Druck (Physik)

Physikalische Größe
Name	Druck
Formelzeichen der Größe	$p$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Pa  = N/m2 = kg·m-1·s-2 M·L−1·T−2 CGS Ba = dyn/cm2 = cm−1·g·s−2

Hier steht die Kraft F senkrecht auf der Fläche A.

Der Druck ist ein Maß für den Widerstand, den Materie einer Verkleinerung des zur Verfügung stehenden Raumes entgegensetzt. Druck ist eine intensive, skalare physikalische Größe mit der SI-Einheit Pascal. Das übliche Formelzeichen $p$ lehnt sich an das englische Wort für Druck (englisch pressure) an.

Druck kann in den meisten Fällen mit dem Quotienten aus Kraft $F$ und Fläche $A$ gleichgesetzt werden:

$p={\frac {F}{A}}.$

Genauer gesagt ist $F$ der Betrag der Kraft, die senkrecht auf die Bezugsfläche mit Flächeninhalt $A$ wirkt. Aus Sicht der Elastizitätstheorie ist der Druck eine Normalspannung und somit ein Spezialfall der mechanischen Spannung.

Das Pauli-Prinzip der Quantenphysik führt bei Fermionen zu einem Entartungsdruck, der beispielsweise einen Weißen Zwergstern vor dem weiteren Kollaps bewahrt. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie trägt auch Druck zur Gravitationswirkung bei.

Einfache Definition

Druck ist das Ergebnis einer auf eine Fläche einwirkenden Kraft. Die Größe des Drucks auf die Bezugsfläche A ergibt sich ausschließlich aus der senkrecht zur Fläche stehenden Kraftkomponente $F_{n}$. Mathematisch:

$p={\frac {F_{n}}{A}}\ {\mbox{oder}}\ p={\frac {dF_{n}}{dA}}$

mit:

$p$ dem Druck,

$F_{n}$ der Normalkraft,

$A$ die Fläche, auf die die Kraft einwirkt.

Es ist falsch (wenn auch gebräuchlich) zu sagen, dass der Druck in eine bestimmte Richtung wirkt. Denn Druck ist als skalare Größe richtungslos. Eher wäre es sinnvoll, den Druck als „allseitig wirkend“ zu beschreiben. Meist ist mit dieser Richtungsangabe die Richtung der Kraft gemeint, die durch den Druck an einer interessierenden Stelle hervorgerufen wird. Druck gibt einen Zusammenhang zwischen dem vektoriellen Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {A}}$ und der Normalkraft $\mathrm {d} {\vec {F}}_{n}$ ,die auf dieses Element wirkt, an und ist damit die Proportionalitätskonstante zwischen diesen beiden Vektoren.

$d{\vec {F}}_{n}=-p\,d{\vec {A}}=-p\,{\vec {n}}\,dA$.

Das Minuszeichen ergibt sich aus der Konvention, dass der Druck positiv ist, wenn der Normalenvektor der Oberfläche nach außen, d. h. dem Kraftvektor entgegen zeigt.

Definition in der Kontinuumsmechanik

Allgemein ist der Druck über die Spur des Spannungstensors $\mathbb {S}$ definiert:

$p=-{\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \mathbb {S}$.

Falls der Spannungstensor ausschließlicher Druckspannung beschreibt, reduziert er sich auf eine Diagonalmatrix und ist darstellbar als Vielfaches des Einheitstensors $\mathbb {I}$:

$\mathbb {S} =-p\mathbb {I}$

Das negative Vielfache wird Druck genannt und somit ein Spezialfall der mechanischen Spannung.

In einem beliebigen Material ist die Kraft ${\vec {F}}$ auf eine beliebige (kleine) Fläche mit dem Normalenvektor ${\vec {A}}$ gegeben durch:

${\vec {F}}=\mathbb {S} \cdot {\vec {A}}$

Und im Spezialfall des Drucks also:

${\vec {F}}=-p\mathbb {I} \cdot {\vec {A}}$

D.h. in so einem Medium ist die Richtung der Kraft auf eine Fläche immer normal.

Die mechanische Spannung hat dieselbe physikalische Dimension wie der Druck, nämlich Kraft/Fläche.

Druck in strömenden Medien

Statischer und dynamischer Druckanteil in einer verlustfreien Strömung

Der Druck in strömenden Medien setzt sich aus einem statischen und einem dynamischen Anteil zusammen. Während beide Teile von der Dichte abhängen, unterscheiden sie sich dadurch, dass der (hydro)statische Druck, für Fluide mit konstanter Dichte, linear mit der Höhe der Fluidsäule steigt. Zudem ist er von der Erdbeschleunigung, also der Gravitation, abhängig. Der dynamische Anteil hingegen wächst quadratisch mit der Strömungsgeschwindigkeit des Fluids. Das Bild zur Rechten verdeutlicht die Konstanz der Summe aus dynamischem und statischem Anteil in einer reibungsfreien Strömung. Dieses ist die Konsequenz aus der Energieerhaltung in der Strömung und für diesen Spezialfall als Gesetz von Bernoulli bekannt.

Hydrostatischer Druck

→ Hauptartikel: Hydrostatischer Druck

Der hydrostatische Druck übt auf jede Fläche, die mit dem Fluid in Verbindung steht, eine Kraft aus, die zur Größe der Fläche proportional wirkt – je größer die Fläche, desto größer wird also die darauf wirkende Kraft. Diese Form des Drucks ist somit eine spezielle Form der elastischen Spannungen, die idealen Flüssigkeiten und Gasen eigen ist: In der idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit existieren ausschließlich Normalspannungen, eben jener hydrostatische Druck. Anders ist es in einer realen (reibungsbehafteten, viskosen) Flüssigkeit, denn hier können auch Tangential- oder Schubspannungen infolge der Reibungskräfte auftreten. Im Mohrschen Spannungskreis stellt sich der hydrostatische Druck daher als einfacher Punkt dar. Beispiele für einen hydrostatischen Druck sind der Wasserdruck und der Luftdruck.

Der hydrostatische Druck $p(h)$ in einer stehenden Flüssigkeitssäule der Höhe $h$ und der Dichte $\rho$ unter Wirkung der Erdbeschleunigung $g$ ergibt sich als Spezialfall aus der hydrostatischen Grundgleichung zu

$p(h)=\rho \,g\,h+p(0)\;.$

Dabei ist $p(0)$ der Druck am oberen Ende der Flüssigkeitsäule.

Hydrodynamischer Druck

Der hydrodynamische Druck resultiert aus der kinetischen Energie einer strömenden Flüssigkeit an der Oberfläche eines Körpers in dieser Strömung. Er ist nach Daniel Bernoulli die Veränderung des Oberflächendruckes gegenüber dem hydrostatischen Druck (siehe auch Staudruck).

Der hydrodynamische Druck nimmt mit der Geschwindigkeit des Fluids zu. Beim Übergang von einem größeren zu einem kleineren Querschnitt muss die Strömungsgeschwindigkeit zunehmen. Die Geschwindigkeit kann von größeren zu kleineren Querschnitten nur zunehmen, wenn der hydrostatische Druck in den kleineren Querschnitten niedriger ist und umgekehrt. Durch die Strömung entsteht also beim Übergang von einem größeren in einen kleineren Querschnitt eine Geschwindigkeitszunahme, damit verbunden eine Verringerung des hydrostatischen Druckes bei gleichzeitiger Erhöhung des hydrodynamischen Druckes. Und umgekehrt.

Der hydrodynamische Druck ist nicht direkt messbar. Er kann aber aus der Messung der Druckdifferenz aus Gesamtdruck und statischem Druck bestimmt werden (siehe Prandtlsonde). Er wird zur Geschwindigkeitsmessung eines Fluids verwendet.

Es gilt:      $p_{d}={\frac {1}{2}}\ \rho \cdot v^{2}\,$      ($p_{d}$ ist der dynamische Druck, $\rho$ ist die Dichte des strömenden Fluids und $v$ ist die Geschwindigkeit)

Der Zusammenhang zwischen hydrostatischem und hydrodynamischen Druck wird durch das Gesetz von Bernoulli erklärt.

