Balkentheorie

Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung, insbesondere seine Biegung als Folge eines belastenden Biegemomentes. Sie ist ein Teilgebiet der technischen Mechanik, speziell der Festigkeitslehre, der Elastizitätslehre und der Statik. Häufig spricht man auch von der Biegetheorie des Balkens.

Sie wird in den Ingenieurwissenschaften Bauingenieurwesen und Maschinenbau entwickelt und angewendet.

Neben der Biegung bzw. der Biegelinie werden auch Längs- (Dehnen/Stauchen) und Quer- (Scherung, Torsion) Verformungen untersucht. Die Ausgangsgrößen sind neben dem Biegemoment auch Längs- und Querkräfte und Torsionsmomente, die Geometrie (evtl. über Länge veränderlicher Querschnitt, Lager-Stellen und -Art) und der Werkstoff (Elastizität und Grenzfestigkeit) des Balkens.

Die Balkentheorie wurde im Laufe der Zeit schrittweise von der sogenannten Theorie erster bis zur sogenannten Theorie dritter Ordnung verfeinert. Der Biegevorgang wurde dabei immer besser modelliert, die Handhabung der Theorie aber aufwändiger. In den meisten Anwendungen werden mit der Klassischen Biegelehre (Theorie erster Ordnung) ausreichend genaue Ergebnisse errechnet.

Klassische Biegetheorie des Balkens (Theorie erster Ordnung)

Die Klassische Theorie deckt sich im Wesentlichen mit der Theorie erster Ordnung, wobei mit Gleichgewichtsbedingungen in Querschnittsflächen des unverformten Balkens gearbeitet wird. Es wird nicht beachtet, dass diese sich durch die Verformung ändern.

Geschichte

Nach vorherigen vorwiegend gedanklichen Experimenten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begründet. Mit den Arbeiten von Claude Louis Marie Henri Navier wurde ein vorläufiger, klassische Balkentheorie genannter Abschluss erreicht.

„Väter“ der klassischen Biegetheorie von Leonardo da Vinci bis Navier:

• Leonardo da Vinci (1452–1519) – Zugversuche an Drähten
• Galileo Galilei (1564–1642) – Discorsi e Dimonstrazioni, atttenti alla Mecanica & Movimente locali: Zugfestigkeit von Marmorsäulen, Seilen und Drähten (erster Tag), Betrachtungen zur Bruchfestigkeit von Balken (zweiter Tag)
• Edme Mariotte (1620–1684) – Lineare Verteilung der Faserdehnungen über Querschnitt, neutrale Faser in halber Höhe des doppeltsymmetrischen Balkenquerschnitts
• Robert Hooke (1635–1703) – Proportionalität zwischen Dehnung und Spannung (Hookesches Gesetz)
• Isaac Newton (1643–1727) – Gleichgewicht der Kräfte, Infinitesimalrechnung
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – Infinitesimalrechnung, Widerstandsmoment
• Jakob Bernoulli (1655–1705) – Annahmen, die die Theorie vereinfachen: ebene und zur Balkenachse senkrechte Querschnittsfläche ist auch nach der Biegung eben und zur Balkenachse senkrecht
• Leonhard Euler (1707–1783) – erster Versuch zur Behandlung eines statisch unbestimmten Systems (vierbeiniger Tisch), Untersuchung des Knickens von Stäben (Theorie zweiter Ordnung)
• Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) – erste durch die Infinitesimalrechnung zusammenhängende Darstellung der Balken-, Gewölbe- und Erddrucktheorie; Baustatik wird „wissenschaftlicher Gegenstand“
• Johann Albert Eytelwein (1764–1849) – Lösung statisch unbestimmter Systeme: Durchlaufträger
• Claude Louis Marie Henri Navier (1785–1836) – seine Arbeiten stellen die „Konstituierungsphase der Baustatik“ dar; er führt in seiner Technischen Biegetheorie die mathematisch-mechanische Analyse der elastischen Linie (Bernoulli, Euler) und die vornehmlich ingenieurmäßig orientierte Balkenstatik zusammen;
• Georg Rebhann (1824–1892) – gab 1856 Formeln für den Biegespannungsnachweis von einfachsymmetrischen Querschnitten an.

