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Statistischer Test
Ein statistischer Test dient in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisierungen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren, was einem Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau entspricht. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest oder einem Signifikanztest.
Interpretation eines statistischen Tests
Ein statistisches Testverfahren lässt sich im Prinzip mit einem Gerichtsverfahren vergleichen. Das Verfahren hat (meistens) den Zweck, festzustellen, ob es ausreichend Beweise gibt, den Angeklagten zu verurteilen. Es wird dabei immer von der Unschuld eines Verdächtigen ausgegangen, und solange große Zweifel an den Belegen für ein tatsächliches Vergehen bestehen, wird ein Angeklagter freigesprochen. Nur wenn die Indizien für die Schuld eines Angeklagten deutlich überwiegen, kommt es zu einer Verurteilung.
Es gibt demnach zu Beginn des Verfahrens die beiden Hypothesen „der Verdächtige ist unschuldig“ und „der Verdächtige ist schuldig“. Erstere nennt man Nullhypothese, von ihr wird vorläufig ausgegangen. Die zweite nennt man Alternativhypothese. Sie ist diejenige, die zu „beweisen“ versucht wird.
Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst dann verworfen, wenn ein Irrtum sehr unwahrscheinlich ist. Man spricht auch davon, die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (also das Verurteilen eines Unschuldigen) zu kontrollieren. Naturgemäß wird durch dieses unsymmetrische Vorgehen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (also das Freisprechen eines Schuldigen) „groß“. Aufgrund der stochastischen Struktur des Testproblems lassen sich wie in einem Gerichtsverfahren Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden. Man versucht in der Statistik allerdings optimale Tests zu konstruieren, die die Fehlerwahrscheinlichkeiten minimieren.
Ein einführendes Beispiel
Es soll versucht werden, einen Test auf hellseherische Fähigkeiten zu entwickeln.
Einer Testperson wird 25-mal die Rückseite einer rein zufällig gewählten Spielkarte gezeigt und sie wird jeweils danach gefragt, zu welcher der vier Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) die Karte gehört. Die Anzahl der Treffer nennen wir .
Da die hellseherischen Fähigkeiten der Person getestet werden sollen, gehen wir vorläufig von der Nullhypothese aus, die Testperson sei nicht hellsehend. Die Alternativhypothese lautet entsprechend: Die Testperson ist hellseherisch begabt.
Was bedeutet das für unseren Test? Wenn die Nullhypothese richtig ist, wird die Testperson nur versuchen können, die jeweilige Farbe zu erraten. Für jede Karte gibt es bei vier Farben eine Wahrscheinlichkeit von 1/4, die richtige Farbe zu erraten. Wenn die Alternativhypothese richtig ist, hat die Person für jede Karte eine größere Wahrscheinlichkeit als 1/4. Wir nennen die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Vorhersage .
Die Hypothesen lauten dann:[1]
und
- .
Wenn die Testperson alle 25 Karten richtig benennt, werden wir sie als Hellseher betrachten und natürlich die Nullhypothese ablehnen. Und mit 24 oder 23 Treffern auch. Andererseits gibt es bei nur 5 oder 6 Treffern keinen Grund dazu. Aber was wäre mit 12 Treffern? Was ist mit 17 Treffern? Wo liegt die kritische Anzahl an Treffern , von der an wir nicht mehr glauben können, es seien reine Zufallstreffer?
Wie bestimmen wir also den kritischen Wert ? Mit (also dass wir nur hellseherische Fähigkeiten erkennen wollen, wenn alle Karten richtig erkannt worden sind) ist man deutlich kritischer als mit . Im ersten Fall wird man eine Person als Hellseher ansehen, im zweiten Fall weit weniger.
In der Praxis kommt es also darauf an, wie kritisch man genau sein will, also wie oft man eine Fehlentscheidung erster Art zulässt. Mit ist die Wahrscheinlichkeit einer solchen Fehlentscheidung, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht hellseherische Testperson nur rein zufällig 25-mal richtig geraten hat:
- ,
also sehr klein. Hier stellt A den Ablehnbereich dar. Wir nehmen an, wenn für die Teststatistik des Test gilt, dass und lehnen ab, wenn .
