Dimensionslose Größe

Eine dimensionslose Größe ist eine physikalische Größe, die durch eine reine Zahl ohne Maßeinheit angegeben werden kann. Auch für solche Größen werden gelegentlich der Deutlichkeit wegen Einheiten verwendet, siehe Hilfsmaßeinheiten.

In ISO 80000 wird die Benennung „dimensionslose Größe“ als „veraltet“ bezeichnet. Empfohlen wird stattdessen die Bezeichnung „Größe der Dimension Zahl“.

Der hier mit Dimension gemeinte Begriff ist im Sinne von Dimension (Größensystem) wie etwa „Länge“ zu verstehen, nicht im Sinne von Dimension (Mathematik) wie etwa in „dreidimensionaler Raum“.

Beispiele

Beispiele für Größen der Dimension Zahl sind:

• Anzahlen, auch wenn sie in einem Zählmaß wie beispielsweise Dutzend angegeben sind
• dimensionslose Kennzahlen (auch als Kenngrößen bezeichnet) wie die Mach-Zahl oder Reynolds-Zahl
• ebene Winkel und Raumwinkel (SI-Hilfsmaßeinheit Radiant bzw. Steradiant)
• Verhältniszahlen, d. h. Quotienten aus zwei dimensionsgleichen Größen, also bezogene Größen, deren Bezug jeweils von derselben Größenart ist. Beispiele sind Wirkungsgrad oder numerische Exzentrizität von Kegelschnitten. Verhältniszahlen werden oft in Verhältniseinheiten wie Prozent, Promille, ppm angegeben
• logarithmierte Verhältniszahlen wie Bel, Neper, Phon
• Quantenzahlen
• Wahrscheinlichkeiten

Eine dimensionslose Naturkonstante ist die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante, die sich aus elektrischer Elementarladung, Planckschem Wirkungsquantum und der Lichtgeschwindigkeit zusammensetzt. Ihr Wert beträgt etwa 1/137.

Benennung

Nach DIN 5485 Benennungsgrundsätze für physikalische Größen; Wortzusammensetzungen mit Eigenschafts- und Grundwörtern, die Regeln zur Neubenennung von physikalischen Größen enthält, für die noch kein Name vorliegt, ist für dimensionslose Größen vorgesehen:

• -anteil
• -beiwert
• -faktor
• -grad
• -quote
• -verhältnis
• -zahl

Historische Benennungen dimensionsloser Größen enthalten auch die Endungen -modul oder -index. Für den Brechungsindex ist inzwischen ist auch „Brechzahl“ gebräuchlich.

An der Endung -koeffizient erkennt man die Dimension nicht, so ist der Reibungskoeffizient dimensionslos, aber der Wärmeausdehnungskoeffizient hat die Dimension „pro Kelvin“.

Theoretischer Hintergrund

In der Metrologie hat eine Größe die Dimension Zahl, wenn sie keiner Dimension des jeweils gewählten Größensystems zugeordnet ist. Dies zeigt sich z. B. daran, dass bei der Darstellung der entsprechenden Dimension als Potenzprodukt aus den Basisdimensionen jeder Dimensionsexponent null ist. Dass eine Größe keiner Dimension angehört, kann prinzipiell drei Gründe haben:

1. sie ist der Quotient zweier Größen derselben Dimension
2. sie ist eine Zahl, aber nicht Quotient zweier Größen derselben Dimension
3. sie wurde noch nicht per Definition einer Dimension zugeordnet

Beispiel: In einem Größensystem mit nur den zwei Basisdimensionen Länge $L$ und Masse $M$ hat die Länge die Dimension $L^{1}\cdot M^{0}=L$.

1. Eine Größe, die als Quotient aus zwei Größen der Dimension $L$ definiert ist, hat dann immer die Dimension $L/L=1$.
2. Eine Zeitspanne hätte dann zunächst die Dimension $L^{0}\cdot M^{0}=1$. Durch eine zusätzliche Definition könnte sie jedoch dimensionsbehaftet gemacht werden, z. B. durch Zuordnung zur Dimension $L^{3}$ oder zu einer neu eingeführten Basisdimension Zeit $T$.

Grundsätzlich hängt es von der für ein Größensystem gewählten Basis ab, welche abgeleiteten Größen welche Dimension haben, und somit auch, welche Größen (außer den Quotienten dimensionsgleicher Größen) die Dimension Zahl haben. So sind in elektrostatischen cgs-Systemen elektrische Kapazität und Länge von gleicher Dimension. Jeder Quotient dieser Größen erhält daher die Dimension der Zahl Eins.

Da man gemäß der Relativitätstheorie Zeit und Länge als ein und dieselbe Größenart ansehen kann, lässt sich auch die Geschwindigkeit als dimensionslose Verhältnisgröße betrachten. Dies geschieht in System der Natürlichen Einheiten, das in manchen Teilgebieten der Physik zum Einsatz kommt. Im Internationalen Einheitensystem (SI) sind dagegen Zeit und Länge getrennte Basisgrößen, und die Geschwindigkeit als ihr Quotient hat die Einheit $\mathrm {m/s}$.

Siehe auch

• Dimensionsanalyse
• Entdimensionalisierung

Literatur

• The International System of Units. SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. Mai 2006. (weblink PDF/Onlineversion) – insbesondere Kapitel 2.2.3 Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one