Voraussetzungen: die Bernoullischen Annahmen

Inhalt der Bernoullischen Annahmen ist:

1. Der Balken ist schlank: seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.
2. Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
3. Querschnitte bleiben auch nach der Deformation in sich eben.

Ein solcher Balken wird auch Euler-Bernoulli-Balken genannt.

Wenn die Annahmen/Folgen 2. u. 3. nicht zutreffen, liegt z.B. ein Balken vor, der unter dem Stichwort Timoshenko-Balken mit einer Theorie höherer Ordnung behandelt wird.

Bei Belastung in Längsrichtung spricht man von einem Stab, dessen Versagen durch seitliches Ausknicken (Knickstab) nicht klassisch sondern nur mit einer Theorie höherer Ordnung behandelt werden kann.

Biegung eines geraden Balkens

• Der Balken habe über seine ganze Länge konstanten Querschnitt.

Biegelinie des Balkens

Die Durchbiegung (Auslenkung)  $w$  des Balkens an seiner Stelle  $x$  ist mit folgender linearen Differentialgleichung beschreibbar:

$w''(x)=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}\ .$

Sie ist abhängig von der Belastung durch das Biegemoment  $M_{y}(x)$  , dem Flächenträgheitsmoment  $I_{y}$  des Balkenquerschnitts und dem Elastizitätsmodul  $E$  des Balkenmaterials (Index  $_{y}$ : Biegung um die Querachse y). Durch die erste Integration folgt die Neigung  $w'$  der Biegelinie aus ihrer Krümmung  $w''$ :

$w'(x)=-{\int M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1} \over EI_{y}}\ .$

Bei der zweiten Integration entsteht aus der Neigung der Biegelinie ihre Auslenkung  $w$:

$w(x)=-{\int \int (M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1})\mathrm {d} x+C_{2} \over EI_{y}}\ .$

Balken auf 2 Stützen, mittige Kraft-Belastung P (blau: Biegelinie)

Im Beispiel eines an seinen beiden Enden aufliegender Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehendes Bild) hat der Verlauf des Biegemomentes eine Knickstelle. Die Integration ist für den linken und den rechten Balkenteil getrennt durchzuführen. Der Zusammenschluss der beiden Ergebnisse zur stetig verlaufenden Biegelinie ergibt sich daraus, dass dort sowohl ihre Neigung als auch ihre Auslenkung für beide Teile gleich ist. Im Beispiel liegt Symmetrie vor. Die Integration z.B. der Diffentialgleichung für die linke Hälfte genügt. Diese Hälfte lässt sich auch als in der Mitte eingespannter und am anderen Ende mit der Kraft  $P/2$  belasteter Kragbalken ansehen.

Für  $x\leq L/2$  gelten:

$M(x)=Px/2\ ,$

$w'(x)=-{Px^{2}/4+C_{1} \over EI_{y}}\ ,$                                          bei  $x=L/2$  ist die Neigung  $w'$  gleich Null     →     $C_{1}=PL^{2}/16\ ,$

$w(x)=-{Px^{3}/12-P\cdot L^{2}x/16+C_{2} \over EI_{y}}\ ,$         bei  $x=0$  ist die Auslenkung  $w$  gleich Null     →     $C_{2}=0\ ,$

$w(x)={P(L^{2}x/16-x^{3}/12) \over EI_{y}}$,                               bei  $x=L/2$  ist die Auslenkung  $w$  gleich  ${P\cdot L^{3} \over 48\cdot EI_{y}}\ .$

Biegespannung $\sigma _{B}$ im Balkenquerschnitt

Balkenausschnitte, gebogen unter Biegemoment-Belastungen M

Beim Biegen eines Balkens werden seine äußeren Längsfasern (vorne im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild) gedehnt und seine inneren gestaucht (hinten im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild). In den äußeren Fasern entstehen Zugspannungen, in den inneren Druckspannungen. Der Spannungsverlauf von den außen maximalen Zug- zu den innen maximalen Druckspannungen ist linear:

$\sigma _{B}(z)={M_{y} \over I_{y}}\cdot z\ .$

Bei relativ kleiner Biegung befindet sich die neutrale (spannungsfreie) Faser in der Mitte der Balkenhöhe. Die Zug- und die Druckspannungen in einer Querschnittsfläche sind betragsmäßig gleich groß. Am Außen- und am Innenrand gilt mit  $z=z_{R}$ :

$\sigma _{B}(z_{R})=\pm {M_{y} \over I_{y}}z_{R}=\pm {M_{y} \over W_{y}}\ .$

Die an den Rändern auftretenden größten Spannungen sind für die Aussage, ob der Balken die vorliegende Biegebeanspruchung aushält, heranzuziehen. Sie werden mit der gerade zum Versagen führenden Bruchfestigkeit verglichen. Obige Gleichung wird verkürzt und zusammengefasst so geschrieben:

$\sigma _{B}={M_{y} \over W_{y}}\ ,$                                                                       sie enthält mit  $W_{y}={I_{y} \over z_{R}}$  das Widerstandsmoment der Balkenquerschnittsfläche.

Die Biegespannung ist dem Biegemoment proportional. Für die Aussage, ob der Balken die vorliegende Biegebeanspruchung aushält, ist die Biegespannung an der Stelle mit größtem Biegemoment zu betrachten. In obigem Beispiel ist das die Stelle unter der Last  $P$  mit  $M(x=L/2)=PL/4$ :

$\sigma _{B}={P\cdot L \over 4\cdot W_{y}}\ .$

Grundzüge der Theorie

Näherungsschritte

Allgemein unterscheidet man

• Balkentheorie Erster Ordnung: Es wird näherungsweise am unverformten Balken ein Balkenelement betrachtet und die Kräfte und Momente bilanziert. Sie genügt fast immer.
• Balkentheorie Zweiter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, jedoch wird das mathematische Modell linearisiert. Sie wird für Stabilitätsprobleme benötigt, sowie für große Durchbiegungen bei Neigungswinkeln bis ca. 20°.
• Balkentheorie Dritter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, und das mathematische Modell wird nicht linearisiert. Sie wird in Sonderfällen benötigt, bei sehr großen Durchbiegungen und Neigungswinkeln über ca. 20°.

Theorie Erster Ordnung: Statik

statisch bestimmt

Statisch bestimmt gelagerter Balken

Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die Auflagerkräfte und Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Statisch bestimmte Balken besitzen in Längsrichtung ein festes Auflager und ein längsbewegliches Auflager oder sind an einem Balkenende eingespannt. Als „fest“ bezeichnet man ein Auflager dann, wenn es horizontal und vertikal gehalten wird und somit Horizontal- und Vertikalkräfte übertragen kann. Ein bewegliches Auflager kann sich dagegen horizontal verschieben und somit keine Kräfte in dieser Richtung abtragen.

statisch unbestimmt (oder überbestimmt)

Statisch überbestimmt gelagerter Balken

Bei statisch unbestimmt gelagerten Balken sind zusätzlich zu den Gleichgewichtsbedingungen auch Verträglichkeitsbedingungen zu erfüllen, um die Auflagerkräfte und Schnittgrößen bestimmen zu können. Statisch unbestimmte Balken besitzen beliebig viele Auflager oder Einspannungen.

Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der Gleichung der Biegelinie, einer linearen inhomogenen Differentialgleichung, berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ (in $y$-Richtung) und der Streckenlast (Gewicht pro Strecke) $q$ als Funktion der Koordinate $x$ entlang der Balkenachse her.

$(EI\,w''(x))''=q(x)$.