Weniger kritisch, mit , erhalten wir mit der Binomialverteilung,
- ,
eine wesentlich größere Wahrscheinlichkeit.
Vor dem Test wird eine Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art festgesetzt. Typisch sind Werte zwischen 1 % und 5 %. Abhängig davon lässt sich (hier im Falle eines Signifikanzniveaus von 1 %) dann so bestimmen, dass
gilt. Unter allen Zahlen , die diese Eigenschaft erfüllen, wird man zuletzt als die kleinste Zahl wählen, die diese Eigenschaft erfüllt, um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art klein zu halten. In diesem konkreten Beispiel folgt: . Ein Test dieser Art heißt Binomialtest, da die Anzahl der Treffer unter der Nullhypothese binomialverteilt ist.
Mögliche Fehlentscheidungen
Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten „richtig“ entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung für die Alternative einen Fehler 1. Art (α-Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β-Fehler).
In der statistischen Praxis macht man aus diesem vordergründig symmetrischen Problem ein asymmetrisches: Man legt also ein Signifikanzniveau α fest, das eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art liefert. Tests mit dieser Eigenschaft heißen Test zum Niveau . Im Anschluss daran versucht man, einen optimalen Test zum vorgegebenen Niveau dadurch zu erhalten, dass man unter allen Tests zum Niveau α einen sucht, der die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art aufweist.
Die formale Vorgehensweise
Generell geht man bei der Anwendung eines Tests in folgenden Schritten vor:
- Formulierung einer Nullhypothese und ihrer Alternativhypothese
- Wahl des geeigneten Tests (Testgröße oder Teststatistik )
- Bestimmung des kritischen Bereiches zum Signifikanzniveau , das vor Realisierung der Stichprobe feststehen muss. Der kritische Bereich wird aus den unter der Nullhypothese nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftretenden Werten der Teststatistik gebildet.
- Berechnung des Werts der Beobachtung der Testgröße aus der Stichprobe (je nach Testverfahren etwa den -Wert oder oder oder …).
- Treffen der Testentscheidung:
- Liegt nicht in , so wird beibehalten.
- Liegt in , so lehnt man zugunsten von ab.
Formale Definition eines statistischen Testes
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Sei eine Zufallsvariable, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum abbildet. Sei zusätzlich die parametrische Verteilungsannahme, also eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf , wobei eine Bijektion zwischen und existiert. Dabei ist die Verteilung von . Hierbei sei der Parameterraum, der in der Praxis meist eine Teilmenge des mit ist. Zwei disjunkte[2] Teilmengen und von definieren das Testproblem:
- ,
wobei die Nullhypothese und die Alternativhypothese bezeichnet. Dabei bilden häufig, aber nicht notwendig, die beiden Mengen und eine Zerlegung von .
Eine messbare Funktion heißt Test. Dieser Testfunktion legt man nun folgende Interpretation zugrunde:
- Nullhypothese ablehnen bzw. verwerfen
- Nullhypothese beibehalten
Die Menge derjenigen Beobachtungsergebnisse , die zu einer Ablehnung von führen, heißt kritischer Bereich des Tests.
Sei nun ein Signifikanz-Niveau. Dann heißt ein Test ein Test zum Niveau für das Testproblem gegen (auch Niveau--Test), wenn für alle gilt
- .
Alternativ wird auch als der Umfang des Tests bezeichnet.
In der Regel sucht man einen Test , dessen kritischer Bereich zum einen für alle die Bedingung und zum anderen für alle und alle die Optimalitätsbedingung
erfüllt.
Meistens ist eine -dimensionale Zufallsvariable mit Werten in , wobei den Stichprobenumfang bezeichnet. Die formale Definition und die praktische Durchführung eines Tests basiert häufig auf einer eindimensionalen reellwertigen Teststatistik .
Asymptotisches Verhalten des Tests
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In den meisten Fällen ist die exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese nicht bekannt. Man steht also vor dem Problem, dass kein kritischer Bereich zum vorgegebenen Niveau festgelegt werden kann. In diesen Fällen erweitert man die Klasse der zulässigen Tests auf solche, die asymptotisch das richtige Niveau besitzen. Formal bedeutet dies, dass man den Bereich so wählt, dass für alle die Bedingung
erfüllt ist. In der Regel erhält man solche asymptotischen Tests via Normalapproximation; man versucht also, die Teststatistik so zu transformieren, dass sie gegen eine Normalverteilung konvergiert.
