Physikalische Größe

Messschieber zur Messung der Länge, Maßeinheit: Millimeter

Balkenwaage zur Messung der Masse, Maßeinheit: Kilogramm, durch Vergleich ihres Gewichts mit demjenigen von bekannten Gewichtsstücken

Stoppuhr zur Messung der Zeit, Maßeinheit: Sekunde

Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes, Vorgangs oder Zustands. Ihr Wert (Größenwert) wird als Produkt aus einem Zahlenwert (der Maßzahl) und einer Maßeinheit angegeben.

Vektorgrößen werden durch Größenwert und Richtung angegeben. Der Begriff physikalische Größe im heutigen Verständnis wurde von Julius Wallot eingeführt und setzte sich ab 1930 langsam durch. Das führte zu einer begrifflich klaren Unterscheidung von Größengleichungen, Zahlenwertgleichungen und zugeschnittenen Größengleichungen.

Eine Größengleichung ist die mathematische Darstellung eines physikalischen Gesetzes, das Zustände und deren Änderungen in einem physikalischen System beschreibt. Sie stellt den dabei geltenden Zusammenhang zwischen verschiedenen physikalischen Größen in der Regel mittels eines Formelzeichens für jede dieser Größen dar. Größengleichungen sind unabhängig von Maßeinheiten für die in ihnen enthaltenen physikalischen Größen.

Diejenigen physikalischen Größen, die als Basis eines Größensystems festgelegt sind, heißen Basisgrößen.

Grundlagen

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Ein Vergleich von zwei Dingen erfordert stets ein Kriterium, anhand dessen der Vergleich stattfindet (tertium comparationis). Dies muss ein Merkmal (oder Eigenschaft) sein, das beiden Dingen zu eigen ist. Als physikalische Größe bezeichnet man ein Merkmal dann, wenn dieses einen Wert besitzt, sodass das Verhältnis zweier Merkmalswerte ein reeller Zahlenfaktor (Verhältnisgröße) ist. Ein Vergleich anhand einer Größe ist somit quantifizierbar. Den Vergleichsvorgang zur Bestimmung des Zahlenfaktors bezeichnet man als Messung. Die Messbarkeit eines Merkmals, d. h. die Angabe einer eindeutigen und reproduzierbaren Messvorschrift für einen Vergleich, ist gleichwertig mit der Definition einer physikalischen Größe.

Alle Merkmale eines Objektes fallen in zwei Klassen, physikalische Größen und alle übrigen. Wie es der Name vermuten lässt, beschäftigt sich die Physik ausschließlich mit der erstgenannten Klasse. Die Physik stellt allgemeine Zusammenhänge zwischen Größenwerten auf, also Zusammenhänge, die für alle Träger dieser Größe gelten. Als Träger bezeichnet man hierbei alle Objekte, die die betrachtete Größe als Merkmal besitzen. Physikalische Zusammenhänge sind somit unabhängig von der konkreten Beschaffenheit eines Trägers.

Die folgenden Abschnitte gehen auf einzelne Begriffe ein, die im Zusammenhang mit Größen verwendet werden.

Größenart

Strommesser zur Messung der Stromstärke, Maßeinheit: Ampere

Thermometer zur Messung der Temperatur, Maßeinheit: Grad Celsius

Wenn das Verhältnis von zwei Größenwerten verschiedener Größen eine reelle Zahl ist, so bezeichnet man diese Größen als Größen gleicher Dimension. Mit der Größenart wird versucht, den Begriff der Dimension weiter zu unterteilen. Nach dem Internationalen Wörterbuch der Metrologie (VIM), 3. Auflage 2010, ist Größenart oder Art einer Größe der „Aspekt, der untereinander vergleichbaren Größen gemeinsam ist“, und in einer Anmerkung heißt es: „Die Unterteilung des Oberbegriffs ‚Größe‘ nach der Größenart ist […] willkürlich“. Mit der Forderung nach Vergleichbarkeit ist hierbei also kein striktes Merkmal – etwa im Sinne mathematischer Ordnungsrelationen – gemeint, sondern es bleibt der Willkür überlassen, was als vergleichbar angesehen wird.

Beispielsweise sind Breite, Höhe und Länge eines Quaders, Durchmesser eines Rohrs, Spannweite eines Vogels, Wellenlänge usw. alles Größen der Größenart „Länge“. Sie können alle mit der Länge eines Meterstabs verglichen werden. Ob auch noch die Niederschlagshöhe, angegeben als Volumen/Fläche, als hierzu gleichartig betrachtet wird, bleibt der Betrachtungsweise der Anwender überlassen, obwohl sie leicht mit dem Zollstock messbar ist.

Andere Beispiele scheinen klarer. Obwohl Verbrauchsangaben von Kraftfahrzeugen in „Liter pro 100 Kilometer“ die Dimension einer Fläche haben, wird kaum jemand derartige Verbrauchsangaben und Flächen als gleichartige Größen betrachten, obwohl das möglich ist.

Größenwert

Der Wert einer physikalischen Größe (Größenwert) ist nach allgemein verbreiteter Auffassung das Produkt aus einer Zahl und der physikalischen Einheit, die der betreffenden Größenart zugeordnet ist. Das Verhältnis von zwei Größenwerten gleichartiger Größen ist eine reelle Zahl.

Sehr viel vorsichtiger wurde dieser Zusammenhang innerhalb des deutschen Normenwerkes in der ersten Ausgabe „Schreibweise physikalischer Gleichungen“ der DIN-Norm 1313 vom November 1931 dargestellt: Mit den in den physikalischen Gleichungen vorkommenden Formelzeichen kann so gerechnet werden, als ob sie die physikalischen „Größen“, d. h. benannte Zahlen bedeuteten. Sie werden dann zweckmäßigerweise als symbolische „Produkte“ aus den Zahlenwerten (Maßzahlen) und den Einheiten aufgefaßt gemäß der Gleichung

Physikalische Größe = Zahlenwert „mal“ Einheit.

