Vogel-Fulcher-Tammann-Gleichung

Die Vogel-Fulcher-Tammann-Gleichung, auch Vogel-Fulcher-Tammann-Hesse-Gleichung oder Vogel-Fulcher-Gleichung (kurz: VF-Gleichung), wird bei der Herstellung und der Formgebung von Glaserzeugnissen zur Berechnung des Viskositätsverhaltens oberhalb der Transformationstemperatur benutzt. Eine genaue Beschreibung der Viskosität ist vor allem bei organischen Gläsern wie Polymeren relevant, da sie ein Maß für die Glastemperatur ist, bei der die Viskosität stark ansteigt.

Die VF-Gleichung beschreibt den Anstieg der Viskosität unterkühlter Flüssigkeiten, eine Berechnungsvorschrift ist in DIN ISO 7884-1 (Viskosität und Viskosimetrische Festpunkte) enthalten:

$\eta =\eta _{0}\cdot e^{\frac {B}{T-T_{\mathrm {VF} }}}$

mit

• temperaturunabhängigen Materialparametern $\eta _{0}$ und $B,$
• der Vogeltemperatur $T_{\mathrm {VF} }$, die ca. 50 °C unter der Glastemperatur liegt.

Die VF-Gleichung ist äquivalent zur Williams-Landel-Ferry-Gleichung, kurz WLF-Gleichung, mit der sie über das Zeit-Temperatur-Superpositionsprinzip verknüpft ist:

$\log(a_{T})=\log {\frac {\eta }{\eta _{0}}}=\log {\frac {\tau }{\tau _{0}}}=-{\frac {C_{1}\cdot (T-T_{0})}{C_{2}+(T-T_{0})}}$

(Zu beachten ist, dass $\eta _{0}$ hier eine andere Bedeutung und einen anderen Wert hat als in der VF-Gleichung.)

In dieser Darstellung ist

• $\log$ der dekadische Logarithmus
• $a_{T}$ der Verschiebungsfaktor zur Referenztemperatur $T_{0},$
• $\tau$ die Relaxationszeit der $\alpha$-Relaxation, die typischerweise am Glasübergang stattfindet.
• $C_{1}$ und $C_{2}$ sind Konstanten, die für viele polymere Glasbildner im Bereich von $C_{1}\approx 17$ und $C_{2}\approx 51$ liegen, wenn als Referenztemperatur die Glastemperatur gewählt wird.

Die Äquivalenz mit der WLF-Gleichung ergibt sich mit

$T_{\mathrm {VF} }=T_{0}-C_{2}$

und

$B=C_{1}C_{2}\ln 10$

Literatur

• H. Vogel: “Das Temperaturabhaengigkeitsgesetz der Viskositaet von Fluessigkeiten”. Physikalische Zeitschrift, Vol. 22, 1921, p. 645.
• Gordon S. Fulcher (1925): "Analysis of recent measurements of the viscosity of glasses", Journal of the American Ceramic Society 8 pp. 339–355.
• G. Tammann, W. Hesse (1926): "Die Abhängigkeit der Viscosität von der Temperatur bei unterkühlten Flüssigkeiten", Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie 156 pp. 245–257.
• L. S. Garca-Coln, L. F. del Castillo, and Patricia Goldstein (1989): Theoretical basis for the Vogel-Fulcher-Tammann equation. Phys. Rev. B 40, 7040.