Rotation (Physik)

Rotation, auch Rotationsbewegung, Drehung, Drehbewegung oder Kreisbewegung ist die Bewegung eines Punktes oder Körpers um eine Rotationsachse.

Rotierende Ringe

Der Begriff der Rotation findet vor allem Verwendung in der Physik und hier im Speziellen in der Mechanik bzw. Kinematik. In der Astronomie sind Veränderungen der Erdrotation ein wichtiges Forschungsthema. Anwendungen aus dem Alltag und oft zur anschaulichen Erklärung genutzte Beispiele, in der die Rotation eine wichtige Rolle spielt, sind Kreisel, oder Karussells.

Kreisbahn und Rotationsachse

Charakteristisch für eine Rotation ist die Kreisbahn der jeweiligen Teilchen auf einer zweidimensionalen Bewegungsebene. Für alle Punkte des Systems liegt eine ausgezeichnete Gerade, die Rotationsachse, senkrecht zur Drehebene.

Freiheitsgrade und Achsenbewegung

Ein starrer Körper im Raum hat maximal drei Rotationsfreiheitsgrade.

Eine Rotation mit nicht-konstanter Achse ist möglich und wird umgangssprachlich als „Torkeln“ oder „Eiern“ bezeichnet. Techniker und Wissenschaftler sprechen hingegen - je nach Art der Achsenbewegung - von Taumeln der Achse oder von sekundären Achsfehlern, bzw. von Präzession oder Nutation.

Vergleich mit der Translationsbewegung

Die folgende Tabelle vergleicht die charakteristischen Größen und die Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung mit jenen bei einer Rotationsbewegung. Aufgrund der Analogien lässt sich jeder Satz über die Translation durch Ersetzen der entsprechenden Größen in einen Satz über die Rotation umwandeln.

Translationsbewegung	Rotationsbewegung
Ortsvektor : ${\vec {r}}$	Drehwinkel $\varphi$ bzw. Drehmatrix : $A$
Geschwindigkeit : ${\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}$(1)	Winkelgeschwindigkeit : ${\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}$(3)
Beschleunigung : ${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}$	Winkelbeschleunigung : ${\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}$
Masse : $\ m$ (Skalar)	Trägheitstensor : $\mathbf {\Theta }$ (Tensor zweiter Stufe, in Sonderfällen Skalar $J$ )(2)
Kraft : ${\vec {F}}=m\,{\vec {a}}$	Drehmoment : ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$
Impuls : ${\vec {p}}=m\,{\vec {v}}$	Drehimpuls(2) : ${\vec {L}}=\mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}$
Antrieb (linear) / Kraftstoß: $\Delta {\vec {p}}=\int {\vec {F}}\mathrm {d} t$	Antrieb (Rotation) : $\Delta {\vec {L}}=\int {\vec {M}}\mathrm {dt}$
Kinetische Energie : $E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\,{\vec {v}}^{2}\equiv {\frac {1}{2}}{\vec {v}}\cdot {\vec {p}}$	Rotationsenergie : $E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}$
Arbeit : $W=\int {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$	Arbeit bei Drehbewegung : $W=\int {\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}\ \mathrm {d} t$
Leistung : $P={\dot {W}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$	Leistung bei Drehbewegung : $P={\dot {W}}={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$
Bewegungsgleichungen
Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft (Impulssatz) : ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$	Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft (Drehimpulssatz) : ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$
Im Falle konstanter Masse $m$ (Zweites newtonsches Axiom) : ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	Im Falle konstanten Trägheitsmoments $J$ :(2) ${\vec {M}}=J{\vec {\alpha }}$

⁽¹⁾ Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren zeitliche Änderung (Ableitung ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$) handelt. Der Punkt zwischen zwei Vektoren bedeutet das Skalarprodukt.

⁽²⁾ Im Allgemeinen zeigen ${\vec {\omega }}$ und ${\vec {L}}=\mathbf {\Theta } {\vec {\omega }}$ nicht in die gleiche Richtung (ein rotierender Körper „eiert“ oder zeigt Unwucht), daher ist das Trägheitsmoment im Allgemeinen nicht konstant. Das Äquivalent zur Masse der Translationsbewegung ist daher ein Tensor 2. Stufe – der Trägheitstensor. Ein konstantes Trägheitsmoment tritt genau dann auf, wenn der Körper um eine seiner Hauptträgheitsachsen rotiert.

⁽³⁾ ausgedrückt in den Ableitungen der Eulerwinkel. ${\vec {\mathbf {u} }}_{i}$ Drehachsen (Einheitsvektoren).