Man bezeichnet einen Unterschied um den Faktor 10 zwischen Werten derselben Größe als eine Größenordnung. $n$ Größenordnungen entsprechen also einem Verhältnis von $10^{n}$.

Es gibt eine Reihe von Größen, deren Größenwerte unveränderlich feststehen. Diese nennt man Naturkonstante, Universalkonstante oder auch physikalische Konstante (Beispiele: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Elementarladung, Plancksche Konstante, Feinstrukturkonstante).

Zahlenwert und Einheit

Es ist zweckmäßig, das Verhältnis eines Größenwerts zu dem Wert einer gleichartigen, feststehenden und wohldefinierten Vergleichsgröße zu ermitteln. Den Vergleichsgrößenwert bezeichnet man als Maßeinheit oder kurz Einheit, das gemessene Verhältnis als Maßzahl oder Zahlenwert. Der Größenwert kann dann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden (siehe auch Abschnitt Schreibweise). Der Zahlenwert ist je nach Definition der Größe eine reelle Zahl – bei manchen Größen auf nicht negative Werte beschränkt – oder komplex; bei einigen dimensionslosen Größen wie z. B. manchen Quantenzahlen ist er immer ganzzahlig.

Die Definition einer Einheit unterliegt der menschlichen Willkür. Eine Möglichkeit besteht in der Wahl eines bestimmten Objekts – eines sogenannten Normals – als Träger der Größe, dessen Größenwert als Einheit dient. Eine andere Möglichkeit ist einen berechneten Größenwert zu nehmen, wofür allerdings ein geeigneter physikalischer Zusammenhang zu anderen Größenwerten bekannt sein muss (siehe auch Abschnitt Größengleichungen). Eine dritte Möglichkeit ist, den Wert einer physikalischen Konstanten als Einheit zu verwenden, sofern eine solche für die gewünschte Größe existiert.

Theoretisch ist es ausreichend, eine einzige Einheit für eine Größenart zu definieren. Historisch bedingt hat sich aber häufig eine Vielzahl verschiedener Einheiten für die gleiche Größenart gebildet. Diese unterscheiden sich wie alle gleichartigen Größenwerte lediglich um einen reinen Zahlenfaktor.

Skalare, Vektoren und höherstufige Tensoren

Größen verschiedener Stufen

Skalar	Masse, Temperatur
Pseudoskalar	Helizität
Vektor	Kraft
Pseudovektor	Drehmoment
Tensor 2-ter Stufe	Trägheitstensor
Tensor 3-ter Stufe	Piezoelektrischer Tensor
Tensor 4-ter Stufe	Elastizitätstensor

Bestimmte physikalische Größen besitzen eine Orientierung im physikalischen Raum, sodass der gemessene Größenwert von der Messrichtung abhängt. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs typischerweise entlang einer Straße gerichtet; die gemessene Geschwindigkeit senkrecht zu dieser ist Null. Allgemein lässt sich der Bezug jeder physikalischen Größe zum Raum als Tensor darstellen. Man unterscheidet dabei:

• Tensoren 0-ter Stufe oder Skalare: Dies sind alle Größen, die keine Richtungsabhängigkeit aufweisen, d. h. einzig durch ihren Größenwert bestimmt sind.
• Tensoren 1-ter Stufe oder Vektoren: Dies sind alle Größen, die durch ihren Größenwert (Betrag) und ihre Richtung vollständig bestimmt sind.
• Tensoren 2-ter Stufe: Dies sind Größen, die durch ihren Größenwert in zwei unabhängigen Richtungen bestimmt sind, mathematisch beschrieben etwa durch eine quadratische Form, $W=\{\sum V_{i}\cdot V_{k}\,\chi _{i,k}^{(W)}\}\,\cdot U$. Ein anschauliches Beispiel ist das Ursache-Vermittlungs-Wirkungs-Prinzip (Drei-Finger-Regel), etwa wenn die Ursache in eine Richtung und die Wirkung in eine andere Richtung zeigt. Die $\chi _{\dots }^{(W)}$ sind die Wirkung vermittelnde „verallgemeinerte Suszeptibilitäten“. Das vermittelnde System von „gerichteten Größenwerten“ ist dann ein Tensor 2-ter Stufe.
• Tensoren $n$-ter Stufe: Größen, die durch ihren Größenwert in $n$ unabhängigen Richtungen bestimmt sind und infolgedessen durch eine n-stufige Form beschrieben werden $(W=\{\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}\,V_{i_{1}}\cdot \ldots \cdot V_{i_{n}}\,\chi _{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{(W)}\}\,\cdot U\,).$

Der Tensorcharakter einer Größe wird von ihrem Größenwert getrennt. Vektoren beispielsweise lassen sich mathematisch als Produkt aus Größenwert (Betrag) und Richtungsvektor mit Betrag Eins darstellen. Tensoren zweiter Stufe sind z. B. der sog. Trägheitstensor, eine in der Mechanik rotierender Objekte auftretende Größe, oder der sog. Spannungstensor in der Elastizitätstheorie, von dem der Name „Tensor“ herrührt, E_Elast  (Elastische Energie)  $\,\,=\sum \sigma _{i,k}\epsilon _{i,k}\,,$ wobei die vorletzte Größe den Spannungstensor und die letzte den sog. Dehnungstensor beschreibt.

Höherstufige Tensoren sind mathematisch Objekte der Differentialgeometrie.

