Elektromagnetische Welle

Als elektromagnetische Welle bezeichnet man eine Welle aus gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern. Beispiele für elektromagnetische Wellen sind Radiowellen, Mikrowellen, Wärmestrahlung, Licht, Röntgenstrahlung und Gammastrahlung. Freie elektromagnetische Wellen im Vakuum sind Transversalwellen. Die Wechselwirkung elektromagnetischer Wellen mit Materie hängt von ihrer Frequenz ab, die über viele Größenordnungen variieren kann. Die Transversalität ist unter Umständen verletzt, z. B., wenn - wie bei Plasmaschwingungen (Plasmonen) - Träger chemischer Eigenschaften, z. B. metallische oder gebundene Elektronen beteiligt sind. Entsprechend unterscheiden sich die Quellen, Ausbreitungseigenschaften und Wirkungen der Strahlung in den verschiedenen Bereichen des elektromagnetischen Spektrums.

Anders als zum Beispiel Schallwellen benötigen elektromagnetische Wellen kein Medium, um sich auszubreiten. Sie pflanzen sich im Vakuum unabhängig von ihrer Frequenz mit Lichtgeschwindigkeit fort. In Materie ist die Lichtgeschwindigkeit vermindert. Dies wird durch den sog. Brechungsindex $n$ ausgedrückt.

Als Transversalwellen zeigen elektromagnetische Wellen das Phänomen der Polarisation. Im freien Raum stehen die Vektoren des elektrischen und des magnetischen Feldes senkrecht aufeinander und auf der Ausbreitungsrichtung. Diese Transversalität der freien elektromagnetischen Wellen macht sich explizit im sogenannten Fernfeld der Multipolstrahlung bemerkbar, was lichtelektrisch in die Abbésche Sinusbedingung der Mikroskopie eingeht ( $d=\lambda /n\sin(\alpha )$, wobei $d$ der aufzulösende Abstand, $n\cdot \sin(\alpha )$ die sog. numerische Apertur, $\alpha$ der zugehörige Beugungswinkel, $\lambda$ die Lichtwellenlänge und $n$ der Brechungindex der Immersionsflüssigkeit ist.)

Die typische Auflösungsgrenze der Fernfeldmikroskopie ist also $d\cong {\frac {\lambda }{2}}$. Höhere Auflösungen kann man mit der sog. Nahfeldmikroskopie erzielen, wobei man nicht - wie bei der Abbéschen Bedingung - das Fernfeld ausnützt, sondern das Nahfeld der Strahlung, das u.U. kleinere Abstände als die halbe Lichtwellenlänge auflöst, wobei aber u.a. die oben erwähnten Plasmon-Effekte explizit eingehen können.

Elektromagnetische Wellen entstehen durch die Abstrahlung von Photonen aus angeregten Elementarteilchen.

Elektrisches Feld (E, blau) und magnetisches Feld (B, rot) einer sich im Vakuum nach rechts ausbreitenden in vertikaler Richtung linear polarisierten Welle entlang der Ausbreitungsrichtung für einen bestimmten Zeitpunkt, λ ist die Wellenlänge. Links die Schwingungsrichtung von Ladungsträgern, die (im Fernfeld) solch eine Feldverteilung hervorrufen.
Rechts der Blick entgegen der Ausbreitungsrichtung. E, B und der Wellenvektor k stehen paarweise senkrecht aufeinander und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, was auch als „Transversalität“ der freien elektromagnetischen Welle bezeichnet wird. (Benutzt wird hier das cgs-System, im SI-System hat man analoge Beziehungen.)

Entstehung

Elektromagnetische Wellen können durch unterschiedliche Ursachen entstehen:

• Spontane Emission, wenn sich die Energie eines Atoms verringert. Dabei sind Energieänderungen der Atomhülle meist um Größenordnungen geringer als Energieänderungen des Atomkerns. Wird das Atom während der Zeitdauer der Energieabstrahlung „in Ruhe gelassen“ (wie in verdünnten Gasen), entsteht ein scharfes Linienspektrum. Das ist bei hohem Druck, wie beispielsweise in Höchstdrucklampen und beim Xenonlicht, nicht der Fall, erst recht nicht in Festkörpern. Dann können wegen Druckverbreiterung keine wohldefinierten Spektrallinien mehr gemessen werden.
• Bremsstrahlung: Elektromagnetische Wellen entstehen auch, wenn Ladungsträger stark beschleunigt werden. Das geschieht beispielsweise im Plasma der Sonne oder in der Röntgenröhre. Über die Wellenlänge dieser Bremsstrahlung lassen sich nur statistische Aussagen machen, vor allem dann, wenn sich sehr viele Ladungsträger (meist Elektronen, im Sonnenplasma aber auch Protonen und andere geladene Teilchen) in unterschiedliche Richtungen bewegen und unterschiedlichen Bremskräften ausgesetzt sind (siehe Wärmestrahlung).
• Molekülschwingungen
• Larmorpräzession eines Teilchens mit einem magnetischen Dipolmoment um die Richtung eines von außen angelegten Magnetfelds.
• Bewegungen von Elektronen in elektrischen Leitern; in Antennen erfolgt diese periodisch, bei Blitzen nichtperiodisch.
• Bei der Paarvernichtung wie in der Positronen-Emissions-Tomographie wird Ruhemasse in Strahlungsenergie umgewandelt.
• Ungeklärte Ursachen wie bei Sonolumineszenz oder Gammablitz

Eigenschaften

Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen

Empfänger, mit denen elektromagnetische Strahlung erkannt oder gemessen werden kann, heißen Sensoren, im speziellen Fall von Tieren Photorezeptoren, den maßgebenden Elementen des Auges. Sichtbares Licht wird in der Technik durch Photozellen erfasst, Radiowellen durch Antennen.

An einer elektromagnetischen Welle lassen sich deren Geschwindigkeit messen, einerseits die im Vakuum universale Konstante Lichtgeschwindigkeit, sowie den in einem durchlässigen (durchsichtigen) Medium allenfalls davon abweichenden Wert. Messbar ist ferner die Intensität, gleich bedeutend mit der Leistung, bzw. mit der pro Zeit-Einheit durch einen bestimmten Querschnitt transportierten Energie.

Um die Wellenlänge zu messen, gibt es unterschiedlich geeignete Methoden, je nachdem, ob es sich um kürzere oder längere Wellenlängen handelt, praktisch fast immer um eine Vielfalt von solchen, wie etwa beim weißen Licht, das sich aus den elektromagnetischen Wellen sämtlicher Farben zusammensetzt.

Wellencharakter

Physikalisch betrachtet handelt es sich bei elektromagnetischen Wellen um sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen elektrisches und magnetisches Feld bei linear polarisierten Wellen senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis, welches durch die Wellenimpedanz gegeben ist. Insbesondere verschwinden elektrisches und magnetisches Feld an denselben Orten zur selben Zeit, so dass die häufig gelesene Darstellung, dass sich elektrische und magnetische Energie zyklisch ineinander umwandeln, im Fernfeld nicht richtig ist. Sie stimmt allerdings zum Beispiel für das Nahfeld eines elektromagnetische Wellen erzeugenden elektrischen Dipols oder Schwingkreises.

Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den maxwellschen Gleichungen: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für periodisch (insbesondere sinusförmig) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle.

Beispiele für Experimente, in denen der Wellencharakter zum Tragen kommt:

• Erscheinungen wie Kohärenz und Interferenz lassen sich nur mit dem Wellenmodell erklären, weil dafür die Phase der Welle gebraucht wird.
• Man könnte die von Rundfunksendern emittierte Strahlung als sehr große Anzahl von Photonen betrachten. Es gibt allerdings kein Messgerät, das derart energiearme Photonen einzeln nachweisen könnte. Es ist auch deshalb nicht zielführend, hier das Teilchenmodell zur Erklärung von Effekten heranzuziehen. Da die Antennen etwa die Größe der Wellenlänge haben, muss man für alle physikalischen Erklärungen die Welleneigenschaft der Strahlung betrachten.

Teilchencharakter

Für bestimmte Eigenschaften elektromagnetischer Wellen (z. B. Photoelektrischer Effekt) genügt das oben beschriebene Wellenmodell nicht mehr, um alle beobachtbaren Phänomene zu beschreiben, vielmehr treten die Teilcheneigenschaften einzelner Photonen, der Quanten des elektromagnetischen Feldes, in den Vordergrund. Der Wellencharakter (etwa Interferenz) bleibt aber voll erhalten. Man spricht deshalb vom Dualismus von Teilchen und Welle.

Im Rahmen dieser Teilchenvorstellung des Lichtes wird jeder Frequenz $f$ die Energie eines einzelnen Photons $h\cdot f$ zugeordnet, wobei $h$ das Plancksche Wirkungsquantum ist. Andererseits haben auch Teilchen, wie zum Beispiel über mehrere Atome hinweg bewegte Elektronen, Welleneigenschaften (siehe auch Elektrischer Strom). Beide Aspekte elektromagnetischer Wellen werden theoretisch im Rahmen der Quantenelektrodynamik erörtert.