Für eine Gasströmung (kompressibles Medium) existiert neben dem hydrostatischen Druck noch der Ruhedruck, welcher näherungsweise der Summe aus hydrostatischem und hydrodynamischem Druck entspricht.

Definition in der statistischen Physik und Thermodynamik

In der statistischen Physik ist der Druck allgemein durch folgenden Erwartungswert gegeben:

$p:=-\left\langle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial V}}\right\rangle$

dabei ist ${\hat {H}}$ der Hamiltonoperator des Systems, $V$ das Volumen, $\langle \ldots \rangle$ ein Ensemblemittel über das jeweilige statistische Ensemble.

Diese Definition führt im mikrokanonischen Ensemble zu

$p=-{\frac {\partial U}{\partial V}}$

($U$ ist die innere Energie), im kanonischen Ensemble zu

$p=-{\frac {\partial F}{\partial V}}$

($F$ ist die Freie Energie) und im großkanonischen Ensemble zu

$p=-{\frac {\partial \Omega }{\partial V}}$

($\Omega$ ist das Großkanonische Potential).

Gasdruck

Der Gasdruck entsteht als Summe aller durch ein Gas oder Gasgemisch wirkenden Kräfte auf eine Gefäßwand. Stößt ein Gasteilchen an eine Wand, so tauschen beide einen Impuls aus. Je wärmer das Gas ist, desto schneller sind die Teilchen und desto größer ist auch der Druck. Die Impulsübertragung hängt nämlich von der kinetischen Energie des Gasteilchens ab. Ebenfalls abhängig ist sie von der Richtung, mit der das Teilchen auf die Wand trifft. Für viele Teilchen addieren sich diese Impulsüberträge zu einer Gesamtkraft. Diese hängt hauptsächlich von der Anzahl der Teilchen ab, die pro Zeiteinheit auf die Wand treffen. Man erhält den Gasdruck auch durch eine Addition aller Partialdrücke der Komponenten des Gasgemisches. Hierbei stellen auch Dampfdruck und Sättigungsdampfdruck Sonderformen des Gasdrucks dar. Der Luftdruck ist ein Beispiel für einen Gasdruck.

Die kinetische Gastheorie liefert aus den genannten mechanischen und statistischen Überlegungen die Zustandsgleichung:

$p=-{\frac {\partial U(S,V,n)}{\partial V}}\,$

die sich für die Thermodynamik auch als Definition des Druckes als intensive Größe anbietet (siehe auch Fundamentalgleichung).

Für den Spezialfall eines idealen Gases führt dieses zur thermischen Zustandsgleichung:

$pV=n\,R\,T\,$

Auf Grund der kinetischen Gastheorie folgt

$p={\frac {n\,M\,{\overline {v^{2}}}}{3V}}\,$

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

• m – Gasmasse
• M – Molmasse
• n – Stoffmenge
• T – Temperatur
• R – Universelle Gaskonstante
• V – Volumen

Der gemittelte Impulsübertrag ist im Produkt aus Gaskonstante und Temperatur der Zustandsgleichung enthalten. Beide Begriffe können durch Kolbenprobeexperimente ineinander überführt werden. Der Gasdruck kann äquivalent zur obigen Definition auch als hydrostatischer Spannungstensor, wie er aus der Mechanik bekannt ist, verstanden werden.

Absoluter / Relativer Druck

Der absolute Druck p_abs (engl. absolute pressure) bezieht sich auf das perfekte Vakuum. Bei diesem absolut molekülfreien Raum ist der Nullpunkt des absoluten Drucks definiert. Ein Beispiel für einen häufig „absolut“ angegebenen Wert ist der Luftdruck.

Als relativen Druck bezeichnet man eine relative Druckbeziehung zwischen zwei Volumina. Häufig wird der Umgebungsdruck als Bezugsgröße verwendet, jedoch bieten sich je nach Zusammenhang auch andere Bezugsgrößen an. Ein Beispiel für einen häufig „relativ“ angegebenen Druck ist der Fülldruck eines Reifens.

