Verzerrung (Statistik)

Die Verzerrung, auch Bias oder systematischer Fehler genannt, ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Kennzahl oder Eigenschaft eines Punktschätzers. Die Verzerrung bildet das Gegenstück zur Erwartungstreue und formalisiert, dass ein Schätzer im Mittel von dem zu schätzenden Wert abweicht.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie ein Punktschätzer

$T:X\to \mathbb {R}$

und eine zu schätzende Funktion

$g:\Theta \to \mathbb {R}$.

Dann heißt

$\mathbb {B} _{T}(\vartheta ):=\operatorname {E} _{\vartheta }(T)-g(\vartheta )$

die Verzerrung des Schätzers $T$ bei $\vartheta$. Dabei bezeichnet $\operatorname {E} _{\vartheta }$ den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P_{\vartheta }$.

Die Notation für die Verzerrung ist nicht einheitlich. In der Literatur finden sich unter anderem $b(\vartheta )$, $b(\vartheta ,T)$ oder $\operatorname {Bias} _{\vartheta }(T)$.

Beispiel

Gegeben seien $n$ Zufallszahlen, die gleichverteilt in einem Intervall $[0,\vartheta ]$ sind. Aufgabe ist, $\vartheta$ zu schätzen. Statistisches Modell ist

$([0,\infty )^{n},{\mathcal {B}}([0,\infty )^{n}),(U_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })$,

wobei $\Theta =(0,\infty )$ und $U_{\vartheta }$ die stetige Gleichverteilung auf $[0,\vartheta ]$ ist.

Die zu schätzende Funktion ist $g(\vartheta )=\vartheta$, ein möglicher Schätzer wäre

$T(X)=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$,

da die größte ausgegebene Zufallszahl intuitiv "nah" an der unbekannten Obergrenze $\vartheta$ liegt. Dann ist

$P_{\vartheta }(T\leq c)=\left({\frac {c}{\vartheta }}\right)^{n}$

für alle $c\in [0,\vartheta ]$. Daraus folgt

$\operatorname {E} _{\vartheta }(T)={\frac {n}{n+1}}\vartheta$,

somit ist die Verzerrung

$\mathbb {B} _{T}(\vartheta )={\frac {n}{n+1}}\vartheta -\vartheta =-{\frac {\vartheta }{n+1}}$.

Die Verzerrung kommt hier zustande, da der Schätzer den wahren Wert stets unterschätzt, es ist $P_{\vartheta }(T<\vartheta )=1$.

Eigenschaften

Ist die Verzerrung eines Schätzers für alle $\vartheta \in \Theta$ gleich Null, also

$\operatorname {E} _{\vartheta }(T)=g(\vartheta ){\text{ für alle }}\vartheta \in \Theta$,

so nennt man diesen Schätzer einen erwartungstreuen Schätzer.

Der mittlere quadratische Fehler

$\mathbb {F} _{T}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }\left(\left(T-g(\vartheta )\right)^{2}\right)$

zerfällt aufgrund des Verschiebungssatzes der Varianz in Varianz und Verzerrung

$\mathbb {F} _{T}(\vartheta )=\operatorname {Var} _{\vartheta }(T)+\left(\mathbb {B} _{T}(\vartheta )\right)^{2}$

Somit entspricht der mittlere quadratische Fehler bei erwartungstreuen Schätzern genau der Varianz des Schätzers.

Sowohl die Verzerrung als auch der mittlere quadratische Fehler sind wichtige Qualitätskriterien für Schätzer. Folglich versucht man, beide möglichst klein zu halten. Es gibt aber Fälle, in denen es zur Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers sinnvoll ist, Verzerrung zuzulassen.

So ist im Binomialmodell $X=\{0,\dots ,n\},{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),P_{\vartheta }=\operatorname {Bin} _{n,\vartheta }$ mit $\vartheta \in [0,1]$ ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer gegeben durch

$T_{1}(x)={\frac {x}{n}}$,

heißt seine Varianz (und damit auch sein mittlerer quadratischer Fehler) ist für alle $\vartheta$ kleiner als die jedes weiteren erwartungstreuen Schätzers. Der Schätzer

$T_{2}={\frac {x+1}{n+2}}$

ist nicht erwartungstreu und folglich verzerrt, besitzt aber für Werte von $\vartheta$ nahe an $0{,}5$ einen geringeren mittleren quadratischen Fehler.

Es können also nicht immer Verzerrung und mittlerer quadratischer Fehler gleichzeitig minimiert werden, siehe auch Bias-Varianz-Dilemma.

Weblinks

• M.S. Nikulin: Biased estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
• Eric W. Weisstein: Estimator Bias. In: MathWorld. (englisch)

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.