Einfache Beispiele hierfür sind der einfache und doppelte t-Test für Erwartungswerte. Hier folgt die asymptotische Verteilung direkt aus dem zentralen Grenzwertsatz in der Anwendung auf das arithmetische Mittel. Daneben gibt es aber eine Reihe weiterer statistischer Methoden, die die Herleitung der asymptotischen Normalverteilung auch für kompliziertere Funktionale erlauben. Hierunter fällt die Deltamethode für nichtlineare, differenzierbare Transformationen asymptotisch normalverteilter Zufallsvariablen:
Sei eine differenzierbare Funktion und sei ein Schätzer -normalverteilt mit asymptotischer Kovarianzmatrix , dann hat folgende Verteilung: .
Ferner hat die nichtparametrische Deltamethode (auch: Einflussfunktionsmethode) einige Fortschritte gebracht:
Sei ein Funktional, das von der Verteilung abhängt. Sei die Gâteaux-Ableitung der Statistik bei (Einflussfunktion) und sei Hadamard-differenzierbar bezüglich , dann hat folgende Verteilung: .
Die Deltamethode erlaubt Normalverteilungsapproximationen für nichtlineare, differenzierbare Transformationen (asymptotisch) normalverteilter Zufallsvariablen, während die Einflussfunktionsmethode solche Approximationen für viele interessante Charakteristika einer Verteilung zulässt. Darunter fallen u. a. die Momente (also etwa: Varianz, Kurtosis usw.), aber auch Funktionen dieser Momente (etwa: Korrelationskoeffizient).
Eine wichtige weitere Anforderung an einen guten Test ist, dass er bei wachsendem Stichprobenumfang empfindlicher wird. In statistischen Termini bedeutet dies, dass bei Vorliegen einer konsistenten Teststatistik die Wahrscheinlichkeit dafür steigt, dass die Nullhypothese auch tatsächlich zu Gunsten der Alternativhypothese verworfen wird, falls sie nicht stimmt. Speziell wenn der Unterschied zwischen dem tatsächlichen Verhalten der Zufallsvariablen und der Hypothese sehr gering ist, wird er erst bei einem entsprechend großen Stichprobenumfang entdeckt. Ob diese Abweichungen jedoch von praktischer Bedeutung sind und überhaupt den Aufwand einer großen Stichprobe rechtfertigen, hängt von dem zu untersuchenden Aspekt ab.
Problem der Modellwahl
Die meisten mathematischen Resultate beruhen auf Annahmen, die bezüglich bestimmter Eigenschaften der beobachteten Zufallsvariablen gemacht werden. Je nach Situation werden verschiedene Teststatistiken gewählt, deren (asymptotische) Eigenschaften wesentlich von den Forderungen an die zu Grunde liegende Verteilungsfamilie abhängen. In der Regel müssen diese Modellannahmen zuvor empirisch überprüft werden, um überhaupt angewendet werden zu können. Kritisch ist dabei vor allem, dass die typischen Testverfahren strengen Voraussetzungen unterworfen sind, die in der Praxis selten erfüllt sind.
Typen und Eigenschaften von Tests
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Parametrische und nichtparametrische Tests
Parametrische Tests (parametrisches Prüfverfahren)
Bei Parametertests interessieren konkrete Werte wie Varianz oder Mittelwert. Ein parametrisches Prüfverfahren macht also Aussagen über Grundgesamtheitsparameter oder die in der Verteilungsfunktion einer Untersuchungsvariablen auftretenden Konstanten. Dazu müssen alle Parameter der Grundgesamtheit bekannt sein (was oft nicht gegeben ist). Bei einem Parametertest hat jede der denkbaren Stichproben die gleiche Realisierungschance. Parametrische Tests gehen davon aus, dass die beobachteten Stichprobendaten einer Grundgesamtheit entstammen, in der die Variablen oder Merkmale ein bestimmtes Skalenniveau und eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen, häufig Intervallskalenniveau und Normalverteilung. In diesen Fällen ist man also daran interessiert, Hypothesen über bestimmte Parameter der Verteilung zu testen.