Zur Verdeutlichung: Füllt man bei einem Luftdruck von 1 bar einen Reifen mit einem relativen Druck von 2 bar, herrscht im Reifen ein absoluter Druck von 3 bar.

Einheiten

Die SI-Einheit des Druckes ist das Pascal mit dem Einheitenzeichen Pa. Ein Pascal entspricht einem Druck von einem Newton pro Quadratmeter:

$\mathrm {1\ Pa=1\ {\frac {N}{m^{2}}}=1\ {\frac {kg}{m\cdot s^{2}}}} \,$

Für höhere Drücke wird auch gerne die SI-konforme Einheit Bar verwendet, 1 bar entspricht dabei 100.000 Pa = 1.000 hPa oder 100 kPa.

Im Ingenieurwesen wird für Druck ebenso wie für mechanische Spannung auch die Einheit N/mm² verwendet:

$1\ {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {mm} ^{2}}}=1\ \mathrm {MPa} =10\ \mathrm {bar} \,$

Andere Druckeinheiten, die noch in Literatur zu finden, aber nicht SI-konform sind:

• 1 Meter Wassersäule (mWS) = 0,1 at = 9,80665 kPa
• 1 Physikalische Atmosphäre (atm) = 760 Torr = 101325 Pa = 1013,25 hPa = 101,325 kPa
• 1 psi = 1 lb.p.sq.in. = 144 lb.p.sq.ft = 0,07030695796 kp/cm² = 6894,757293168 Pa
• 1 Technische Atmosphäre (at) = 1 kp/cm² = ca. 98066,5 Pa
• 1 Torr = 1 mm Hg = 1 mm Quecksilbersäule = ca. 133,3 Pa (mm Hg ist innerhalb der EU gesetzliche Einheit zur Blutdruckmessung)
• 1 Zoll Quecksilber (inch of mercury, inHg) = 3386,389 Pa bei 0 °C
• 1 Micron = 1 µm Hg = 1 µm Quecksilbersäule = 1 mTorr (wird vereinzelt in der Vakuumtechnik verwendet)

Druckmessgeräte und -verfahren

Druckmessgeräte (Manometer) beruhen auf verschiedenen Messprinzipien:

• Zum Messen des Reifendrucks am Auto oder des Hauswasser- und Hausgasdrucks werden einfache Rohrfeder-Manometer oder Bourdonfeder-Manometer verwendet. Diesen liegt das Prinzip eines eingerollten Schlauchs zu Grunde, der sich unter Druck abrollt.
• Messgeräte für statische Drücke messen meist die Druckdifferenz anhand der Auslenkung einer mechanischen Trennung, indem der Druck mit einem Referenzdruck, etwa Vakuum verglichen wird. So messen etwa die Barometer und die Ringwaage, indem die Auslenkung direkt in eine Anzeige übersetzt wird, oder Differenzdrucksensoren, indem die Kraft der Auslenkung gemessen wird.
• Indirekte Druckmessung beruht auf Effekten der Teilchenzahldichte
• Messgeräte für Drücke in fließenden Medien (Fluiden) nutzen die Eigenheiten der Bernoulli-Gleichungen, etwa das Staurohr (Pitotrohr) oder die Venturidüse
• Blutdruckmessgeräte messen indirekt, indem akustische Ereignisse beim Entspannen der vorher komprimierten Adern aufgefangen werden
• Druckmessumformer sind Druckmessgeräte, die in industriellen Umgebungen eingesetzt werden können. Dazu wird das gewonnene Druckmesssignal in ein definiertes Signal umgeformt.

Andere Verfahren, um Drücke zu messen:

• Drucksensitive Farbe (englisch pressure sensitive paint, PSP) ist ein Messverfahren, um lokale Druckverteilungen an Grenzflächen sichtbar zu machen

Siehe auch

• Druckwandler
• Strahlungsdruck

Weblinks

• Versuche und Aufgaben zum Druck (LEIFI)
• Die angewendeten internationalen Druckeinheiten
• Online Druckumrechner