Eine physikalische Größe ist auch in diesem Fall invariant unter Koordinatentransformationen. So wie das System ihrer Größenwerte unabhängig von der Einheit ist, so ist die jeweilige Richtung unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems.

Tensoren haben unter Punktspiegelung ein für ihre Stufe charakteristisches Verhalten. So ändert sich eine skalarwertige Größe eines Objekts nicht, wenn man dieses Objekt an einem Punkt spiegelt. Eine vektorwertige Größe, wie etwa die Geschwindigkeit, zeigt nach der Punktspiegelung hingegen in die entgegengesetzte Richtung. Manche Größen verhalten sich zwar bei Drehung und Verschiebung wie Tensoren, weichen jedoch unter Punktspiegelung ab. Derartige Größen bezeichnet man als Pseudotensoren. Bei Pseudoskalaren ändert der Größenwert sein Vorzeichen. Bei Pseudovektoren wie etwa dem Drehimpuls dreht sich die Richtung durch eine Punktspiegelung des Objekts nicht  um.

Schreibweise

Die folgenden Erläuterungen orientieren sich an den nationalen und internationalen Regelungen von Normungsorganisationen und Fachgesellschaften (z. B. DIN 1338, ISO 31/XI, Empfehlungen der International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP)).

Formel- und Einheitenzeichen

Einer physikalischen Größe wird in mathematischen Gleichungen ein Schriftzeichen zugeordnet, das man Formelzeichen nennt. Dieses ist grundsätzlich willkürlich, jedoch existieren eine Reihe von Konventionen (z. B. SI, DIN 1304, ÖNORM A 6438, ÖNORM A 6401, etc.) zur Bezeichnung bestimmter Größen. Häufig wird als Formelzeichen der Anfangsbuchstabe des lateinischen Namens einer Größe genommen. Auch Buchstaben aus dem griechischen Alphabet werden oft verwendet. Üblicherweise besteht ein Formelzeichen nur aus einem einzigen Buchstaben, der zur weiteren Unterscheidung mit einem Index versehen werden kann.

Für Einheiten gibt es standardisierte Schriftzeichen, die Einheitenzeichen genannt werden. Sie bestehen meistens aus einem oder mehreren lateinischen Buchstaben oder seltener aus einem Sonderzeichen wie z. B. einem Gradzeichen oder griechischen Buchstaben wie das Ω für die Einheit Ohm. Bei Einheiten, die nach Personen benannt sind, wird der erste Buchstabe des Einheitenzeichens üblicherweise groß geschrieben.

${\begin{aligned}U&=20\,\mathrm {V} \\\left\{U\right\}&=20\\\left[U\right]_{\text{SI}}&=\mathrm {V} \end{aligned}}$

Angabe einer Spannung von 20 Volt: vollständig; nur Zahlenwert; nur Einheit

Die Angabe des Größenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Will man nur den Zahlenwert angeben, so setzt man das Formelzeichen in geschweifte Klammern. Will man nur die Einheit angeben, so setzt man das Formelzeichen in eckige Klammern. Formal lässt sich ein Größenwert also wie folgt schreiben:

$G=\left\{G\right\}\;\left[G\right]$

Da der Zahlenwert von der gewählten Maßeinheit abhängt, ist die alleinige Darstellung des Formelzeichens in geschweiften Klammern nicht eindeutig. Deshalb ist für die Beschriftung von Tabellen und Koordinatenachsen die Darstellung „G/[G]“ (z. B. „m/kg“) oder „G in [G]“ (z. B. „m in kg“) üblich. Die Darstellung von Einheiten in eckigen Klammern (z. B. „m [kg]“) oder auch in runden Klammern (z. B. „m (kg)“) entspricht hingegen nicht der Norm DIN 1313 und wird in den Empfehlungen zum SI-Einheitensystem nicht empfohlen.

Da die verwendeten Einheiten abhängig vom Einheitensystem sind, muss das Einheitensystem mit angegeben werden:

${\begin{aligned}\left[U\right]_{\text{SI}}&=\mathrm {V} \\\left[U\right]_{\text{CGS-ESU}}&=\mathrm {StatV} \end{aligned}}$

Formatierung

Die Formatierung ist durch DIN 1338 geregelt. Demnach wird das Formelzeichen kursiv geschrieben, während das Einheitenzeichen mit aufrechter Schrift geschrieben wird, um es von Formelzeichen zu unterscheiden. Beispielsweise bezeichnet „m“ das Formelzeichen für die Größe „Masse“ und „m“ das Einheitenzeichen für die Maßeinheit „Meter“.

Zwischen der Maßzahl und dem Einheitenzeichen wird ein Leerzeichen geschrieben. Eine Ausnahme von dieser Regel stellen die Gradzeichen dar, die ohne Zwischenraum direkt hinter die Maßzahl geschrieben werden („ein Winkel von 180°“), sofern keine weiteren Einheitenzeichen folgen („die Außentemperatur beträgt 23 °C“). Im Schriftsatz empfiehlt sich hierfür ein schmales Leerzeichen, das zusätzlich vor einem Zeilenumbruch geschützt werden sollte, damit Zahlenwert und Einheit nicht getrennt werden.

In Formeln werden Vektoren häufig durch eine besondere Schreibweise gekennzeichnet. Dabei gibt es unterschiedliche Konventionen. Üblich sind Vektorpfeile über dem Buchstaben (${\vec {a}}$), Fettdruck (${\boldsymbol {a}}$) oder Striche unter dem Formelzeichen (${\underline {a}}$). Für Tensoren höherer Stufen werden Großbuchstaben in serifenloser Schrift (${\mathsf {A}}$), Frakturbuchstaben (${\mathfrak {A}}$) oder doppelte Unterstreichung (${\underline {\underline {A}}}$) verwendet. Welche Schreibweise gewählt wird, hängt auch davon ab, ob von Hand oder maschinell geschrieben wird, da sich Merkmale wie Fettdruck oder Serifen mit einer Handschrift nicht zuverlässig wiedergeben lassen.