Sofern die gemachten Verteilungsannahmen nicht stimmen, sind die Ergebnisse des Tests in den meisten Fällen unbrauchbar. Speziell lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art nicht mehr sinnvoll minimieren. Man spricht dann davon, dass für viele Alternativen die Trennschärfe sinkt.
Nichtparametrische Tests
Bei nichtparametrischen Tests (auch parameterfreie Tests oder Verteilungstests genannt) wird der Typ der Zufallsverteilung überprüft: Man entscheidet, ob eine aus Beobachtungen oder Häufigkeitsverteilungen bestehende Nullhypothese, die man aus einer Zufallsstichprobe gezogen hat, mit einer Null-Hypothese vereinbar ist, die man über die Verteilung in der Grundgesamtheit aufgestellt hat. Nichtparametrische Tests kommen also mit anderen Vorannahmen aus, die Menge der für Hypothese und Alternative zugelassenen Verteilungen lässt sich nicht durch einen Parameter beschreiben.
Typische Beispiele:
- Tests auf eine bestimmte Verteilungsfunktion wie der Kolmogorow-Smirnow-Test.
- Der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test vergleicht die Lage zweier unabhängiger Stichproben.
- Der Kruskal-Wallis-Test vergleicht die Lage von drei oder mehr Gruppen unabhängiger Stichproben.
- Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test vergleicht die Lage zweier abhängiger Stichproben (bspw. Paarvergleiche)
- Der Friedman-Test vergleicht die Lage von drei oder mehr Gruppen abhängiger Stichproben.
Da jedoch parametrische Tests trotz Verletzung ihrer Annahmen häufig eine bessere Trennschärfe bieten als nichtparametrische, kommen letztere eher selten zum Einsatz.
Entscheidungsschema parametrischer/nichtparametrischer Test
Grundsätzlich wird ein parametrischer Test einer nichtparametrischen Alternative vorgezogen. Ein parametrischer Test verwendet mehr Informationen als ein nichtparametrischer Test, was die Testgüte erhöht (unter der Annahme, dass die zusätzlichen Informationen korrekt sind). Der nachfolgende Algorithmus (in Pseudocode) kann zur Auswahl eines parametrischen Tests bzw. einer nichtparametrischen Alternative angewandt werden. Wird STOP erreicht, wird der Algorithmus beendet.[3]
- Ist die Variable nicht kardinal skaliert?
- Falls ja, dann nichtparametrisch testen. STOP.
- Eine grafische Überprüfung der Voraussetzungen durchführen. Sind die Testvoraussetzungen deutlich verletzt?
- Falls ja, dann prüfen, ob man mit einer Variablentransformation die Verletzung beheben kann. Macht eine entsprechende Transformation keinen Sinn, dann nichtparametrisch testen. STOP.
- Sind Testverzerrungen aufgrund der Stichprobencharakteristika zu erwarten?
- Falls ja, dann nichtparametrisch testen. STOP.
- Sonst parametrisch testen. Wird die Alternativhypothese angenommen?
- Falls ja, dann die Alternativhypothese annehmen. STOP.
- Überprüfung der Voraussetzungen des Tests mittels entsprechender Tests. Ist mindestens eine Voraussetzungen nicht erfüllt?
- Falls ja, dann die Nullhypothese beibehalten. STOP.
- Zusätzlich nichtparametrisch testen. Wird das Ergebnis des parametrischen Test bestätigt?
- Falls ja, dann die Nullhypothese beibehalten. STOP.
- Es wird die Alternativhypothese angenommen. STOP.
Verteilungsfreie und verteilungsgebundene Tests
Bei verteilungsgebundenen oder parametrischen Tests[4] hängt die Teststatistik von der Verteilung der Stichprobenvariablen , also ihrer Verteilung in der Grundgesamtheit, ab. Oft wird eine Normalverteilung vorausgesetzt. Ein Beispiel für einen verteilungsgebundenen Test ist der F-Test zum Vergleich von zwei Varianzen zweier normalverteilter Grundgesamtheiten.