Biegesteifigkeit und Biegespannung

Die Biegesteifigkeit gibt an, wie groß das Biegemoment im Verhältnis zur Krümmung ist. Für homogene Querschnitte ergibt sie sich als Produkt $EI$ aus dem Elastizitätsmodul $E$ des Materials und dem geometrischen Flächenträgheitsmoment $I$ des gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als

$I=\int \int y^{2}{\rm {d}}y{\rm {d}}z$.

Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt $h\cdot b$ (in $y$- respektive $z$-Richtung) ist

$I={h^{3}b \over 12}$.

Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen.

Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich

Biegemoment:

$M(x)=-EI\,w''(x)$

Querkraft:

$Q(x)=-(EI(x)\,w''(x))'$

Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser:

$\sigma _{B}(z)={\frac {M}{I}}z$

Darin ist $I$ das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert $I/z$ beim maximalen $z$ (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment $W$. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu $I/h=bh^{2}$.

Verbiegung (stark überhöht) eines gleichmäßig belasteten Balkens für verschiedene Auflagerpositionen; blau: Lagerung in den Bessel-Punkten

Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Hauptträgheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, kann es sich auch nach vorn oder hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse biegt sich ein Balken in Richtung der Belastung und nicht quer dazu.

Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung $q(x)$=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.

Die Biegespannung im Besonderen beschreibt die Kraft, welche auf den Querschnitt (z. B. eines Balkens) wirkt, der senkrecht zu seiner Ausdehnungsrichtung belastet wird.

Die Normalspannung im Balkenquerschnitt ist:

$\sigma \,={\frac {M}{I}}\cdot z$

Ist das Moment positiv, treten für $z$ > 0 Zug- und für $z$ < 0 Druckspannungen auf. Die betragsmäßig größte Spannung tritt demnach in der äußersten Faser $z_{\mathrm {max} }$ auf.

Das Widerstandsmoment $W$ gibt das Entgegenwirken zur Spannung $\sigma \,$ an

$W={\frac {I}{|z|_{\mathrm {max} }}}$

Dabei beschreibt $I$ das Flächenträgheitsmoment. Für die maximale Biegespannung ergibt sich:

$\sigma _{\mathrm {max} }={\frac {M}{W}}$

Je größer das Widerstandsmoment, desto kleiner ist somit die Biegespannung.

Theorie Erster Ordnung: Dynamik

Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung

$(EI(x)\,w''(x,t))''+b\,{\dot {w}}(x,t)+m\,{\ddot {w}}(x,t)=q(x,t)$

Das Problem hängt hier nicht nur vom Ort $x$, sondern zusätzlich von der Zeit $t$ ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nämlich die Massenverteilung $m$ und die Strukturdämpfung $b$. Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet $m$ auch die hydrodynamische Masse, und in $b$ kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.

Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab

Während bisher die Kräfte und Momente näherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von Knickstäben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung

$(EI(x)\,w''(x))''+(N\,w'(x))'=q(x)$

und zwar im einfachsten Fall mit $q=0$. Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft $N$, die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht überschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.

Theorie Dritter Ordnung

Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z. B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. Ein sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum Meeresboden herunter, ist gekrümmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier

$EI\,\varphi ''(s)-H\,\sin \varphi (s)+(ws-V)\cos \varphi (s)=0$

Die Koordinate heißt hier nicht mehr $x$, sondern $s$. Das ist die Bogenlänge entlang der Pipeline. $H$ ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsackt und bricht. Der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt und sie unter Zugbelastung hält. $w$ ist das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. $V$ ist eine Rechengröße, die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den Neigungswinkel $\varphi$ beschrieben, der mit der Horizontalkoordinate $x(s)$ und der Vertikalkoordinate $z(s)$ in folgendem Zusammenhang steht:

$\partial x(s)/\partial s=\cos \varphi (s)\quad \quad \quad \partial z(s)/\partial s=\sin \varphi (s)$

Literatur

• D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Band 1–3, Springer, Berlin 2006 / 2007, DNB 550703683.
• István Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8.
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-28904-X.

Siehe auch

• Scheibentheorie
• Plattentheorie
• Biegung (Mechanik)