Rotation starrer Körper

Die Rotation starrer Körper folgt den eulerschen Gleichungen, zu denen es keine Lösung in Form einer einfachen Formel gibt. Selbst wenn keine äußeren Kräfte auf den Körper wirken, zeigt die Rotationsachse in den meisten Fällen eine komplexe Bewegung, die Nutation genannt wird. Es gibt jedoch für die technische Anwendung bedeutsame Spezialfälle, bei denen sich die eulerschen Gleichungen soweit vereinfachen, dass sich einfache Lösungen ergeben. In diesen Fällen sind die Trajektorien des Systems periodisch.

Fall von Euler

Der Fall von Euler beschreibt einen Kreisel, der genau in seinem Schwerpunkt aufgehängt ist. Unabhängig von der Form des Kreisels ist der Fall integrabel, da es mehr Erhaltungsgrößen als Freiheitsgrade gibt: die Energie und die Drehimpulse bezüglich aller drei Hauptträgheitsachsen des Körpers.

Ist die Masse des rotierenden Körpers rings um die Drehungsachse symmetrisch verteilt, so wirken auf die Achse keinerlei aus der Rotation entspringende Kräfte, da ja die Schwungkraft (Zentrifugalkraft) eines jeden Massenteilchens durch eine gleiche und entgegengesetzte aufgehoben wird; eine solche Achse wird eine freie Achse genannt.
Da jedes um eine freie Achse rotierende Massenteilchen der Trägheit folgend in seiner zur Achse senkrechten Drehungsebene zu verharren strebt, muss auch die freie Achse selbst die Tendenz zeigen, ihre Richtung im Raum zu bewahren und wird so einer Kraft, die sie aus dieser Richtung bringen will, einen umso größeren Widerstand entgegensetzen, je größer das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers sind. Daher kommt es, dass ein hinlänglich rasch rotierender Kreisel nicht umfällt, selbst wenn seine Achse schief steht, wie auch Räder, Münzen etc. nicht umfallen, wenn man sie auf ihrem Rand rollen oder um den vertikalen Durchmesser „tanzen“ lässt.

Die Wirkung der störenden Kraft auf den Kreisel äußert sich vielmehr dadurch, dass dessen Achse in einer zur Richtung der störenden Kraft senkrechten Richtung ausweicht und in langsamer Bewegung die Oberfläche eines Kegels beschreibt, ohne dass die Achse ihre Neigung gegen die horizontale Ebene ändert. Diese Bewegung wird als Präzession bezeichnet.

Der eulersche Kreisel findet z.B. in Kreiselkompassen und gyroskopischen Steuersystemen technische Anwendung. Auch die Räder von Fahrrädern und Motorrädern sind in guter Näherung eulersche Kreisel und dienen neben der Spurführung des Fahrzeugs durch ihr Bestreben, den Drehimpuls zu erhalten, zur Stabilisierung des Fahrzeugs. Siehe hierzu auch: Fahrradfahren.

Fall von Lagrange

Für den Fall von Lagrange wird die Übereinstimmung der Trägheitsmomente bezüglich zweier Hauptachsen angenommen. Dies wird von radialsymmetrischen Körpern erfüllt. In diesem Fall gibt es mit drei Erhaltungsgrößen ebenso viele wie Freiheitsgrade: die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls bezüglich der z-Achse (in Richtung des Kraftfeldes). Dieser Fall wird durch einen typischen Spielzeugkreisel realisiert, wenn man dessen Aufsetzpunkt am Boden fixiert.

Fall von Kowalewskaja

Der Kowalewskaja-Kreisel hat bezüglich zweier seiner Hauptachsen gleiche Trägheitsmomente und ein genau doppelt so großes bezüglich der dritten Hauptachse. Die Erhaltungsgrößen sind die Energie, der Gesamtdrehimpuls und ein komplexer mathematischer Ausdruck, für den es keine allgemeinverständliche Entsprechung gibt.

Fall von Goryachew-Chaplygin

Der Fall von Goryachew-Chaplygin ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles, der statt doppelt so großem dritten Trägheitsmoment ein viermal so großes fordert. In diesem Fall gibt es allerdings nur dann eine dritte Erhaltungsgröße, wenn der Drehimpuls um die z-Achse verschwindet.

Unabhängig von anderen Einflüssen ist jeder Kreisel quasi-integrabel, bei dem entweder sehr wenig oder sehr viel Energie (im Vergleich zur potentiellen Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt) in der Rotation steckt. Die chaotischsten Bewegungen bei den nicht integrablen Typen treten unabhängig von der Form dann auf, wenn die kinetische Energie des Kreisels gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen.

Literatur

• Peter Brosche, Helmut Lenhardt: Die Polbewegung aus den Beobachtungen von F.W. Bessel 1842–1844. In: zfv, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement, Heft 6/2011, S. 329–337, DVW e.V. (Herausgeber), Wißner-Verlag, Augsburg 2011 , ISSN 1618-8950, über Erdrotation

Weblinks

Wiktionary: Rotation – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: rotieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen