Stetigkeit

Die Stetigkeit (Kontinuität) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig (kontinuierlich), wenn hinreichend kleine Änderungen des Argumentes (der Argumente) zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Eine auf einem topologischen Raum definierte stetige Funktion mit Funktionswerten in einem metrischen Raum zeichnet sich also dadurch aus, dass in keinem ihrer Argumente die Oszillation größer Null ist. Das heißt insbesondere, dass bei stetigen reellen Funktionen keine Sprungstellen auftreten.

Definitionen

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen reellen Funktion

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion $f\colon I\to \mathbb {R}$ auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ ist stetig, wenn der Graph der Funktion $f$ ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Diese Aussage ist keine Definition, weil einerseits unklar ist, wie ohne Absetzen des Stiftes zeichnen in mathematischen Begriffen ausgedrückt werden könnte. Andererseits gibt es sowohl stetige Funktionen, deren Graphen Sprünge aufweisen (Bsp.: $x\mapsto {\tfrac {1}{x}};x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$), als auch unstetige Funktionen, deren Graphen keine Sprünge im anschaulichen Sinne aufweisen (Bsp. Dirichlet-Funktion: zwei parallele, durchgezogene Linien). Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich.

Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit. Sie nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offenlässt. Das heutzutage übliche ε-δ-Kriterium wurde von Karl Weierstraß am Ende des 19. Jahrhunderts eingeführt.

Es sagt in Worten etwa: Die Funktion $f$ ist in einem Punkt $p$ stetig, wenn es zu jeder Umgebung $V$ seines Bildpunktes $f(p)$ eine Umgebung $U$ von $p$ gibt, die durch $f$ ganz in die Umgebung $V$ abgebildet wird.

Stetigkeit reeller Funktionen

Für reelle Funktionen $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ sind mehrere äquivalente Definitionen der Stetigkeit üblich:

Veranschaulichung der ε-δ-Definition: für ε = 0,5 erfüllt δ := 0,5 die Stetigkeitsbedingung.

Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Epsilon-Delta-Kriterium

Die Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $\xi \in D$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-\xi |<\delta$ gilt: $|f(x)-f(\xi )|<\varepsilon$.

Intuitiv bedeutet dies, dass man für jede noch so kleine $\varepsilon$-Umgebung des Funktionswerts $f(\xi )$ eine $\delta$-Umgebung von $\xi$ so wählen kann, dass alle Argumente aus der $\delta$-Umgebung zu Funktionswerten in der $\varepsilon$-Umgebung führen.

Folgenkriterium

Die Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $\xi \in D$, wenn für jede Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in D$, die gegen $\xi$ konvergiert, die Folge ${\bigl (}f(x_{k}){\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }$ gegen $f(\xi )$ konvergiert.

Kurz: Aus $\lim \limits _{k\to \infty }x_{k}=\xi$ folgt stets $\lim \limits _{k\to \infty }f(x_{k})=f(\xi )$.

Limeskriterium

Eine Funktion $f$ ist stetig in $\xi \in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to \xi$ existiert und $\lim _{x\to \xi }f(x)=f\left(\xi \right)$ gilt oder wenn $\xi$ ein isolierter Punkt ist.

Topologisches Kriterium

Eine Funktion $f$ ist stetig in $\xi \in D$ genau dann, wenn für jede Umgebung $U$ von $f(\xi )$ das Urbild $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $\xi$ ist.

Definition über die Oszillation an einem Punkt

Eine Funktion $f$ ist genau dann stetig am Punkt $p$, wenn die Oszillation dieser Funktion an diesem Punkt gleich null ist, wenn also ${\omega }_{f}(p)=0$ ist. Dabei ist die Oszillation definiert als ${\omega }_{f}(p):=\inf\{{\Omega }_{f}(U):U\in {\mathcal {U}}_{p}\}$, wobei ${\mathcal {U}}_{p}$ die Menge aller Umgebungen um $p$ und ${\Omega }_{f}(U)=\sup\{|f(a)-f(b)|:a,b\in U\}$ ist.

Definition in der Nichtstandard-Analysis

Eine Funktion ist stetig an der Stelle $p$, wenn für alle Infinitesimale $dx$ gilt, dass auch die Differenz $f(p+dx)-f(p)$ infinitesimal ist. Sprich: $\forall x\in {}^{*}\mathbb {R} :x\approx p\Rightarrow f(x)\approx f(p)$.

