Arbeit (Physik)

Physikalische Größe
Name	Arbeit
Formelzeichen der Größe	$W$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI J = N·m = kg·m2·s−2 L2·M·T−2 CGS erg L2·M·T−2

Arbeit (Formelzeichen $W$ von englisch work) ist in der Physik die Energie, die auf mechanischem Wege von einem Körper auf einen anderen übertragen wird. Man sagt: „An dem Körper wird Arbeit verrichtet“ oder „Arbeit geleistet“. Das geschieht, indem eine Kraft längs eines Weges auf ihn einwirkt. Die geleistete Arbeit berechnet sich in diesem einfachsten Fall als Produkt aus der in Wegrichtung wirkenden Kraft mit der Wegstrecke. Bei nicht geradlinigen Wegen und nicht konstanten Kräften ist die Arbeit das Kurvenintegral über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg.

Da Arbeit mechanisch übertragene Energie ist, bezeichnet man in diesem Zusammenhang die Energie auch als gespeicherte Arbeit bzw. als die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

In der Thermodynamik ist die Arbeit eine Prozessgröße. Auf ein System kann Energie auf zwei Arten übertragen werden: In Form von Wärmezufuhr $Q$ (z. B. durch Heizung) oder auf mechanische Weise (z. B. durch Kompression). Da bei der Kompression eine Kraft längs eines Weges wirkt, wird die übertragene Energie als Arbeit (Symbol $W$) bezeichnet. In beiden Fällen ändert sich gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik die innere Energie $U$ des Systems.

Die international verwendete Einheit (SI-Einheit) für Arbeit ist dementsprechend identisch mit der für Energie: das Joule (Einheitenzeichen J). Aus dem Bezug der Arbeit zur Kraft (SI-Einheit Newton) und Leistung (SI-Einheit Watt) ergeben sich die abgeleiteten SI-Einheiten Newtonmeter (Nm) und Wattsekunde (Ws): Es gilt 1 J = 1 Nm = 1 Ws. Häufig werden auch die Einheiten Wattstunde (Wh) bzw. Kilowattstunde (kWh) verwendet.

Mit spezifischer Arbeit (Formelzeichen $w$) ist in der Thermodynamik das auf die Masse des Strömungsfluides bezogene Arbeitsvermögen, Einheit J/kg, gemeint (siehe auch Totalenthalpie).

Definition

Kraft-Weg Diagramm bei konstanter Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Arbeit wird in der Mechanik definiert als das Skalarprodukt aus Kraft und Weg: Wenn auf einen Körper auf der geraden Strecke vom Punkt A zum Punkt B eine konstante Kraft ${\vec {F}}$ wirkt, dann wird am Körper die Arbeit

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=|{\vec {F}}|\,|{\vec {s}}|\,\cos \sphericalangle \left({\vec {F}},{\vec {s}}\right)\,$

verrichtet. Dabei ist ${\vec {s}}$ der Vektor von A nach B, und sein Skalarprodukt mit dem Vektor ${\vec {F}}$ ist das Produkt der Beträge $|{\vec {F}}|$ und $|{\vec {s}}|$ mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Die Bedeutung des physikalischen Begriffs Arbeit beruht auf folgendem Sachverhalt: Beschleunigt die betrachtete Kraft den Körper, so erhöht sich seine kinetische Energie auf dem Weg von A nach B um die an ihm verrichtete Arbeit.

Wirkt die konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge $W=|{\vec {F}}|\,|{\vec {s}}|\,$, da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist.

Ist die Richtung der Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, dann bilden die beiden Vektoren einen Winkel von 180°, dessen Kosinus der Wert -1 ist. In diesem Fall wird an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet, d.h. ihm wird Energie entnommen, er wird langsamer.

Ist die Richtung der Kraft senkrecht zum Weg, dann wird keine physikalische Arbeit verrichtet. Der physikalische Begriff entspricht also nicht dem alltäglichen Verständnis, nach dem jeder Kofferträger für seine verrichtete Arbeit bezahlt wird.

Kraft-Weg Diagramm bei veränderbarer Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Wenn die Kraft nicht entlang des gesamten Weges konstant ist oder der Weg nicht gerade ist, so kann man die Arbeit näherungsweise berechnen, indem man den Weg durch einen Streckenzug aus N geraden Teilstücken $\Delta {\vec {s}}_{i}$ nähert, auf denen die Kraft ${\vec {F}}(s_{i})$ jeweils näherungsweise als konstant angenommen werden kann. Die entlang des gesamten Weges verrichtete Arbeit ergibt sich dann näherungsweise durch Aufsummierung der Arbeiten entlang der einzelnen Wegstücke als

$W\approx \sum _{i=1}^{N}W_{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}({\vec {s}}_{i})\cdot \Delta {\vec {s}}_{i}\,.$

Um den genauen Wert zu erhalten, wählt man die Wegstücke immer kleiner, so dass ihre Länge gegen Null und ihre Anzahl gegen unendlich geht. Der Grenzwert der Summe ist das Weg- oder Kurvenintegral

$W=\int _{{\vec {s}}_{1}}^{{\vec {s}}_{2}}{\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}\,,$

wobei ${\vec {s}}_{1}\,$ den Anfangs- und ${\vec {s}}_{2}\,$ den Endpunkt des Weges bezeichnen.

Ist die Kraft ${\vec {F}}({\vec {s}})$ der Gradient eines Potentials

${\vec {F}}({\vec {s}})=\nabla \cdot V({\vec {s}}),$

dann handelt es sich um eine konservative Kraft. In diesem Fall hängt der Wert des Integrals – also die Arbeit – nur von dem Start- und dem Endpunkt ab, jedoch nicht von dem genauen Verlauf des Weges. Man kann die Arbeit in einem Potenzialfeld also auch einfach durch die Differenz der potentielle Energien berechnen:

$W=V({\vec {s}}_{2})-V({\vec {s}}_{1})$

Umgekehrt ist die potentielle Energie an einem bestimmten Ort gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um den Probekörper von einem zuvor festgelegten Nullniveau dorthin zu bringen.

Handelt es sich bei dem Weg um eine geschlossene Kurve (in anderen Worten: Sind der Start- und der Endpunkt identisch), dann ist die Arbeit Null.

Dissipativen Kräften liegt jedoch kein Potenzialfeld zugrunde. Dies ist z. B. bei der Reibung der Fall. Hier kommt die Arbeit nicht der potenziellen oder kinetischen Energie des Probekörpers zugute, sondern der inneren Energie des Systems. Die Dissipation von Arbeit ist ein irreversibler Prozess. Dabei erhöht sich die Entropie des Systems, ohne dass Wärme von außen zugeführt wurde.

Kraftwandler und Goldene Regel der Mechanik

Will man eine bestimmte Arbeit mit geringerer Kraft leisten, so ist dies mit einem Kraftwandler möglich. Beispiele für Kraftwandler sind Flaschenzüge, Hebel oder Getriebe. Jedoch verlängert sich der Weg über den die Kraft aufgebracht werden muss. Wird beispielsweise durch Verwendung eines Kraftwandlers nur ein Viertel der ohne ihn erforderlichen Kraft benötigt, so ist dies mindestens mit einer Vervierfachung des Weges verbunden. Diese Konsequenz des Energieerhaltungssatzes ist in der „Goldenen Regel der Mechanik“ beschrieben.

Beispiele

• Hubarbeit: Arbeit, die an einem ruhenden Körper der Masse $m$ verrichtet werden muss, um ihn im homogenen Schwerefeld mit Gravitationsbeschleunigung $g$ um die Hubhöhe $h$ zu heben

$W_{H}=m\,g\,h\,.$

Die Hubarbeit ist der Unterschied der potentiellen Energie an Ziel und Start.

• Beschleunigungsarbeit: Eine Masse $m$ wird aus der Ruhe auf eine Geschwindigkeit $v$ beschleunigt:

$W_{B}={\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\,.$

• Spannarbeit, auch Federarbeit, um eine zunächst ungespannte Feder um die Strecke $s$ zu dehnen:

$W_{\mathrm {sp} }={\frac {1}{2}}\,D\,s^{2},$

wobei $D$ die Federkonstante und $F=-D\,s$ die Federkraft ist.

• Kompressionsarbeit: Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen $V_{1}$ auf das Volumen $V_{2}$ zu verdichten:

$W=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\,\mathrm {d} V.$

Das negative Vorzeichen stammt aus der Konvention, dass die von außen zugeführte Arbeit positiv zu werten ist. Der Druck $p$ kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.

Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z. B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens $V$ gegen einen konstanten Förderungshinderungsdruck.

$W_{DV}=p\,V\,.$

• Elektrische Arbeit: Um die positive Ladungsmenge $Q$ von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, zwischen welchen die Spannung $U$ herrscht, muss die Arbeit

$W_{\mathrm {el} }=-\,Q\,U$

verrichtet werden. Hierbei ist das Vorzeichen der Spannung so gewählt worden, dass sie positiv ist, wenn das elektrische Potential am Anfang höher ist als am Ende.

• Reibungsarbeit: Im einfachsten Fall, bei makroskopischen Körpern, definiert als Produkt aus Reibungskraft und Weg. Allgemein wird hier mechanische Energie in Innere Energie umgewandelt. Siehe auch Dissipation.

• Ein Beispiel aus der Physiologie: Die Herzarbeit setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.

Literatur

• Christian Gerthsen, Dieter Meschede, Helmut Vogel (Herausgeber bis zur 20. Auflage): Physik, 23. Auflage, Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-25421-8, E-Book 9783540299738
• Joachim Grehn (Hrsg.): Metzler Physik. 4. Auflage. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover 2007, ISBN 978-3507107106.

Weblinks

• Erklärung von Arbeit und Energie für Schüler
• Arbeit auf Schülerniveau erklärt (LEIFI)