüpft Fluss und Divergenz eines beliebigen Vektorfelds:

$\int {\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}=\int \nabla \cdot {\vec {E}}dV$

woraus folgt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes proportional zur Raumladungsdichte ist:

$\nabla \cdot {\vec {E}}\sim \rho$

Das konservative elektrische Feld kann durch den Gradienten eines skalaren elektrischen Potentials φ beschrieben werden

${\vec {E}}=-\nabla \Phi$

Woraus die Poisson-Gleichung folgt:

$\rho \sim \nabla \cdot {\vec {E}}=-\nabla (\nabla \Phi )=-\triangle \Phi$

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen Feld eine Kraft erfährt, wird bei ihrer Bewegung durch das elektrische Feld Arbeit verrichtet, bzw. es muss Arbeit verrichtet werden, um die Ladung gegen das elektrische Feld zu bewegen. Aus den Maxwell-Gleichungen (genauer dem Induktionsgesetz) folgt mit $B={\dot {B}}=0$, dass elektrostatische Felder wirbelfrei sind. Im konservativen Feld hängt die benötigte Energie nur vom Start- und Zielort ab, nicht vom genauen Weg. „Wirbelfrei“ heißt, dass die Rotation eines Feldes Null ist (auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet):

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=0\leftrightarrow \oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {s}}=0$

Somit lässt sich eine potentielle Energie der Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur Ladung ist, gilt dies auch für die potentielle Energie. Daher kann man die potentielle Energie als Produkt der Ladung und eines Potentials, welches sich aus dem elektrischen Feld ergibt, berechnen.

Die Potentialdifferenz $U=\Delta \phi$ zwischen zwei Punkten bezeichnet man als elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die man benötigt, um das Teilchen von einem Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt. Gemäß der Definition von Potential und Spannung gilt Volt = Joule/Coulomb.

Das Potential berechnet sich wie folgt:

$\phi =-\int {\vec {E}}\cdot d{\vec {s}}$

Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Wahl des Nullniveaus. Oft wird dies willkürlich in unendlicher Entfernung festgelegt. Eine Punktladung $Q$, die sich am Ort ${\vec {x}}\,'$ befindet, verursacht am Ort ${\vec {x}}$ das Potential:

$\phi ({\vec {x}})=kQ{\frac {1}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right\|}}$

Im Fall einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung ist das elektrische Potential durch das folgende Integral gegeben:

$\phi ({\vec {x}})=k\int {\frac {\rho ({\vec {x}}\,')}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right\|}}d^{3}x'$

Ist es nicht möglich, eine analytische Lösung des Integrals zu finden, so kann man $1/||{\vec {x}}-{\vec {x}}\,'||$ in eine Potenzreihe entwickeln, siehe Multipolentwicklung oder bei Legendre-Polynom#Erzeugende Funktion.

Das Konzept der Spannung stößt an seine Grenzen, wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche Magnetfelder lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren, jedoch ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch ist die für eine Bewegung der Ladung von einem Punkt zum anderen benötigte Energie nur so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den Punkten, wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist, da nach der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden, die ebenfalls in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Die Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise homogenes Feld. Ist die Ladung der einen Platte $Q$ und die der anderen Platte entsprechend $-Q$, und beträgt die Größe einer Plattenfläche $A$, so ergibt sich das ${\vec {E}}$-Feld betragsmäßig zu

$E={\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}}$, wobei $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante ist.

Ist der konstante Plattenabstand $d$, und bringt man eine infinitesimal kleine Ladung $\mathrm {d} Q$ von der einen auf die andere Platte, so muss gegen das elektrische Feld die infinitesimale Arbeit $\mathrm {d} W$ mit dem Betrag

$\mathrm {d} W=\mathrm {d} F\cdot d=E\cdot \mathrm {d} Q\cdot d$

verrichtet werden. Der Energieerhaltung wegen muss diese Arbeit zu einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. Diese kann aber nur im elektrischen Feld stecken. Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um betragsmäßige

$\mathrm {d} E={\frac {\mathrm {d} Q}{\varepsilon _{0}A}}$.

Auflösen nach $\mathrm {d} Q$ und Einsetzen in die Arbeit ergibt

$\mathrm {d} W=\varepsilon _{0}\cdot A\cdot d\cdot E\cdot \mathrm {d} E$.

Nun ist aber $V=A\cdot d$ gerade das Volumen des Plattenkondensators, in dem sich das komplette E-Feld befindet (im idealen Plattenkondensator lässt sich zeigen, dass das E-Feld außerhalb des Plattenkondensators verschwindet, d. h. dort ist ${\vec {E}}=0$). Aufintegrieren und Teilen durch $V$ ergibt die Energiedichte

$\varrho _{el}={\frac {W}{V}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {C\cdot U^{2}}{A\cdot d}}={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{2}}DE$,

wobei $D$ die dielektrische Verschiebung ist.

Vorkommen, Erzeugung, Anwendung

Vorkommen statischer Ladungen im Alltag:

• Gewitterwolken, Alphastrahler, Betastrahler
• Elektrisches Feld der Erde (messbar beispielsweise mit einer Flammensonde)
• ESD (electro-static discharge): elektrostatische Entladung, z. B. nach dem Aufladen durch Laufen über Teppichböden, Benutzen von Kunststoff-Geländern, Sitzen auf Sesseln mit Kunstfaser-Bezug, Kämmen mit Plastik-Kamm, Ausziehen eines Kunstfaser-Pullovers

Erzeugung hoher Spannungen durch Transport statischer Ladungen (in Forschung, Lehre, Industrie):

• Elektrisiermaschine
• Bandgenerator
• Influenzmaschine

Messung statischer Ladungen:

• Elektrometer

Anwendungen:

• Elektrofilter
• elektrostatisch unterstütztes Farbspritzen
• Fixierung von Papierblättern auf Flachbettplottern bzw. X-Y-Schreibern

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter, Berlin 1982, ISBN 3-11-009579-3
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 Springer 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
• Hartmut Berndt: Elektrostatik - Ursachen, Wirkungen, Schutzmaßnahmen, Messungen, Prüfungen, Normung. VDE-Verl., Berlin 1998, ISBN 3-8007-2173-2
• D. M. Taylor, P. E. Secker: Industrial electrostatics - fundamentals and measurements. Research Studies Press, Taunton 1994, ISBN 0-86380-158-7
• Jen-Shih Chang: Handbook of electrostatic processes. Dekker, New York 1995, ISBN 0-8247-9254-8
• Dreizler, Lüdde: Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-20200-5
• Griffiths: Introduction to Electrodynamics Pearson 2008, ISBN 0-13-919960-8

Weblinks

 Wikibooks: Elektrostatik – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Formelsammlung Elektrostatik – Lern- und Lehrmaterialien

• Versuche und Aufgaben zur Elektrostatik (LEIFI)

Siehe auch

• Elektrischer Wind