Allgemein gilt: Eine Funktion heißt stetig auf $D$, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele

Die Vorzeichenfunktion $\operatorname {sgn}(x)$ ist nicht stetig an der Stelle 0.

Die Funktion $f$ mit $f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist im Nullpunkt nicht stetig.

Die Funktion $g$ mit $g(x)=x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist im Nullpunkt stetig.

• Die Sinusfunktion $\sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \sin x$ ist in $\mathbb {R}$ stetig.
• Die Kosinusfunktion $\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \cos x$ ist in $\mathbb {R}$ stetig.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto e^{\cos x}$ ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) in $\mathbb {R}$ stetig.
• Die Tangensfunktion $\tan \colon D\to \mathbb {R} ,x\mapsto \tan x$ ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich $D$. Dieser ergibt sich wegen $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ zu $D=\{x\in \mathbb {R} \,|\,\cos x\neq 0\}$, also zu $D=\mathbb {R} \setminus \{\pm {\tfrac {\pi }{2}},\pm {\tfrac {3\pi }{2}},\pm {\tfrac {5\pi }{2}},\dotsc \}$.
  Bemerkung: Keine Unstetigkeitsstellen sind die Argumente $\{\pm {\tfrac {\pi }{2}},\pm {\tfrac {3\pi }{2}},\pm {\tfrac {5\pi }{2}},\dotsc \}$ sowie das Argument $x=0$ der Kehrwert-Funktion, da die Funktionen an diesen Stellen gar nicht definiert sind und sich Stetigkeit immer nur auf Punkte des Definitionsbereichs beziehen kann.
• Die Kehrwert-Funktion $f\colon D\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\tfrac {1}{x}}$ ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$.
• Die Vorzeichenfunktion
  $\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}1\ ,&x>0\ ,\\0\ ,&x=0\ ,\\-1\ ,&x<0\ ,\end{cases}}$
  ist an jeder Stelle $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ stetig, aber an der Stelle 0 unstetig: Der linksseitige Grenzwert ist −1, der rechtsseitige Grenzwert +1 und somit existiert der Grenzwert $\textstyle \lim _{x\to 0}\,\operatorname {sgn} (x)$ nicht. Deshalb ist die Vorzeichenfunktion nicht auf ganz $\mathbb {R}$ stetig.
• Die Funktion
  $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ f(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\ ,&x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,\\0\ ,&x=0\ ,\end{array}}\right.$
  ist an der Stelle 0 unstetig (sogenannte Oszillationsstelle), in allen anderen Punkten stetig.
• Die Dirichlet-Funktion
  $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ f(x):=\left\{{\begin{array}{ll}1\ ,&x\in \mathbb {Q} \ ,\\0\ ,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \ ,\end{array}}\right.$
  ist an jeder Stelle unstetig.
• Die thomaesche Funktion auf dem Intervall $[0;1]$
  $f(x):={\begin{cases}1\ ,&{\text{wenn }}x=0\ ,\\0\ ,&{\text{wenn }}x{\text{ irrational}}\ ,\\{\frac {1}{q}}\ ,&{\text{wenn }}x={\frac {p}{q}}{\text{ mit }}p,q\in \mathbb {N} {\text{ und }}\operatorname {ggT} (p,q)=1\ ,\end{cases}}$
  ist an jeder rationalen Stelle unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig.
• Jede Funktion ist in jedem isolierten Punkt ihres Definitionsbereichs stetig. Insbesondere sind Folgen aufgefasst als Funktionen $\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ stetig.

Eigenschaften

• Sind $f$ und $g$ stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich $D$, so sind auch $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$ und ${\tfrac {f}{g}}$ stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von ${\tfrac {f}{g}}$ für den Fall, dass $g$ eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich $D':=\{x\in D:g(x)\neq 0\}$ eingeschränkt werden.

• Die Komposition $f\circ g$ zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit

Graph einer in $x_{0}$ linksseitig stetigen Funktion $f$.

