Approximation

Approximation (lat.: proximus, „der Nächste“) ist zunächst ein Synonym für Näherung; der Begriff wird in der Mathematik allerdings noch präzisiert.

Es gibt vor allem zwei Gründe in der Mathematik, Näherungen zu untersuchen: Einmal könnte das Objekt des Interesses nur implizit, also als Lösung einer Gleichung gegeben sein. Ist die Gleichung schwer zu lösen, will man auf einfacherem Wege eine Näherung der Lösung finden. Auf der anderen Seite kann ein explizit gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar sein. Dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.

Beide Szenarien treten besonders häufig in der numerischen Mathematik auf, und so ist die Approximationstheorie ein elementares Teilgebiet beziehungsweise Hilfsmittel dieser Disziplin, da sie computergestützte Lösungsverfahren beschleunigen oder erst möglich machen kann.

Arten der Approximation

Zahlen

• Näherungswert

Die alltäglichsten Formen der Approximation sind die Darstellung einer irrationalen Zahl als eine Zahl mit einer endlichen Anzahl an Nachkommastellen sowie das Runden einer Zahl auf eine Zahl mit weniger Nachkommastellen. Zum Beispiel:

${\sqrt {2}}\approx 1{,}41421356\approx 1{,}41$

Computer arbeiten fast ausschließlich mit Gleitkommazahlen nach dem Standard IEEE 754, bei dem Zahlen mit endlich vielen Stellen dargestellt werden, was bei irrationalen Zahlen und periodischen Brüchen in jedem Fall eine Rundung erfordert. Die Genauigkeit der Darstellung im Computer wird dabei durch den Datentyp festgelegt.

Mit der Approximation irrationaler Zahlen durch rationale beschäftigt sich die Theorie der diophantischen Approximation.

Geometrische Objekte

In der Geometrie lassen sich komplizierte Objekte oft durch Polygone nähern. So berechnete zum Beispiel Archimedes eine Näherung für die Kreiszahl π, indem er einen Kreis durch regelmäßige Polygone mit immer mehr Ecken annäherte.

In der Physik wird die Form der Erde oft als eine Kugel angenommen, da sich dadurch ihre Gravitationswirkung leichter berechnen lässt als bei ihrer realen Form – der eines Geoids.

Funktionen

Von besonderem Interesse ist die Näherung von Funktionen, beispielsweise für Näherungslösungen nicht exakt lösbarer Differentialgleichungen. Die häufigste Form ist die Approximation mit Polynomen, welche einfach ableitbar, integrierbar und ausrechenbar sind. Das verbreitetste Verfahren dazu ist die Entwicklung in eine Taylorreihe. Periodische Funktionen lassen sich in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen entwickeln. Dieses Verfahren heißt Fourieranalyse.

Das theoretische Grundgerüst dieser Näherungen schuf Karl Weierstraß mit seinem Approximationssatz, der besagt, dass jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome, und jede periodische stetige Funktion beliebig genau durch trigonometrische Funktionen angenähert werden kann.

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der Norm. Diese dient dazu, verschiedene Approximationen quantitativ zu vergleichen. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedene Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und eine wichtige Aufgabe der Approximationstheorie.

Klassische Beispiele sind hier zum einen die Tschebyschow-Approximation, bei der stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der Supremumsnorm approximiert werden, sowie die $L^{p}$-Approximation, bei der L^p-Funktionen bezüglich der $L^{p}$-Norm approximiert werden.

Ein Beispiel für die Näherung von Funktionen ist die Kleinwinkelnäherung, bei der die Sinusfunktion durch ihren Winkel und die Kosinusfunktion durch die Konstante 1 ersetzt wird. Sie ist bei kleinen Winkeln gültig und wird zum Beispiel zur Lösung des mathematischen Pendels angewendet.

Ordnung der Approximation

Ein Maß für die Güte der Approximation einer Funktion ist die Ordnung. Eine Approximation n-ter Ordnung ist eine solche, bei der der Fehler von der Größenordnung ${\mathcal {O}}(x^{n})$ ist. Eine Näherung erster Ordnung wird lineare Approximation genannt, eine Näherung zweiter Ordnung quadratische Approximation.

In der Physik ist oft die lineare Näherung ausreichend, da sie meistens den größten Einfluss besitzt. Terme höherer Ordnung sind etwa dann von Bedeutung, wenn lineare Effekte unterdrückt sind, wie zum Beispiel bei der nichtlinearen Optik.

Wichtige Approximationssätze

Zahlentheorie

• Dirichletscher Approximationssatz
• Satz von Hurwitz
• Approximationssatz von Kronecker
• Approximationssatz von Liouville
• Satz von Thue-Siegel-Roth
• Näherungssatz für p-adische Zahlen

Approximationstheorie

• Approximationssatz von Korowkin
• Approximationssatz von Müntz
• Satz von Stone-Weierstraß
• Approximationssatz von Runge
• Approximationssatz für lokalkonvexe Räume

Theoretische Informatik

Auch in der theoretischen Informatik spielen Approximationen eine Rolle. Es gibt NP-vollständige Optimierungsprobleme, bei denen es nicht möglich ist, eine exakte Lösung effizient zu berechnen. Man kann hier Approximationsalgorithmen verwenden, um eine Annäherung zu berechnen. Ein Beispiel ist das Rucksackproblem, bei dem es ab einer gewissen Problemgröße sehr viel Rechenaufwand braucht, eine optimale Lösung zu berechnen, wo aber gute Approximationsalgorithmen existieren, mit denen man effizient approximative Lösungen berechnen kann.

Literatur

• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6.
• Manfred W. Müller: Approximationstheorie. Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1.
• M. J. D. Powell: Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1981, ISBN 0-521-22472-1.
• R. Schaback: Numerische Approximation. (PDF; 7,3 MB) In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 88, Nr. 2, 1986, ISSN 0012-0456, S. 51–81.