Es gibt von der Sprache und vom Fach abhängig unterschiedliche Traditionen zur Aufrecht- und Kursivschreibung im Zusammenhang mit Formeln. In modernerer Fachliteratur hat sich jedoch die Konvention durchgesetzt, nicht nur Größensymbole, sondern alles, was veränderlich ist, kursiv zu setzen; Einheitenzeichen oder Erläuterndes wird hingegen aufrecht gesetzt. Formelzeichen sowie veränderliche Indizes erscheinen also kursiv. Beispiel:

„Die Gesamtmasse $m_{\text{ges}}$ des Autos beträgt:

$m_{\text{ges}}\,=\,m_{\text{F}}+\sum _{i}m_{i}\,=1000\,\mathrm {kg}$

Dabei ist $m_{\text{F}}$ die Masse des Fahrgestells und $m_{i}$ die Masse von weiteren Gegenständen.“

Fehlerbehaftete Größen

$l=(10{,}0072\pm 0,0023)\,\mathrm {m}$ $l=10{,}0072(23)\,\mathrm {m}$ $l\approx {10{,}00\mathbf {7} }\,\mathrm {m}$

Angabe einer fehlerbehafteten Messgröße (der letzte Zahlenwert ist nur in dieser Genauigkeit sinnvoll)

Bei fehlerbehafteten Größenwerten wird der Zahlenwert mit seiner Messunsicherheit angegeben oder – je nach den Umständen – mit seinen Fehlergrenzen, siehe auch Messabweichung. Das Kenntlichmachen geschieht meistens durch ein „±“ nach dem fehlerbehafteten Zahlenwert, gefolgt von dem Fehlerwert (wobei Klammern erforderlich sind, sofern eine Einheit folgt, damit diese sich auf beide Werte bezieht). Aber auch Kurzformen wie eine geklammerte Fehlerangabe oder Fettdruck der unsicheren Ziffer des Zahlenwerts sind üblich.

Die Anzahl der anzugebenden unsicheren Dezimalstellen des Zahlenwerts richtet sich nach dem Fehlerwert. Beginnt dieser mit einer 1 oder 2, so werden zwei Stellen notiert, ansonsten nur eine. Gegebenenfalls ist der Zahlenwert wie üblich zu runden, siehe DIN 1333; eine Fehlergrenze wird hingegen immer aufgerundet.

Beispiele zur Kennzeichnung von Zusatzinformationen

Zusätzliche Bezeichnungen oder Informationen dürfen grundsätzlich nicht im Größenwert einer physikalischer Größe (also weder in der Einheit noch beim Zahlenwert) auftauchen bzw. diesem hinzugefügt werden, da dies unsinnig wäre; sie dürfen nur in der Benennung oder Bezeichnung der physikalischen Größe, also im Formelzeichen, zum Ausdruck gebracht werden.

Z. B. kann man das allgemein verwendete Formelzeichen $f$ für die Frequenz in korrekter Notation mit einem $\mathrm {U}$ als Subskript ergänzen, um darauf hinzuweisen, dass eine Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) gemeint ist:

$\left[f_{\text{U}}\right]=\mathrm {s} ^{-1}$ (gesprochen „Die Einheit der (Umdrehungs-)Frequenz ist 1 pro Sekunde.“)

$f_{\text{U, Motor}}=2000\,\mathrm {min} ^{-1}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 pro Minute.“)

Es kann auch ein eigenes, klar definiertes Formelzeichen eingesetzt werden. Um z. B. auf den doppelten Index im obigen Beispiel zugunsten einer leichteren Lesart zu verzichten, könnte man das ggf. einprägsamere Symbol $U$ für „die Drehfrequenz, die Umdrehungszahl“ einführen und schreiben:

$U_{\text{Motor}}=2000\,\mathrm {min} ^{-1}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 pro Minute.“)

Ohne weitere Erläuterung könnte man in der Regel z. B. auch

$h_{\text{Auto}}=1{,}5\,\mathrm {m} ,\ b_{\text{Auto}}=2{,}2\,\mathrm {m}$ („Die Höhe des Autos beträgt 1,5 Meter, die Breite des Autos beträgt 2,2 Meter.“)

verwenden, da die Symbole für die zwei Spezialfälle Höhe und Breite eines Längenmaßes gemeinhin üblich sind.

In der Praxis findet nicht immer eine saubere Unterscheidung zwischen Größenwert bzw. Einheit einer physikalischen Größe einerseits und bloßen Zusatzangaben andererseits statt, sodass es zu Vermischungen kommt. Die aufgeführte Umdrehungszahl ist ein häufiges Beispiel dafür. „Umdrehung“ ist dort keine Einheit, sondern beschreibt lediglich den die Frequenz hervorrufenden Prozess näher. Nicht zulässig, jedoch häufig vorkommend, ist deshalb etwa

$f_{\text{Motor}}=2000\,\mathrm {U} /\mathrm {min}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 Umdrehungen pro Minute“).