Bei verteilungsfreien Tests, auch nichtparametrische oder parameterfreie Tests genannt[4][5][6], hängt die Teststatistik nicht von der Verteilung der Stichprobenvariablen ab. Ein Beispiel für einen verteilungsfreien Test ist der Levene-Test zum Vergleich von zwei Varianzen zweier beliebig verteilter Grundgesamtheiten.
Konservativer Test
Bei einem konservativen Test gilt für jede Stichprobe, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (Annahme der Alternativhypothese als Ergebnis der Testentscheidung, obwohl die Nullhypothese wahr ist) kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist. Die Konsequenz ist, dass der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese breiter ist als eigentlich notwendig. Damit wird die Nullhypothese seltener abgelehnt als durch das Signifikanzniveau vorgegeben. Man verhält sich konservativ und begünstigt die Annahme der Nullhypothese.
Ein Beispiel für einen konservativen Test ist der Binomialtest (Test auf Anteilswert, z. B. vs. ). Aufgrund der Diskretheit der Teststatistik kann man nicht erreichen, dass für den kritischen Wert gilt: . Stattdessen fordert man . Man wählt also generell als kritischen Wert jenen Wert, der zu einem Signifikanzniveau von höchstens führt. Das vorgegebene Signifikanzniveau kann also praktisch erheblich unterschritten werden.
Exakter Test
Bei manchen Tests wird die Verteilung der Teststatistik – in der Regel zur einfacheren Berechnung – durch eine andere Verteilung approximiert. Verwendet man dagegen die exakte Stichprobenverteilung, so spricht man von einem exakten Test. Exakte Tests sind etwa der Fisher-Test oder der Binomialtest.
Ein Beispiel ist auch hier der Binomialtest (Test auf Anteilswert, z. B. vs. ). Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann die binomialverteilte Teststatistik mit der Normalverteilung approximiert werden, z. B. falls gilt. Unter Umständen ist in diesem Fall zur besseren Approximation die Anwendung einer Stetigkeitskorrektur notwendig.
Einseitige- und zweiseitige Tests
Im Falle eines eindimensionalen Parameters mit Werten im Parameterraum spricht man in den beiden Fällen und von einer einseitigen Alternativhypothese und im Fall von einer zweiseitigen Alternativhypothese. Dabei ist ein spezifizierter Parameter in . Im ersten Fall kann die Nullhypothese von der Form oder sein; im zweiten Fall kann die Nullhypothese von der Form oder sein; im dritten Fall ist die Nullhypothese . Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einseitigen und zweiseitigen Testproblemen oder kürzer von einseitigen und zweiseitigen Tests.
Übersicht Tests
Die wichtigsten Tests lassen sich nach verschiedenen Kriterien charakterisieren, z. B. nach
- Einsatzzweck, z. B. das Testen von Parametern einer Verteilung oder der Verteilung selbst
- Anzahl der Stichproben
- Abhängigkeit oder Unabhängigkeiten der Stichproben
- Voraussetzungen über die Grundgesamtheit(en)
Falls nicht anders angegeben, wird bei allen Tests in der folgenden Übersicht davon ausgegangen, dass die Beobachtungen unabhängig und identisch verteilt sind. Es werden folgende Abkürzungen benutzt:
- GG: Grundgesamtheit
- GGen: Grundgesamtheiten
- ZGS: Zentraler Grenzwertsatz
Nicht-parametrische Tests sind mit einem gelben Hintergrund gekennzeichnet.