Eine auf einer Menge $D\subseteq \mathbb {R}$ definierte Funktion $f$ ist in einem Punkt $\xi \in D$ linksseitig stetig, wenn der linksseitige Grenzwert $\lim _{x\to \xi -}f(x)$ existiert und gleich $f(\xi )$ ist. Ist $f$ auf dem ganzen Definitionsbereich linksseitig stetig, so sagt man auch, $f$ ist linksstetig. Analog definiert man rechtsseitige Stetigkeit über den rechtsseitigen Grenzwert mit analoger Notation $\lim _{x\to \xi +}f(x)=f(\xi )$.

Eine auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definierte Funktion ist also genau dann stetig in $\xi$, wenn in $\xi$ rechts- und linksseitige Grenzwerte existieren und gleich $f(\xi )$ sind. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Stetige Ergänzbarkeit

Ist ein Punkt $\xi \in \mathbb {R} \setminus D$, aber Häufungspunkt von $D$, so kann es sein, dass der (beidseitige) Limes $\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta$ existiert. Die ergänzte Funktion ${\hat {f}}\colon D\cup \{\xi \}\to \mathbb {R}$ mit ${\hat {f}}(\xi )=\eta$ und ${\hat {f}}(x)=f(x)$ für $x\in D$ ist dann an der Stelle $\xi$ stetig. Man sagt, die Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ sei an der Stelle $\xi$ stetig ergänzbar, und verwendet häufig für die neue Funktion ${\hat {f}}$ die ursprüngliche Bezeichnung $f$.
Der Ergänzungswert $\eta$ lässt sich in vielen differenzierbaren Fällen durch die Regel von L’Hospital bestimmen.

→ Hauptartikel: Stetig behebbare Definitionslücke

Beispiele:

1. Die Funktion $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\tfrac {\sin x}{x}}$ ist zunächst an der Stelle $x=0$ nicht definiert. Die Ableitung des Nenners ist aber 1 an der Stelle Null, so dass nach der Regel von L’Hospital $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {\cos x}{1}}=1$ ist, und die Definition von $f$ sich auf ganz $\mathbb {R}$ stetig (und sogar analytisch) ergänzen lässt.
2. Die Definitionslücke der Funktion $x^{-1}$ an der Stelle $x=0$ lässt sich nicht stetig beheben.

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen

Eine Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Mit den Begriffen des metrischen Raumes lässt sich diese Beschreibung in verschiedener Weise formalisieren. $(X,d_{X})\,$ und $(Y,d_{Y})\,$ sind jeweils metrische Räume mit den zugehörigen Metriken, $f\colon X\rightarrow Y\,$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D\subseteq X$. Folgende Definitionen sind äquivalent:

Epsilon-Delta-Kriterium

$f$ heißt (lokal) stetig in $x_{0}\in D$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$ für alle $x$ mit $d_{X}(x,x_{0})<\delta$ gilt.

Folgenkriterium

$f$ ist stetig in $x_{0}$ $\Leftrightarrow$ Für jede Folge $(x_{n})$ aus $D$, die gegen $x_{0}$ konvergiert, konvergiert $f(x_{n})$ gegen $f(x_{0})$.

Umgebungskriterium

$f$ ist genau dann stetig in $x_{0}$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ gibt, deren Bild in $V$ enthalten ist, also $f(x)\in V$ für alle $x\in U$.

Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion g.

In vielen Themen der Analysis kommen stetige Abbildungen zwischen den metrischen Räumen $(\mathbb {R} ^{n},|\cdot |)_{n=1,2,\dotsc }$ in Betracht. Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$

ist zum Beispiel stetig. Hier sind $f_{1}(x)=f(x,y_{0})$ bei fixiertem $y=y_{0}$ und $f_{2}(x_{0},y)$ bei fixiertem $x=x_{0}$ stetige Funktionen. Dies ist jedoch im Allgemeinen kein ausreichendes Kriterium für die Stetigkeit von $f(x,y)$. Ein Gegenbeispiel ist

$g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto {\begin{cases}0,&x=y=0\\{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Diese Funktion ist an der Stelle $(0,0)$ unstetig, obwohl $g_{y_{0}}(x)=g(x,y_{0})$ und $g_{x_{0}}(y)=g(x_{0},y)$ für jedes $y_{0}$ bzw. $x_{0}$ stetige Funktionen einer reellen Variable sind.

Weitere relevante Klassen stetiger Funktionen bilden die stetigen Funktionen $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$. Die komplexe Exponentialfunktion $z\mapsto f(z)=\exp(z)$ ist Beispiel für eine solche Funktion.

