Kinematik

Die Kinematik (altgriech. κίνημα kinema ‚Bewegung‘, von κινεῖν kinein ‚bewegen‘) ist die Lehre der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch die Größen Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung, ohne die Ursachen der Bewegung (Kräfte) zu betrachten. Die Bewegung ist im Allgemeinen durch Zwangsbedingungen, z. B. die konstante Fadenlänge bei einem Pendel, eingeschränkt. Durch solche kinematischen Bindungen reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade eines Körpers.

Die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von Kräften ist Gegenstand der Dynamik. Kinematik und Dynamik sind Teilgebiete der Mechanik. Die kinematische Analyse ist die Vorstufe zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen z. B. nach dem d'Alembertschen Prinzip.

Den Größen Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer geradlinigen Bewegung entsprechen bei einer Drehbewegung die Größen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung.

Bewegung des Massenpunkts

Die Position eines Punktes wird durch drei Koordinaten im dreidimensionalen Raum festgelegt. Bei einem starren Körper genügen drei weitere Freiheitsgrade für die Rotation (Drehungen im dreidimensionalen Raum), um die Lage des gesamten Körpers zu beschreiben.

Die Grundgleichungen der Kinematik einer Punktmasse definieren die Geschwindigkeit ${\vec {v}}(t)$ und die Beschleunigung ${\vec {a}}(t)$ als erste und zweite Ableitungen des Ortsvektors ${\vec {r}}(t)$ nach der Zeit $t$:

${\vec {v}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}$,

${\vec {a}}(t)={\ddot {\vec {r}}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}$.

Ist die Bewegung durch kinematische Bindungen eingeschränkt, lässt sich der Ortsvektor als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten, die im Vektor ${\vec {q}}(t)$ zusammengefasst werden, darstellen.

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}({\vec {q}}(t))$

Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors zu:

${\vec {v}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,{\dot {q}}_{i}$.

Durch nochmalige Ableitung erhält man die Beschleunigung:

${\vec {a}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,{\ddot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {^{2}}{\vec {r}}}{\partial q_{i}^{2}}}\,{\dot {q}}_{i}^{2}$.

Zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen, z. B. nach dem d'Alembertschen Prinzip, wird die mit den kinematischen Bindungen verträgliche virtuelle Verschiebung benötigt.

$\delta {\vec {r}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,\delta q_{i}$.

Relativbewegung

Die Bewegung von Punkten wird häufig in Bezugssystemen beschrieben, die selbst gegenüber einem anderen System beschleunigt sind.

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Größen im Basissystem die normale Notation im verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. prime). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“.

	Bedeutung
${\vec {r}}$	Position des Objektes in S (Basissystem).
${\vec {r}}{\;'}$	Relativposition des Objektes in S'.
${\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}$	Geschwindigkeit des Objektes in S
${\vec {v}}{\;'}$	Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}$	Beschleunigung des Objektes in S
${\vec {a}}{\;'}$	Relativbeschleunigung des Objektes in S'
${\vec {r}}_{O}$	Position des Ursprungs von S' in S
${\vec {v}}_{O}={\dot {\vec {r}}}_{O}$	Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
${\vec {a}}_{O}={\dot {\vec {v}}}_{O}$	Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
${\vec {\omega }}$	Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}$	Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ und die Winkelbeschleunigung ${\dot {\vec {\omega }}}$ des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

	kinematische Größen in S
Position	${\vec {r}}={\vec {r}}_{O}+{\vec {r}}{\;'}$
Geschwindigkeit	${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'}+{\vec {v}}{\;'}$
Beschleunigung	${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{O}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'}+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}+{\vec {a}}{\;'}$

Kinematik des starren Körpers

Der Vektor $r_{P}$ zum Punkt P eines starren Körpers ist in einem körperfesten Bezugssystem konstant. Die Bewegung dieses Punkts in einem Basissystem berechnet sich zu:

	kinematische Größen in S
Position	${\vec {r}}={\vec {r}}_{O}+{\vec {r}}_{P}$
Geschwindigkeit	${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{P}$
Beschleunigung	${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{O}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{P})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}_{P}$

Absolutkinematik

Die Bewegung starrer Körper, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, ist die Grundlage zur Analyse von Mehrkörpersystemen. Hierzu werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des starren Körpers j relativ zum Körper i betrachtet. Die Relativbewegung kann durch die Gelenk-Koordinaten (verallgemeinerte Koordinaten) und deren Ableitungen berechnet werden. Die Bewegungsgrößen des Körpers i im Inertialsystem werden als bekannt vorausgesetzt.

${\vec {r}}_{j}={\vec {r}}_{i}+{\vec {r}}_{i,j}$

${\vec {v}}_{j}={\vec {v}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {{\vec {r}}_{i,j}}+{\vec {v}}_{i,j}$

${\vec {a}}_{j}={\vec {a}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times ({\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j})+2{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {v}}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j}+{\vec {a}}_{i,j}$

${\vec {\omega }}_{j}={\vec {\omega }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i,j}$

${\vec {\alpha }}_{j}={\vec {\alpha }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {\omega }}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i,j}$

Mit:

${\vec {r}}_{i},{\vec {r}}_{j}$: Ortsvektoren zu den Körpern i, j

${\vec {r}}_{i,j}$: Vektor vom Körper i zum Körper j

${\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{j}$: Absolutgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\vec {a}}_{i},{\vec {a}}_{j}$: Absolutbeschleunigungen der Körper i, j

${\vec {v}}_{i,j}$: Geschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\vec {\omega }}_{i},{\vec {\omega }}_{j}$: absolute Winkelgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\vec {\omega }}_{i,j}$: Winkelgeschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\vec {\alpha }}_{i},{\vec {\alpha }}_{j}$: absolute Winkelbeschleunigungen der Körper i, j

${\vec {\alpha }}_{i,j}$: Winkelbeschleunigung des Körpers j relativ zum Körper i

Anwendungen

Bei Mehrkörpersystemen ist die Untersuchung räumlicher Mechanismen Gegenstand der Kinematik. Diese Mechanismen sind häufig aus Gelenken und Verbindungen aufgebaut. Beispiele sind Roboter, kinematische Ketten und Radaufhängungen in der Automobilindustrie. Mit kinematischen Methoden (in der Robotik siehe Direkte Kinematik) wird die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt und Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aller Körper berechnet.

Weblinks

 Wikibooks: Kinematik – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikiversity: Kinematik – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

• Die Kinematik des Massepunktes auf einer Kreisbahn Animation von BIGS
• Die Kinematik des starren Körpers (Memento vom 12. Februar 2010 im Internet Archive)
• Kinematik des starren Körpers. U. Zwiers (PDF-Datei 354 KB)
• Kinematik und Computeranimation
• Digitalisierte Bücher aus der Geschichte der Kinematik
• Kinematik auf Lern-Online.net