Tests auf Lageparameter (Mittelwert, Median)
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Für eine Stichprobe | ||
Einstichproben-t-Test | Mittelwert | Normalverteilung in der GG oder die Verteilung genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfang größer 30), Varianz der GG ist unbekannt |
Einstichproben-Gauß-Test | Mittelwert | Normalverteilung in der GG oder die Verteilung genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfang größer 30), Varianz der GG ist bekannt |
Vorzeichentest | Median | |
Für zwei unabhängige Stichproben | ||
Zweistichproben-t-Test | Mittelwerte | Normalverteilung in den GGen oder die Verteilungen genügen dem ZGS (Faustregel: Gesamtstichprobenumfang mindestens 50), Varianzen in GGen sind unbekannt, aber gleich |
Welch-Test | Mittelwerte | Normalverteilung in den GGen oder die Verteilungen genügen dem ZGS (Faustregel: Gesamtstichprobenumfang mindestens 50), Varianzen in GGen sind unbekannt und ungleich |
Zweistichproben-Gauß-Test | Mittelwerte | Normalverteilung in den GGen oder die Verteilungen genügen dem ZGS (Faustregel: Gesamtstichprobenumfang mindestens 50), Varianzen in GGen sind bekannt und gleich |
Wilcoxon-Mann-Whitney-Test | Mittelwerte und Mediane | Verteilungsfunktionen sind gegeneinander verschoben |
Median-Test | Mediane | |
Für zwei abhängige Stichproben | ||
Zweistichproben-t-Test | Mittelwerte | Die Differenz der Beobachtungen ist normalverteilt oder genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfänge größer 30), Varianz der Differenz ist unbekannt |
Zweistichproben-Gauß-Test | Mittelwerte | Die Differenz der Beobachtungen ist normalverteilt oder genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfänge größer 30), Varianz der Differenz ist bekannt |
Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test | Mediane | Die Differenz der Beobachtungen ist symmetrisch verteilt |
Vorzeichentest | Mediane | |
Für mehrere unabhängige Stichproben | ||
Varianzanalyse | Mittelwerte | Normalverteilte GGen, Varianzen in GGen sind gleich |
Kruskal-Wallis-Test | Mittelwerte und Mediane | Verteilungsfunktionen sind gegeneinander verschoben |
Median-Test | Mediane | |
Für mehrere abhängige Stichproben | ||
Varianzanalyse mit wiederholten Messungen | Mittelwert | Normalverteilte GGen, Sphärizität |
Friedman-Test | Lageparameter | |
Quade-Test | Lageparameter |
Tests auf Streuung
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Für eine Stichprobe | ||
F-Test | Varianz | Normalverteilte GG |
Für zwei unabhängige Stichproben | ||
F-Test | Varianzen | Normalverteilte GGen |
Für zwei oder mehr unabhängige Stichproben | ||
χ2-Test von Bartlett | Varianzen | Normalverteilte GGen |
Levene-Test | Varianzen | |
Für eine multivariate Stichprobe | ||
Bartlett-Test auf Sphärizität | Kovarianzmatrix |
Tests auf Zusammenhangs- und Assoziationsparameter
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Für zwei unabhängige Stichproben | ||
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest | Unabhängigkeit | GGen sind diskret verteilt |
Exakter Test nach Fisher | Unabhängigkeit | GGen sind diskret verteilt |
Steigers Z-Test | Bravais-Pearson-Korrelation | GGen sind bivariat normal verteilt |
Für zwei abhängige Stichproben | ||
McNemar-Test | Unabhängigkeit | GGen sind dichotom |
Anpassungs- oder Verteilungstests
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Für eine Stichprobe | ||
Chi-Quadrat-Anpassungstest | vorg. Verteilung | GG ist diskret |
Anderson-Darling-Test | vorg. Verteilung | GG ist stetig |
Kolmogorow-Smirnow-Test | vorg. Verteilung | GG ist stetig |
Cramér-von-Mises-Test | vorg. Verteilung | GG ist stetig |
Jarque-Bera-Test | Normalverteilung | GG ist stetig |
Lilliefors-Test | Normalverteilung | GG ist stetig |
Shapiro-Wilk-Test | Normalverteilung | GG ist stetig |
Für zwei Stichproben | ||
Zweistichproben-Kolmogorow-Smirnow-Test | Identische Verteilungen | GGen sind stetig |
Zweistichproben-Cramér-von-Mises-Test | Identische Verteilungen | GGen sind stetig |
Für mehrere Stichproben | ||
Chi-Quadrat-Homogenitätstest | Identische Verteilungen | GGen sind diskret |
Tests in der Regressions- und Zeitreihenanalyse
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Lineare Regression | ||