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort heißt eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind. Eine Funktion $f\colon X\to Y$ heißt folgenstetig, wenn sie das Folgenkriterium erfüllt, wenn also

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(\lim _{n\to \infty }x_{n})$

für jede konvergente Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in X$ gilt.

Jede stetige Funktion ist folgenstetig. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, insbesondere also in metrischen Räumen, gilt auch die Umkehrung, dass jede folgenstetige Funktion stetig ist.

Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff

Ordnungstheoretisch lässt sich die Stetigkeit als Verträglichkeit einer Funktion mit dem Supremum vollständiger Halbordnungen $A,B$ fassen. Eine Funktion $f\colon A\rightarrow B$ heißt stetig, wenn $f(\bigsqcup X)=\bigsqcup f(X)$ für alle gerichteten Teilmengen $X\subseteq A$ gilt. Dieser Begriff spielt in der Bereichstheorie eine zentrale Rolle. Ähnlich der Folgenstetigkeit oben werden auch hier Grenzwerte wieder auf Grenzwerte abgebildet.

In diesem Zusammenhang folgt aus der Stetigkeit einer Funktion deren Monotonie. Umgekehrt bildet jede monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine solche ab, wodurch die Existenz des Supremums des Abbilds dann von vornherein gewiss ist und nicht mehr gezeigt werden muss. Viele Autoren nehmen die Monotonie als Voraussetzung in die Definition der Stetigkeit auf.

Andere Stetigkeitsbegriffe

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie absolute Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Im Bereich geometrische Modellierung beschreibt geometrische Stetigkeit die Stetigkeit von geometrischen Objekten wie Tangenten oder Krümmungen.

Zusammenhang

Es gelten folgende Zusammenhänge im Fall reeller Funktionen:

$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig

und

$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ absolut stetig $\Rightarrow$ $f$ gleichmäßig stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig.

Beispiele

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass in aller Regel weder die Rückrichtungen gelten noch weitere Zusammenhänge bestehen:

• $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.

• $f\colon [-1,1]\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\sqrt {|x|}}$ ist absolut stetig, also gleichmäßig stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig im Nullpunkt.

• Die Cantorfunktion auf dem Intervall $[0,1]$ ist gleichmäßig stetig, aber nicht absolut stetig.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Verkettung stetiger Funktionen

Jede Verkettung (auch Komposition, Hintereinanderausführung oder Hintereinanderschaltung genannt) stetiger Funktionen ist auch wieder stetig.

Summen stetiger Funktionen

Endliche Summen stetiger Funktionen sind stetig.

Eine Reihe kann jedoch als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen selbst dann unstetig sein, wenn sie in jedem einzelnen Punkt gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Das älteste Beispiel hierfür ist die 1826 von Niels Henrik Abel angegebene Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\sin(nx)}{n}},$

die unter anderem an der Stelle $x=\pi$ unstetig ist. Liegen allerdings stärkere Voraussetzungen wie etwa die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Reihe vor, so ist auch die Grenzfunktion zwangsläufig stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion

Sind $I$ ein Intervall in $\mathbb {R}$ und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige, streng monoton wachsende oder streng monoton fallende Funktion, dann ist das Bild von $f$ ein Intervall $J$, $f\colon I\to J$ ist bijektiv, und die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon J\to I$ ist stetig. Somit ist $f$ ein Homöomorphismus von $I$ nach $J$.

Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist $f$ eine umkehrbare und an der Stelle $x_{0}$ stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $f(x_{0})$ im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei $f\colon \left]-\infty ,0\right[\cup \left[1,+\infty \right[\rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch:

$f(x)={\begin{cases}x,&x<0,\\x-1,&x\geq 1.\end{cases}}$

Dann ist $f$ bijektiv und an der Stelle $1$ stetig, aber $f^{-1}$ ist in $0=f(1)$ unstetig.

Allgemein gilt folgender Satz: Sind $X$ und $Y$ topologische Räume und dabei $X$ kompakt und $Y$ hausdorffsch und ist $f:X\rightarrow Y$ eine stetige Bijektion, so ist auch die Umkehrfunktion stetig und $f:X\rightarrow Y$ damit sogar ein Homöomorphismus.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall $[a,b]$ (mit $a<b$) stetige Funktion jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal annimmt.

