Kinetische Energie

Die kinetische Energie (von griechisch kinesis = Bewegung) oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird in der theoretischen Physik üblicherweise $T$ verwendet, in anderen Gebieten auch $E_{\mathrm {kin} }$ (z. B. in der physikalischen Chemie).

Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.

Das Konzept der kinetischen Energie wurde im 18. Jahrhundert von Émilie du Châtelet, aufbauend auf Überlegungen von Gottfried Wilhelm Leibniz, eingeführt (als vis viva, Lebendige Kraft). Bis zu diesem Zeitpunkt vertrat man die Ansicht von Newton, die Bewegungsenergie sei der Geschwindigkeit proportional.

Kinetische Energie in der klassischen Mechanik

Massenpunkt

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie T eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse $m$ und seiner Geschwindigkeit $v$. Es gilt:

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}.$

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse $m=1000\,\mathrm {kg}$ mit einer Geschwindigkeit von $v=100\,\mathrm {km} /\mathrm {h}$, hat es demzufolge eine kinetische Energie von $T=1/2\cdot 1000\,\mathrm {kg} \cdot \left(100\,\mathrm {km} /\mathrm {h} \right)^{2}\approx 1/2\cdot 1000\,\mathrm {kg} \cdot \left(27{,}78\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \right)^{2}=385\,800\,\mathrm {J}$.

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit $v$, sondern durch seinen Impuls $p$ beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie:

$T={\frac {p^{2}}{2m}}$

Einfache Herleitung

Wird ein Körper der Masse $m$ aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit $v$ beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit $W$ zufügen. Bei konstanter Kraft gilt:

$W=Fs$

Die dabei zurückgelegte Wegstrecke $s$ beträgt $s={\overline {v}}t={\tfrac {1}{2}}vt$ (mit der Durchschnittsgeschwindigkeit ${\overline {v}}$). Drückt man ferner die Kraft nach der Grundgleichung der Mechanik mit $F=ma$ aus, so erhält man

$W=ma\cdot {\frac {1}{2}}vt$

Weil bei einer gleichmäßigen Beschleunigung aus der Ruhe $at=v$ gilt, ergibt sich für die Beschleunigungsarbeit

$W={\frac {1}{2}}mv^{2}$.

Da bei der Beschleunigung aus der Ruhe die kinetische Energie anfangs den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert. Folglich gilt für einen Körper mit der Geschwindigkeit $v$:

$T=0+W={\frac {1}{2}}mv^{2}$.

Spezielle Koordinatensysteme

In speziellen Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:

• Kartesische Koordinaten (x, y, z):

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

• Ebene Polarkoordinaten ($r,\varphi$):

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)$

• Zylinderkoordinaten ($r,\varphi ,z$):

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

• Kugelkoordinaten ($r,\varphi ,\vartheta$):

$T={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}\left[{\dot {\vartheta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\vartheta \right]+{\dot {r}}^{2}\right)$

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit.

Starre Körper

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse $M$ und der Geschwindigkeit $v_{\mathrm {s} }$ seines Schwerpunktes kann separiert werden als die Summe seiner Energie aus der Bewegung seines Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt.

$T={\frac {1}{2}}M{v_{\mathrm {s} }}^{2}+{\frac {1}{2}}J_{\mathrm {s} }\omega ^{2}$

Hier ist $J_{\mathrm {s} }$ das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und $\omega$ seine Winkelgeschwindigkeit.

Mit dem Trägheitstensor $I$ wird dies allgemein geschrieben als

$T={\frac {1}{2}}M{v_{\mathrm {s} }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}I{\boldsymbol {\omega }}$

Hydrodynamik

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines $e$ oder $\epsilon$ ausgedrückt:

$e_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}\rho v^{2}$

Hierbei bezeichnet $\rho$ die Dichte.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik

Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich.

In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie T die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:

$T=m_{\mathrm {rel} }c^{2}-mc^{2}$,

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit, m die Ruhemasse und m_rel die relativistische Masse. Mit m_rel = γ · m lautet die Beziehung:

$T=\left(\gamma -1\right)mc^{2}$,

γ ist der Lorentzfaktor

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Aus der Taylor-Entwicklung nach $v/c$ erhält man

$T\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+\dots$

also für $v\ll c$ wieder die Newtonsche kinetische Energie.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, $\lim _{v\to c}T=\infty$, ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von $m=1\,\mathrm {kg}$ die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit).

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik.

Anwendungsbeispiele

Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons im elektrischen Feld.

Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung $e$ und der Masse $m$ linear mit der Beschleunigungsspannung $U$ zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie $E$ und der Ruheenergie $E$₀. Die kinetische Energie $eU$ ist also:

$e\cdot U=E-E_{0}$

Beachtet man, dass für die Gesamtenergie

$E^{2}=c^{2}p^{2}+E_{0}^{2}\quad (*)$

gilt ($p$: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang

$cp=E\cdot {\frac {v}{c}}$

besteht, folgt für die Gesamtenergie aus $(*)$ also:

$E(v)={\frac {E_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Berechnet man nun die Differenz aus $E(v)$ und $E_{0}$, setzt den Ausdruck gleich $e\cdot U$ und löst nach $v$ auf, erhält man abschließend:

$v=c\cdot {\sqrt {1-{\left({\frac {1}{1+{\frac {eU}{E_{0}}}}}\right)}^{2}}}$ mit der Ruheenergie eines Elektrons $E_{0}=0{,}51\,\mathrm {MeV}$

Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.

Der Large Hadron Collider führt Protonen eine Energie von 7 TeV zu. Die Protonen (Ruheenergie 940 MeV) werden dabei auf das 0,999999991-Fache der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert $\langle {\hat {T}}\rangle$ der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse $m$, welches durch die Wellenfunktion $\vert \psi \rangle$ beschrieben wird, gegeben durch

$\langle {\hat {T}}\rangle ={\frac {1}{2m}}\langle \psi |{\hat {P}}^{2}|\psi \rangle$,

wobei ${\hat {P}}^{2}$ das Quadrat des Impuls-Operators des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte $\rho (\mathbf {r} )$ ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für $N$ Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall $N=1$ ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

$T[\rho ]=\int {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}\mathrm {d} ^{3}r$

geschrieben werden, wobei $T[\rho ]$ das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auch

• Potentielle Energie
• Energieerhaltungssatz
• Kinetische Energie in der Geographie: Schleppkraft