globaler F-Test | „Bestimmtheitsmaß“ | Normalverteilte Residuen |
t-Test | Regressionskoeffizient | Normalverteilte Residuen |
Goldfeld-Quandt-Test | Heteroskedastizität | Normalverteilte Residuen |
Chow-Test | Strukturbruch | Normalverteilte Residuen |
Zeitreihenanalyse | ||
Durbin-Watson-Test | Autokorrelation | Normalverteilte Residuen, fixe Regressoren, nur Autokorrelation 1. Ordnung zulässig, keine Heteroskedastizität |
Box-Pierce-Test | Autokorrelation | ? |
Ljung-Box-Test | Autokorrelation | ? |
Verschiedene Tests
Test | Test bzgl. | Voraussetzung(en) |
---|---|---|
Dichotome GG | ||
Binomialtest | Anteilswert | GG ist dichotom |
Run-Test | Zufälligkeit | GG ist dichotom |
Ausreißer | ||
Grubbs-Test | Gr. oder kl. Wert | GG ist normalverteilt |
Walsh-Test | Gr. oder kl. Wert | Für ein Signifikanzniveau von 5 % (10 %) werden mindestens 220 (60) Werte benötigt |
Allgemeine Tests der Maximum-Likelihood-Theorie | ||
Likelihood-Quotienten-Test | Koeffizient o. Modelle | |
Wald-Test | Koeffizient o. Modelle | |
Score-Test | Koeffizient o. Modelle |
Sonstiges
Besondere Formen dieser Tests sind:
- Multipler Test
- Verwendet man etwa anstelle eines H-Tests mit mehr als zwei unabhängigen Stichproben mehrere U-Tests als Einzeltests, so werden diese Einzeltests als multipler Test angesehen. Zu beachten ist hierbei besonders, dass bei den hintereinandergeschalteten Einzeltests sich die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art mit der Anzahl des Tests vergrößert. Bei einem Vergleich muss dies unbedingt berücksichtigt werden.
- Sequentieller Test
- Bei einem sequentiellen Test ist der Stichprobenumfang nicht vorgegeben. Vielmehr wird bei der laufenden Datenerfassung für jede neue Beobachtung ein Test durchgeführt, ob man aufgrund der bereits erhobenen Daten eine Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese treffen kann (siehe Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test).
Tests | Kurzbeschreibung |
---|---|
Test einer Stichprobe auf Zugehörigkeit zur Normalverteilung | |
Parametrische Tests | |
Test von Cochran/Cochrans Q | Test auf Gleichverteilung mehrerer verbundener dichotomer Variablen |
Kendall’scher Konkordanzkoeffizient/Kendalls W | Test auf Korrelation von Rangreihen |
Friedman-Test | Test auf Gleichheit des Lageparameters, bei unbekannter, aber identischer Verteilung im c-Stichprobenfall mit gepaarten Stichproben |
Quade-Test | Test auf Gleichheit des Lageparameters, bei unbekannter, aber identischer Verteilung im c-Stichprobenfall mit gepaarten Stichproben |
Siehe auch
Anmerkungen
- ↑ Wir betrachten für den Parameterbereich [1/4,1], um zu erreichen, dass Nullhypothese und Alternativhypothese den gesamten Parameterbereich überdecken. Bei absichtlichem Nennen einer falschen Farbe könnte man zwar auch auf Hellseh-Fähigkeiten schließen, aber wir nehmen an, dass die Testperson eine möglichst hohe Trefferzahl erzielen will.
- ↑ George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 93
- ↑ Jürgen Bortz, Christof Schuster: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 7 Auflage. Springer, Berlin 2010, ISBN 978-3-642-12769-4.
- ↑ 4,0 4,1 Jürgen Bortz, Gustav A. Lienert, Klaus Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. 3. Auflage. Springer, 2008, S. 35--36.
- ↑ J. Hartung: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 8. Auflage. Oldenbourg, 1991, S. 139.
- ↑ K. Bosch: Statistik-Taschenbuch. Oldenbourg, 1992, S. 669.
Literatur
- Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik [mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen], 15., überarbeitete und erweiterte Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 978-3-486-59028-9.
- Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4.
Weblinks
- Erklärung Hypothesentest/Signifikanztest/statistischer Test für Schüler
- Statistical Tests Overview (englisch)
- Statistische Versuchsauswertung (PDF) in der Anwendung: Eine Einführung in Theorie und Praxis (Vortraghandout, TUM)
Dieser Artikel basiert ursprünglich auf dem Artikel Statistischer Test aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported. In der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Wikipedia-Autoren verfügbar. |