Formal:

Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a<b$ und $f(a)<f(b)$, dann existiert für alle $d\in [f(a),f(b)]$ ein $x\in [a,b]$, so dass $f(x)=d$.

Analog für $f(a)>f(b)$ und $d\in [f(b),f(a)]$.

Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Satz von Bolzano

Als Spezialfall enthält der Zwischenwertsatz folgenden Satz von Bernard Bolzano: Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion $f(x)$ an zwei Stellen $a$ und $b$ dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen $a$ und $b$ mindestens eine Stelle $c$, an der die Funktion $f$ verschwindet, das heißt $f(c)=0$. Die Funktion hat also dort eine Nullstelle.

Satz vom Minimum und Maximum

Eine reellwertige Funktion, die auf einer kompakten Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ (die damit abgeschlossen und beschränkt ist) stetig ist, ist beschränkt und nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ stetig, so gibt es Stellen $t,h\in [a,b]$, so dass

$f(t)\leq f(x)\leq f(h)$ für alle $x\in [a,b]$

gilt.

Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für das praktische Auffinden dieser Punkte sind Aussagen aus der Differentialrechnung nützlich.

Die Aussage gilt auch auf quasikompakten topologischen Räumen.

Differenzierbarkeit stetiger Funktionen

Graph einer reellen Weierstraß-Funktion im Intervall $[-2,2]$. Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar.

Stetige Funktionen sind nicht notwendig differenzierbar. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Seine Funktion ist folgendermaßen definiert:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x)$,

wobei $a$ eine ungerade natürliche Zahl ist und $b\in \left]0,1\right[$ mit $ab>2+{\tfrac {3}{2}}\pi$.

Räume stetiger Funktionen

Die Menge aller stetigen Funktionen von $X$ nach $Y$ wird meist mit $C(X,Y)$ oder $C^{0}(X,Y)$ bezeichnet. Dabei steht das C für „continuous“, englisch für „stetig“. Ist der Bildraum $Y$ aus dem Kontext ersichtlich oder $Y=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$, so schreibt man oft nur $C(X)$ bzw. $C^{0}(X)$.

Um Stetigkeit sinnvoll definieren zu können, müssen $X$ und $Y$ mindestens topologische Räume sein. Ist $Y$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum, so wird durch die punktweise Verknüpfung

$(f+g)(x):=f(x)+g(x){\text{ sowie }}(\lambda f)(x):=\lambda f(x){\text{ für alle }}x\in X$

auch $C(X,Y)$ zu einem $\mathbb {K}$-Vektorraum.

Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Ist $X$ eine kompakte Menge, so tragen die stetigen Funktionen mehr Struktur. Ist dann zusätzlich $Y$ ein metrischer Raum, so sind die stetigen Funktionen stets eine Teilmenge der beschränkten Funktionen, es gilt also

$C(X,Y)\subset B(X,Y)$.

Ist auf $Y$ eine Norm $\|\cdot \|_{Y}$ definiert, so wird über

$\|f\|_{\sup }:=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}$

eine Norm auf $C(X,Y)$ definiert, die sogenannte Supremumsnorm. Diese Definition ist aufgrund der Beschränktheit der stetigen Funktionen sinnvoll.

Ist $Y$ ein Banach-Raum, also ein vollständiger normierter Raum, so ist auch $C(X,Y)$ ein Banach-Raum. Die stetigen Funktionen sind dann ein abgeschlossener Unterraum der beschränkten Funktionen.

Reellwertige stetige Funktionen

Für die Menge der reellwertigen stetigen Funktionen $C(X)$ lassen sich noch einige zusätzliche Eigenschaften und wichtige Unterräume angeben.

So ist beispielsweise jede stetige Funktion auf einem Hausdorff-Raum bezüglich eines Radon-Maßes mit kompaktem Träger Lebesgue-integrierbar.

Wichtige Unterräume sind zum Beispiel:

• die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger $C_{c}(X)$
• die stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden $C_{0}(X)$
• die beschränkten stetigen Funktionen $C_{b}(X)$.
• die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen $C^{1}(X)$
• die Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $C^{\infty }(X)$

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit von Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Folgenkriterium der Stetigkeit – Lern- und Lehrmaterialien

 Commons: Stetigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kurze Artikel zu grundlegenden Stetigkeitsbegriffen
• Anschauliche Erklärung zum Epsilon-Delta-Kriterium, mathematik.de