Weg (Graphentheorie)

Ein Graph der einen Weg mit den Knoten B,C,F enthält, sowie die Kantenfolge D,{D,E},E,{E,B},B,{B,A},A,{A,E},E,{E,F},F

In der Graphentheorie bezeichnet Weg, Pfad, Kantenzug oder Kantenfolge eine Folge von Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind.

Definitionen

Weg

Ein nicht-leerer Graph $W$, mit der Knotenmenge $\{x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}$ und der Kantenmenge $\{\{x_{1},x_{2}\},\{x_{2},x_{3}\},\dotsc ,\{x_{n-1},x_{n}\}\}$, heißt Weg, wenn die Knoten $x_{i}$ paarweise verschieden sind. Oft wird ein Weg der Einfachheit halber durch die Folge seiner Knoten $x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ angegeben. Hierbei gilt es, zu beachten, dass auch die gespiegelte Folge $x_{n},x_{n-1},\dotsc ,x_{1}$ diesen Weg benennt. Nach dieser Definition besitzen Wege keine ausgezeichnete Richtung. Die Knoten $x_{1}$ und $x_{n}$ nennt man die Endknoten des Weges. Knoten, die keine Endknoten sind, nennt man auch innere Knoten.

Im sprachlichen Gebrauch wird oft der Ausdruck verwendet, ein Graph enthält einen Weg $W$. Damit bezieht man sich darauf, dass der Weg $W$ ein Teilgraph des Graphen ist. Je nach Kontext kann man den Begriff Weg anpassen, zum Beispiel für gerichtete Graphen. Hier müssen alle aufeinander folgenden Knoten $x_{i}$ und $x_{i+1}$ durch eine gerichtete Kante $(x_{i},x_{i+1})$ verbunden sein. In diesem Falle gibt ein Weg immer auch eine Richtung an.

Der Begriff des Weges wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Die angegebene Definition folgt im Wesentlichen den Büchern von Diestel und Lovász. In unmissverständlichen Zusammenhängen - und vor Allem im Falle der schlichten Graphen - wird in der graphentheoretischen Fachliteratur ein Weg auch direkt über die Folge der benachbarten Knoten angegeben, so etwa bei Aigner und Kőnig. Gelegentlich wird auch der Begriff Pfad für einen Weg verwendet (Steger), wohl deshalb, weil in der englischsprachigen Literatur Weg als path, teilweise aber auch als simple path bezeichnet wird.

Ein Weg, bei dem der Start- mit dem Endknoten identisch ist, und dies der einzige wiederholte Knoten in der Knotenfolge ist, heißt Zyklus oder Kreis.

Kantenzug, Kantenfolge, Bahn

In einem (gerichteten) Graphen nennt man eine Folge $x_{1},e_{1},x_{2},e_{2},\dotsc ,e_{n-1},x_{n}$, in der sich Knoten und Kanten des Graphen abwechseln und für die gilt, dass für $i=1,\dotsc ,n-1$ die Kante $e_{i}$ die Form $\{x_{i},x_{i+1}\}$ hat, einen Kantenzug des Graphen. Des Weiteren können sich Kanten und Knoten innerhalb eines Kantenzuges wiederholen. Ein Kantenzug von $x_{1}$ nach $x_{n}$ impliziert die Existenz eines Pfades mit den Endknoten $x_{1}$ und $x_{n}$. Kantenzüge bei denen der erste und der letzte Knoten übereinstimmen heißen geschlossen.

Ein besonderes Interesse gilt solchen Kantenzügen, die geschlossenen sind und in denen jede Kante des Graphen genau einmal auftritt. Einen solchen Kantenzug nennt man nach Leonhard Euler eulersch oder einfach einen Eulerzug oder auch eine eulersche Linie. Die Existenz solcher wurde von Euler im Zusammenhang mit der Lösung des Königsberger Brückenproblems (1736) untersucht, welches als eines der Initialprobleme der Graphentheorie gilt.

Auch der Begriff des Kantenzuges wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Die hier angegebene Definition orientiert sich an den Büchern von Diestel und Lovász u.a. Aigner und Kőnig sprechen in ihren Büchern hingegen von Kantenfolgen. Kőnig benutzt den Begriff Kantenzug, um deutlich zu machen, dass sich keine Kanten wiederholen. Mitunter wird auch der Begriff Weg für Kantenzug benutzt (Steger). Auch in der englischsprachigen Literatur wird der Begriff nicht einheitlich benutzt, er wird gelegentlich mit walk bezeichnet, mitunter aber auch als path bezeichnet.