Weitere Beispiele für häufig vorkommende falsche Schreib- bzw. Sprechweisen sind:

• Neutronen-Flussdichte:

Falsch: $j=1000\,\mathrm {n} \,\mathrm {cm} ^{-2}\mathrm {s} ^{-1}$ bzw. „Die Flussdichte ist 1000 Neutronen pro Quadratzentimeter und Sekunde.“

Korrekt: $j_{\mathrm {n} }=1000\,\mathrm {cm} ^{-2}\mathrm {s} ^{-1}$ bzw. „Die Neutronen-Flussdichte beträgt 1000 pro Quadratzentimeter und Sekunde.“

• Massekonzentration von Blei:

Falsch: $n=20\,\mathrm {ng} {\text{ Blei}}/\mathrm {m} ^{3}$ bzw. „… eine Konzentration von 20 Nanogramm Blei pro Kubikmeter“

Korrekt: $n_{\text{Pb}}=20\,\mathrm {ng} /\mathrm {m} ^{3}$ bzw. „Die Blei-Massekonzentration beträgt 20 Nanogramm pro Kubikmeter.“

• Durch eine Spule verursachte magnetische Feldstärke:

Falsch: $\left[H\right]=\mathrm {Aw} /\mathrm {m}$ bzw. „Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist Ampere-Windungen pro Meter.“

Korrekt: $\left[H\right]=\mathrm {A} /\mathrm {m}$ bzw. „Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist Ampere pro Meter.“

Verknüpfung zwischen physikalischen Größen

Größengleichungen

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Größengleichung, die die Gesetzmäßigkeit zwischen Kraft ${\vec {F}}$, der Masse $m$ und der Beschleunigung ${\vec {a}}$ eines Körpers darstellt.

Dimensionsbetrachtung m = 75 kg   a = 10 m/s2 F = 750 N = 750 kg·m/s2 = m·a denn 1 N (= 1 Newton) = 1 kg·m/s2

Die Darstellung von Naturgesetzen und technischen Zusammenhängen in mathematischen Gleichungen nennt man Größengleichungen. Die Formelzeichen einer Größengleichung haben die Bedeutung physikalischer Größen, sofern sie nicht als Symbole für mathematische Funktionen oder Operatoren gemeint sind. Größengleichungen gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten.

Größengleichungen verknüpfen verschiedene physikalische Größen und deren Größenwerte miteinander. Zur Auswertung muss man die Formelzeichen durch das Produkt aus Zahlenwert und Einheit ersetzen. Die verwendeten Einheiten sind dabei unerheblich.

Dimensionsbetrachtung

Die Gültigkeit einer Größengleichung ist durch Dimensionsbetrachtung widerlegbar: Stehen auf beiden Seiten der Gleichung verschiedene Dimensionen, ist sie falsch.

Rechenoperationen

Für physikalische Größen sind nicht alle Rechenoperationen, die mit reinen Zahlen möglich wären, sinnvoll. Es hat sich erwiesen, dass eine geringe Anzahl Rechenoperationen ausreicht, um alle bekannten Naturgeschehen zu beschreiben.

$15\;\mathrm {s} -3\;\mathrm {m}$ $5\;\mathrm {m} +10\;\mathrm {kg}$ $\log \left({299\,792\,458\,{\frac {\rm {m}}{\rm {s}}}}\right)$ $\sin(5\;\mathrm {A} )$

Unsinnige Rechenoperationen

• Addition und Subtraktion sind nur zwischen Größen der gleichen Größenart möglich. Die Dimension und damit auch die Einheit der Größe(n) bleibt dabei unverändert, die Maßzahlen werden addiert.

Bsp.: $l_{1}+l_{2}=2\,\mathrm {m} +3\,\mathrm {m} =5\,\mathrm {m}$

Dies funktioniert jedoch nur dann, wenn die beiden Größen in der gleichen Einheit gemessen werden. Ist dies nicht der Fall, müssen beide vor der Addition bzw. Subtraktion noch auf dieselbe Einheit umgerechnet werden.

Bsp.: $l_{1}+l_{2}=2\,\mathrm {km} +300\,\mathrm {m} =2000\,\mathrm {m} +300\,\mathrm {m} =2300\,\mathrm {m}$

• Multiplikation und Division sind uneingeschränkt möglich. Die beiden Größen werden multipliziert, indem ihre Maßzahlen multipliziert und das Produkt der Einheiten gebildet wird. Für die Division gilt Entsprechendes. Das Ergebnis gehört also in aller Regel zu einer anderen Größenart als die beiden Faktoren, es sei denn einer der Faktoren ist lediglich eine dimensionslose Zahl.

Bsp.: $M=r\cdot F=2\,\mathrm {m} \cdot 3\,\mathrm {N} =6\,\mathrm {N} \,\mathrm {m}$

Bsp.: $v={\frac {s}{t}}={\frac {3\,\mathrm {m} }{2\,\mathrm {s} }}=1,5\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

• Potenzen können daher ebenso gebildet werden. Dies gilt sowohl für positive ganzzahlige als auch für negative und gebrochene Exponenten (also auch für Brüche und Wurzeln).

Bsp.: $V=a^{3}=(2\,\mathrm {m} )^{3}=8\,\mathrm {m} ^{3}$

Bsp.: $f=T^{-1}=(2\,\mathrm {s} )^{-1}=0,5\,\mathrm {s} ^{-1}$

Wird eine Größe potenziert, deren Einheit einen Vorsatz für dezimale Teile und Vielfache enthält, so muss der Exponent auf die gesamte Einheit (also auf das Produkt aus Vorfaktor und Einheit) angewendet werden. Beispielsweise ist ein Quadratkilometer nicht etwa 1000 Quadratmeter, sondern

$1\,\mathrm {km} ^{2}=1\cdot 1000^{2}\cdot \mathrm {m} ^{2}=1\,000\,000\,\mathrm {m} ^{2}.$

• Transzendente Funktionen wie $\exp ,\,\log ,\,\sin ,\,\cos ,\,\tanh$ usw. sind nur für reine Zahlen als Argument definiert. Sie können daher nur auf dimensionslose Größen angewendet werden. Der Funktionswert ist ebenfalls eine dimensionslose Zahl.

Bsp.: $\mathrm {sin} {\frac {\pi }{2}}=1$

• Das Differential einer Größe ist von der gleichen Größenart wie die Größe selbst. Differential- und Integralrechnung ist uneingeschränkt möglich.

Bsp.: $v=\int _{t_{1}}^{t_{2}}a\cdot \mathrm {d} t=\int _{0}^{2\,\mathrm {s} }3\,{\frac {\mathrm {m} }{{\mathrm {s} }^{2}}}\cdot \mathrm {d} t=6\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Ein Sachverhalt ist falsch dargestellt, wenn diese Rechenoperationen in unsinniger Weise auszuführen wären. Die entsprechende Kontrolle wird in der Dimensionsanalyse durchgeführt, um die Existenz einer noch unbekannten Gesetzmäßigkeit zu überprüfen.

Zahlenwertgleichungen

${\begin{array}{rl}{\frac {\mathrm {WCT} }{^{\circ }\mathrm {C} }}=13{,}12+0{,}6215\,{\frac {T}{^{\circ }\mathrm {C} }}-11{,}37\,({\frac {v}{\mathrm {km/h} }})^{0,16}+0,3965\,{\frac {T}{^{\circ }\mathrm {C} }}\,({\frac {v}{\mathrm {km/h} }})^{0{,}16}\end{array}}$ mit WCT – Windchill-Temperatur in Grad Celsius T – Lufttemperatur in Grad Celsius v – Windgeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde

Zahlenwertgleichung zur Berechnung des Windchill-Effektes

In Zahlenwertgleichungen haben die Formelzeichen ausschließlich die Bedeutung von Zahlenwerten. Diese Gleichungen sind daher abhängig von der Wahl der Einheiten und nur brauchbar, wenn diese auch bekannt sind. Das Benutzen von Größenwerten in anderen Einheiten führt leicht zu Fehlern. Es empfiehlt sich daher, Berechnungen grundsätzlich mit Größengleichungen durchzuführen und diese erst im letzten Schritt auszuwerten.

Formeln in historischen Texten, „Faustformeln“ und empirische Formeln sind meistens in der Form von Zahlenwertgleichungen angegeben. In einigen Fällen stehen die zu benutzenden Einheiten mit in der Gleichung. Die dabei manchmal anzutreffende Verwendung von eckigen Klammern um die Einheitenzeichen, wie etwa $\mathrm {[V]}$ anstatt $\mathrm {V}$, ist nicht normgerecht. DIN 1313:1998-12, Kapitel 4.3 sieht Formelzeichen in geschweiften Klammern oder die Division der Größen durch die jeweils gewünschte Maßeinheit vor. Man erhält dann eine sogenannte zugeschnittene Größengleichung.

Größen- und Einheitensysteme

Größensysteme

Jedes Wissensgebiet der Technik und Naturwissenschaften verwendet einen beschränkten Satz an physikalischen Größen, die über Naturgesetze miteinander verknüpft sind. Wählt man aus diesen Größen wenige Basisgrößen aus, sodass sich alle anderen des betrachteten Gebietes als Potenzprodukte der Basisgrößen darstellen lassen, dann bilden alle Größen zusammen ein Größensystem, sofern außerdem keine Basisgröße aus den anderen Basisgrößen dargestellt werden kann. Die aus den Basisgrößen darstellbaren Größen heißen abgeleitete Größen, das Potenzprodukt bezeichnet man als Dimensionsprodukt. Welche Größen man für die Basis wählt, ist grundsätzlich willkürlich und geschieht meistens aus praktischen Gründen. Die Anzahl der Basisgrößen bestimmt den Grad des Größensystems. Beispielsweise ist das internationale Größensystem mit seinen sieben Basisgrößen ein Größensystem siebten Grades.

Internationales Einheitensystem

→ Hauptartikel: Internationales Einheitensystem

Man benötigt für jede Größe eine Einheit, um Größenwerte angeben zu können. Daher entspricht jedem Größensystem ein Einheitensystem gleichen Grades, das sich analog aus voneinander unabhängigen Basiseinheiten und den aus diesen darstellbaren abgeleiteten Einheiten zusammensetzt. Die abgeleiteten Einheiten werden aus den Basiseinheiten durch Produkte von Potenzen dargestellt – im Unterschied zu Größensystemen eventuell ergänzt durch einen Zahlenfaktor. Man bezeichnet das Einheitensystem als kohärent, wenn alle Einheiten ohne diesen zusätzlichen Faktor gebildet werden können. In derartigen Systemen können alle Größengleichungen als Zahlenwertgleichungen aufgefasst und dementsprechend schnell ausgewertet werden.

Das in fast allen Ländern der Welt benutzte internationale Einheitensystem (SI) ist ein kohärentes Einheitensystem siebten Grades, das auf dem internationalen Größensystem fußt; jedoch ist das Internationale Größensystem später entwickelt worden als das SI. Das SI definiert zudem standardisierte Vorsätze für Maßeinheiten, allerdings sind die so gebildeten Vielfachen oder Teile einer SI-Einheit selbst nicht Teil des eigentlichen Einheitensystems, da dies der Kohärenz widerspräche. Beispielsweise ist ein fiktives Einheitensystem, das die Basiseinheiten Zentimeter ($\mathrm {cm}$) und Sekunde ($\mathrm {s}$) sowie die abgeleitete Einheit Meter pro Sekunde ($\mathrm {m/s}$) umfasst, nicht kohärent: Wegen $1\,\mathrm {\frac {m}{s}} =100\,\mathrm {cm\cdot s^{-1}}$ benötigt man einen Zahlenfaktor ($100$) bei der Bildung dieses Systems.

(Zu weiteren konkurrierenden Einheitensystemen siehe unten im Abschnitt Konsequenzen.)

Besondere Größen

Quotienten- und Verhältnisgrößen

Der Quotient zweier Größen ist eine neue Größe. Eine solche Größe bezeichnet man als Verhältnisgröße (oder Größenverhältnis), wenn die Ausgangsgrößen von der gleichen Größenart sind, ansonsten als Quotientengröße. Allgemeiner ist die Quotientengröße in der DIN-Norm 1313 vom Dezember 1998 definiert; danach wird nur verlangt, dass der Bruch aus Zähler-Größe und Nenner-Größe konstant ist. Von April 1978 bis November 1998 hingegen hatte das DIN in der Normausgabe vom April 1978 den Begriff Größenquotient spezieller nur für Brüche aus zwei Größen verschiedener Dimension empfohlen und von einem Größenverhältnis (einer Verhältnisgröße) lediglich verlangt, dass die Ausgangsgrößen von gleicher Dimension, aber nicht unbedingt gleicher Größenart sind. (Beispielsweise sind die elektrische Stromstärke und die magnetische Durchflutung von gleicher Dimension, aber verschiedener Größenart.)

Häufig werden Quotientengrößen umgangssprachlich falsch umschrieben. Beispielsweise ist eine Bezeichnung der Fahrtgeschwindigkeit als „zurückgelegter Weg je Zeiteinheit“ sachlich nicht korrekt, da die Definition einer Größe von möglichen Einheiten unabhängig ist. Nähme man solche Bezeichnungen wörtlich, führte dieses unweigerlich zu verschiedenen Größenwerten je nach benutzter Einheit. Korrekt müsste man daher „zurückgelegter Weg je vergangener Zeit“ oder einfach „Weg je Zeit“ sagen.

$v={\frac {V}{m}}$ „spezifisches Volumen“ $\rho ={\frac {m}{V}}$ „Massedichte“

Benennung von bezogenen Größen

Falls zwei Größen sich auf eine Eigenschaft des gleichen Objektes beziehen, nennt man die Quotientengröße auch bezogene Größe. Hierbei ist die Nennergröße die Bezugsgröße, während die Zählergröße den Schwerpunkt in der Namensgebung setzt. Insbesondere bezeichnet man eine bezogene Größe als …

• … spezifisch, wenn sie sich auf die Masse bezieht.
• … molar, wenn sie sich auf die Stoffmenge bezieht.
• … -dichte, wenn sie sich auf das Volumen (oder als -flächendichte auf die Fläche bzw. als -längendichte auf die Länge) bezieht.

Verhältnisgrößen sind grundsätzlich dimensionslos. Sie können nach obigen Rechenregeln als Argumente von transzendenten Funktionen auftreten. Der Name einer Verhältnisgröße beinhaltet meistens ein Adjektiv wie relativ oder normiert oder er endet auf -zahl oder -wert. Beispiele sind die Reynolds-Zahl und der Strömungswiderstandskoeffizient.

${\begin{array}{lll}1\,{}^{0\!}\!/\!_{0}&=&0{,}01\\1\,{}^{0\!}\!/\!_{00}&=&0{,}001\\1\,\mathrm {ppm} &=&0{,}000\,001\end{array}}$

Spezielle Verhältniseinheiten

Verschiedene Verhältnisgrößen gehören nur in seltenen Fällen zur gleichen Größenart, manchmal werden daher zur besseren Trennung bei der Angabe ihres Größenwerts die Einheitenzeichen nicht gekürzt. Häufig werden Verhältnisgrößen in den Einheiten %, ‰ oder ppm angegeben. Eine besondere Stellung haben Verhältniseinheiten, wenn sie das Verhältnis gleicher Einheiten sind. Diese sind immer 1 und damit idempotent, d. h., sie können beliebig oft mit sich selbst multipliziert werden, ohne ihren Wert zu ändern. Einige idempotente Verhältniseinheiten tragen besondere Namen, wie beispielsweise die Winkeleinheit Radiant (rad). In kohärenten Einheitensystemen sind die Verhältniseinheiten immer 1, also idempotent.

Idempotente Verhältniseinheiten sind deshalb interessant, weil man hier die Zahlenwerte einfach multiplizieren kann. Sagt man beispielsweise, dass 30 % der Erdoberfläche Landfläche sind und der Kontinent Asien 30 % der Landfläche darstellt, kann man daraus nicht folgern, dass 900 % der Erdoberfläche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil % nicht idempotent ist, also %² nicht dasselbe wie % ist. Sagt man nun aber, dass ein Anteil von 0,3 der Erdoberfläche Landfläche ist und der Kontinent Asien einen Anteil von 0,3 der Landfläche einnimmt, kann man folgern, dass 0,09 der Erdoberfläche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil wir hier die Einheit 1 haben, die idempotent ist.

Feld- und Energiegrößen

${\begin{aligned}F^{2}\propto W&\Leftrightarrow {\frac {F_{1}^{2}}{F_{2}^{2}}}={\frac {W_{1}}{W_{2}}}\\\ln \!\left({\frac {F_{1}}{F_{2}}}\right)\,{\text{Np}}&={\frac {1}{2}}\ln \!\left({\frac {W_{1}}{W_{2}}}\right)\,{\text{Np}}\\20\lg \!\left({\frac {F_{1}}{F_{2}}}\right)\,{\text{dB}}&=10\lg \!\left({\frac {W_{1}}{W_{2}}}\right)\,{\text{dB}}\end{aligned}}$

Zusammenhang zwischen Feldgrößen $F$ und Energiegrößen $W$. Die zweite (dritte) Zeile zeigt die Definition der Hilfseinheit Neper (Dezibel).

Feldgrößen dienen der Beschreibung von physikalischen Feldern. Das Quadrat einer Feldgröße ist in linearen Systemen proportional zu dessen energetischem Zustand, der über eine Energiegröße erfasst wird. Ohne die genaue Gesetzmäßigkeit kennen zu müssen, folgt daraus unmittelbar, dass das Verhältnis zweier Energiegrößen gleich dem quadratischen Verhältnis der zugehörigen Feldgrößen ist. Dabei ist unerheblich, ob die Energiegrößen zu Größen der Größenart Energie oder bezogenen Größen, wie Leistung (Energie pro Zeit) und Intensität (Energie pro Zeit und Fläche), gehören. Energiegrößen werden deshalb auch als Leistungsgrößen bezeichnet.

In vielen technischen Bereichen sind die logarithmierten Verhältnisse von besonderem Interesse. Derartige Größen werden als Pegel oder Maß bezeichnet. Wird bei der Bildung der natürliche Logarithmus verwendet, so kennzeichnet man dieses durch die Hilfseinheit Neper (Np), ist es der dekadische Logarithmus, so nutzt man die Hilfseinheit Bel (B) bzw. häufiger ihr Zehntel, das Dezibel (dB).

Zustands- und Prozessgrößen

Vor allem in der Thermodynamik wird zwischen Zustandsgrößen und Prozessgrößen unterschieden.

Zustandsgrößen sind dabei physikalische Größen, die eine Eigenschaft eines Systemzustands repräsentieren. Man unterscheidet weiterhin zwischen extensiven und intensiven Größen. Extensive Größen wie Masse und Stoffmenge verdoppeln ihren Größenwert bei Systemverdopplung, intensive Größen wie Temperatur und Druck bleiben dabei konstant. Ebenfalls gebräuchlich ist die Unterscheidung zwischen stoffeigenen und systemeigenen Zustandsgrößen.

Prozessgrößen hingegen beschreiben einen Vorgang, nämlich den Übergang zwischen Systemzuständen. Zu ihnen gehören insbesondere die Größen „Arbeit“ ($W$) und „Wärme“ ($Q$). Um ihren Charakter als reine Vorgangsgrößen zum Ausdruck zu bringen, werden sie vielerorts ausschließlich als Differentiale angegeben, wobei ihnen häufig kein $\mathrm {d}$, sondern ein $\delta$ oder đ vorangestellt wird.

Konsequenzen

Konsequenzen ergeben sich vor allem für die Maßsystemproblematik. Es bestehen weiterhin verschiedene Maßsysteme nebeneinander:

• cgs-System

vor allem von Theoretikern und in den USA benutzt, mit drei Grundgrößen, in welchem alle Längen in Zentimetern und elektrische Spannungen in Potenzen der Grund-Einheiten cm, g (=Gramm) und s (=Sekunde) angegeben werden

• mksA-System

In der praktischen Elektrotechnik eingeführtes System mit vier Grundeinheiten, Vorläufer des Internationalen Einheitensystems, enthält neben Meter (=m), Kilogramm (=kg) und Sekunde (=s) das Ampere (=A) als Einheit der Stromstärke; das Volt (=V) als Spannungseinheit ergibt sich über die definierte Gleichheit der elektrischen und mechanischen Energieeinheiten Wattsekunde und Newtonmeter (1 Ws = 1 V·A·s = 1 N·m = 1 kg·m²·s^-2)

• Hochenergie-System (siehe bei Planck-Einheiten)

in welchem alle Größen in Potenzen nur einer einzigen Einheit, der Energieeinheit eV, angegeben werden, z. B. Längen als reziproke Energien, genauer: in Einheiten von $\hbar c/eV$, wobei die Naturkonstanten c – die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum – und die reduzierte Plancksche Konstante $\hbar \,\,(=h/2\pi )$ durch Eins ersetzt werden

In dem angegebenen Maßsystem sehen z. B. die Grundgleichungen der Elektrodynamik, die sog. Maxwell'schen Gleichungen, formelmäßig leicht unterschiedlich aus; aber wie erwähnt sind die physikalischen Gesetze invariant gegen solche Änderungen. Insbesondere kann man jederzeit von einem Maßsystem ins andere umrechnen, auch wenn die dabei benutzten Zusammenhänge etwas komplizierter sein können als die Umrechnung von Metern in Zentimeter.

Siehe auch

• Liste physikalischer Größen
• Vorsätze für Maßeinheiten

Normen

• DIN 1301 Einheiten
• DIN 1313 Größen
• EN 80000, z. T. EN ISO 80000 Größen und Einheiten (ab 2008)

Literatur

• Hans Dieter Baehr: Physikalische Größen und ihre Einheiten – Eine Einführung für Studenten, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 19 der Reihe Studienbücher Naturwissenschaft und Technik, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf 1974. ISBN 3-571-19233-8
• Hans Rupp: Physikalische Größen, Formeln, Gesetze und Definitionen. 2. Auflage, Oldenbourg Schulbuchverlag, Juni 1995. ISBN 3-486-87093-9
• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8

Speziell zur physikalischen Größenart

• Böge, Alfred: Handbuch Maschinenbau, Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3834810250 (Ausschnitt online)
• DIN Deutsches Institut für Normung e.V. (Hrsg.): Klein Einführung in die DIN-Normen, B.G. Teubner Verlag, 2001, ISBN 978-3519263012 (Ausschnitt online)

Weblinks

• Physikalische Größen- und Einheiten (PDF) – ausführliche Beschreibung zur Formatierung und Angabe von Größenwerten bei physikalischen Versuchen. (210 kB)

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