Bei Rudolf Halin wird für gerichtete Graphen eine Kantenfolge (im hiesigen Sinne), bei der kein Knoten und keine Kante mehr als einmal auftreten, auch als Kantenzug oder kürzer als Bahn bezeichnet. Horst Sachs dagegen nennt eine solche eine elementare Bahn.

A-B-Weg, v-w-Weg, a-B-Fächer

Sind $A$ und $B$ Teilmengen von der Knotenmenge $V$ eines Graphen, so bezeichnet man einen Weg als $A$-$B$-Weg, falls einer seiner Endknoten in $A$ und der andere in $B$ liegt. Statt von einem $\{v\}$-$\{w\}$-Weg spricht man auch von einem $v$-$w$-Weg. Eine Menge von $a$-$B$-Wegen nennt man einen $a$-$B$-Fächer, wenn die Wege paarweise nur den Knoten $a$ gemeinsam haben.

Disjunkte Wege

Zwei Wege $W_{1}=v_{1},\dotsc ,v_{k}$ und $W_{2}=u_{1},\dotsc ,u_{l}$ in einem Graphen heißen kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder einfach nur disjunkt, wenn es kein Paar $(i,j)$ mit $i$ aus $\{2,\dotsc ,k-1\}$ und $j$ aus $\{2,\dotsc ,l-1\}$ gibt, für das $v_{i}=u_{j}$ ist, sie also keine inneren Knoten gemeinsam haben.

Eine Menge von Wegen nennt man kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder disjunkt, wenn die Wege paarweise disjunkt sind.

Eine Menge disjunkter Wege in einem Graphen mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten des Graphen auf einem dieser Wege liegt, heißt Wegüberdeckung des Graphen.

Länge und Abstand

In Graphen ohne Gewichte auf den Kanten bezeichnet man mit der Länge eines Weges oder Kantenzuges die Anzahl seiner Kanten. In kantengewichteten Graphen bezeichnet man als Länge eines Weges die Summe der Kantengewichte aller zugehörigen Kanten. Die Länge des längsten Weges in einem Graphen nennt man Umfang des Graphen.

Als einen kürzesten Weg von einem Knoten $s$ zu einem Knoten $t$ in einem Graphen bezeichnet man einen Weg von $s$ nach $t$, dessen Länge minimal ist. Die Länge eines kürzesten Weges nennt man dann Abstand oder Distanz von $s$ nach $t$. Die Exzentrizität eines Knotens $s$ ist der maximale Abstand zu allen anderen Knoten $t$ des Graphen. Der Rand eines Graphens ist die Menge der Knoten mit maximaler Exzentrizität. Man beachte, dass in gerichteten Graphen der Abstand von der Richtung des Weges abhängt. Insbesondere kann es sein, dass nur in eine Richtung ein gerichteter Weg existiert.

Den größten Abstand zwischen zwei Knoten in einem Graphen $G$ nennt man den Durchmesser $D(G)$ des Graphen. Der Durchmesser ist damit das Maximum aller Exzentrizitäten der Knoten in $G$. Der Radius $R(G)$ eines Graphen ist das Minimum der Exzentrizitäten seiner Knoten. Für alle Graphen $G$ gilt

$R(G)\leq D(G)\leq 2\cdot R(G)$.

Die Knoten, deren Exzentrizität dem Radius entsprechen, bilden das Zentrum des Graphen.

Distanzgraph

Der Distanzgraph zu einem Graphen $G=(V,E)$ bezeichnet den vollständigen (das heißt je zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden, ggf. in gerichteten Graphen in beide Richtungen, wobei es aber keine Schleifen gibt) kantengewichteten Graphen auf der Knotenmenge $V$, der jeder Kante als Kantengewicht den Abstand zwischen den beiden Knoten in $G$ zuordnet.

Literatur

• Reinhard Diestel: Graphentheorie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (und weitere) 2006, ISBN 978-3-540-21391-8.
• Rudolf Halin: Graphentheorie I. 138, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1980, ISBN 3-534-06767-3. MR0586234
• Dénes König; H. Sachs (Hrsg.): Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Mit einer Abhandlung von L. Euler. 6, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1986, ISBN 3-211-95830-4.
• Horst Sachs: Einführung in die Theorie der endlichen Graphen. Carl Hanser Verlag, München 1971, ISBN 3-446-11463-7. MR0345857
• Klaus Wagner: Graphentheorie. 248/248a, Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4. MR0282850