Beispiele für Wirkungen, in denen der Teilchencharakter zum Tragen kommt:

• Beim Compton-Effekt trifft eine elektromagnetische Welle mit etwa 20 pm Wellenlänge auf ein Elektron, dessen Wirkungsquerschnitt um etwa drei Größenordnungen kleiner ist. Zur Erklärung des physikalischen Ablaufes der Wechselwirkung muss also der Teilchencharakter des Lichts herangezogen werden. Jeder Versuch, die beobachtete Änderung der Wellenlänge mit dem Wellenmodell zu erklären, scheitert.
• Beim photoelektrischen Effekt ist die kinetische Energie nicht von der Amplitude der Strahlung abhängig, sondern wächst linear mit der Frequenz. Dies ist nur über den Teilchencharakter erklärbar.
• Die Erzeugung von Laserlicht beruht auf den Eigenschaften einzelner Atome, die jeweils erheblich kleiner sind als die erzeugte Wellenlänge. Deshalb muss man für die Erklärung der Herstellung auf das Photonenmodell zurückgreifen.

Photonen mit genügender Energie (etwa von einigen Elektronvolt aufwärts) wirken auf Materie ionisierend und können chemische (photochemische) Wirkungen auslösen, wenn die Bindungsenergien überschritten werden (Fotochemie). Diese chemische Wirksamkeit wird gelegentlich als Aktinität bezeichnet.

Wellen im Medium

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\text{med}}$ in einem Medium ist typischerweise geringer als im Vakuum. Sie hängt in linearer Näherung von der Permittivität $\varepsilon$ und der Permeabilität $\mu$ des Stoffes ab,

$c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,,$

und ist damit abhängig von der Frequenz der Welle (siehe Dispersion) und bei doppelbrechenden Medien auch von ihrer Polarisation und Ausbreitungsrichtung. Die Beeinflussung der optischen Eigenschaften eines Mediums durch statische Felder führt zur Elektrooptik bzw. Magnetooptik.

Eine direkte Krafteinwirkung (z. B. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium erfolgen (siehe Brechung, Reflexion, Streuung und Absorption) bzw. vermittelt werden (siehe Nichtlineare Optik und Akustooptischer Modulator).

Spektrum

Elektromagnetische Wellen sind im elektromagnetischen Spektrum nach der Wellenlänge sortiert. Eine Liste von Frequenzen und Beispiele elektromagnetischer Wellen gibt es im entsprechenden Artikel.

Das am besten bekannte und am meisten studierte Beispiel einer elektromagnetischen Welle ist das sichtbare Licht. Es stellt nur einen winzigen Teil des gesamten Spektrums dar und ist, mit Ausnahme der Infrarotstrahlung (Wärme), der einzige Bereich, der von Menschen ohne technische Hilfsmittel wahrgenommen werden kann. Bei niedrigeren Frequenzen ist die Energie der Photonen zu gering, um chemische Prozesse auslösen zu können. Bei höheren Frequenzen hingegen beginnt der Bereich der ionisierenden Strahlung (Radioaktivität), bei der ein einziges Photon Moleküle zerstören kann. Dieser Effekt tritt bereits bei Ultraviolett-Strahlung auf und ist für die Bildung von Hautkrebs bei übermäßiger Sonnenexposition verantwortlich.

Beim Licht bestimmt die Frequenz die Farbe des Lichtes und nicht, wie oft fälschlicherweise angenommen, die Wellenlänge. Deutlich wird dies, wenn man Licht in optisch dichteren Medien beobachtet, wo es sich mit einer geringeren Geschwindigkeit als c ausbreitet. Die Frequenz wird beim Übergang in optisch dichtere Medien nicht beeinflusst und folglich muss es laut $c=\lambda \cdot f\$ eine kürzere Wellenlänge haben. Da sich die Farbe aber im Medium nicht ändert, ist also nur die Frequenz charakteristisch für die Farbe des Lichts. In Spektren wird aus historischen Gründen jedoch immer noch die Wellenlänge als charakteristische Eigenschaft für Licht angegeben. Dieser Zusammenhang zwischen Farbe und Wellenlänge gilt dann aber nur im Vakuum (und in guter Näherung in Luft). Monochromatisches Licht, also Licht mit nur einer einzigen Wellenlänge, hat stets eine Spektralfarbe.

Biologische und chemische Wirkung

Empfindlichkeitsverteilung der drei Zapfenarten beim Menschen: Schwarz gezeichnet ist die Empfindlichkeit der Stäbchen. Andere Primaten haben abweichende Empfindlichkeitsverteilungen.

Bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit biologischer Materie muss grundsätzlich zwischen ionisierender Strahlung (größer 5 eV) und nicht-ionisierender Strahlung unterschieden werden. Bei der ionisierenden Strahlung reicht die Energie aus, um Atome oder Moleküle zu ionisieren, d.h. Elektronen herauszuschlagen. Dadurch werden freie Radikale erzeugt, die biologisch schädliche Reaktionen hervorrufen. Erreicht oder übersteigt die Energie von Photonen die Bindungsenergie eines Moleküls, kann jedes Photon ein Molekül zerstören und es können biologische Wirkungen wie beispielsweise eine beschleunigte Alterung der Haut oder Hautkrebs auftreten. Chemische Bindungsenergien stabiler Moleküle liegen oberhalb von etwa 3 eV pro Bindung. Soll es zu Moleküländerungen kommen, müssen Photonen mindestens diese Energie besitzen, was violettem Licht oder höherfrequenter Strahlung entspricht.

Bei der Wechselwirkung von nicht-ionisierender Strahlung unterscheidet man zwischen thermischen Effekten (Strahlung wirkt erwärmend, weil sie durch das Gewebe absorbiert wird), direkte Feldeffekte (induzierte Dipolmomente, Änderung Membran-Potentialen), Quanten-Effekte und Resonanzeffekte (Synchronisation mit Schwingung der Zellstruktur). Darüber hinaus werden mehrere weitergehende indirekte Effekte diskutiert.

Kleine Mengen Photonen mit einer Frequenz unterhalb von 4·10¹⁴ Hz (Wellenlänge über 0,7 µm und Energie unter 1,7 eV; im oberen Bild rechts vom sichtbaren Licht, also Mikrowellen und Rundfunkwellen) können keine chemischen Reaktionen an Molekülen bewirken, die bei Zimmertemperatur stabil sind. Damit kann man nur Wasserstoffbrückenbindungen beeinflussen, die deutlich schwächer als die Bindungskräfte innerhalb eines Moleküls sind und wegen der ständigen Bewegung der Atome nur Bruchteile einer Sekunde bestehen bleiben.

Kann man das komplette elektromagnetische Spektrum "sehen"? Das Molekül des Fotorezeptors Rhodopsin benötigt je nach Bauart mindestens ein Photon der Wellenlänge 700 nm oder kürzer, um mit einer Konformationsänderung zu reagieren, die dann vom Nervensystem weiter verarbeitet wird. Diese notwendige Wellenlänge kann durch Modifikationen der Molekülbauform geändert werden, wie im Bild rechts zu sehen ist. Die Mindestenergie der Photonen ist auch der Grund, wieso kein Lebewesen existiert, das Infrarot durch Nachweis von Einzelphotonen sehen kann. Entsprechend können Lebewesen ohne technische Hilfsmittel auch nicht auf Radiowellen geringer Intensität reagieren.

Abgrenzung

Sehr viele Photonen mit Frequenzen unterhalb von 10¹⁴ Hz, beispielsweise im Mikrowellenherd, bewirken einen allgemeinen Energieeintrag und damit eine Erhöhung der Temperatur. Diese kann – wie jede anders verursachte Überhitzung auch – die Struktur biologischer Moleküle ändern. Das hat mit den Eigenschaften von Photonen nichts zu tun.

Das empfindliche Grubenorgan gewisser Schlangen reagiert nicht auf einzelne Photonen wie die Zellen der Netzhaut, sondern auf die Temperaturerhöhung, die durch die Gesamtenergie aller auftreffenden Photonen eingebracht wird.

Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie

→ Hauptartikel: Lichtgeschwindigkeit und Spezielle Relativitätstheorie

Wie schnell sich Licht ungefähr ausbreitet, war seit 1676 bekannt. Allerdings fehlte bis 1865 jeder Zusammenhang zu anderen physikalischen Erscheinungen. Diesen konnte damals James Clerk Maxwell herstellen, der aus gewissen mathematischen Beziehungen seiner Maxwell-Gleichungen die Existenz elektromagnetischer Wellen vorhersagte. Deren Geschwindigkeit stimmte mit der damals bereits gut bekannten Lichtgeschwindigkeit so gut überein, dass sofort ein Zusammenhang hergestellt wurde. Diese Wellen konnte Heinrich Hertz in den 1880er-Jahren experimentell nachweisen.

In der klassischen Mechanik werden Wellen (in Ausbreitungsrichtung x) durch die Wellengleichung

${\frac {\partial ^{2}{\vec {f}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {f}}$

beschrieben. Hierbei bezeichnet ${\vec {f}}$ die Auslenkung der Welle und $c$ ihre Phasengeschwindigkeit, die hier als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle interpretiert werden kann.

Aus den Maxwellgleichungen lässt sich nun im Vakuum für die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ die Beziehung

${\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {E}}$

herleiten (in SI-Einheiten; siehe Abschnitt Mathematische Beschreibung). Die elektrische Feldstärke verhält sich in dieser Beziehung also wie eine Welle; die Größe

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

tritt als Ausbreitungsgeschwindigkeit auf. Diese Geschwindigkeit $c$ hat eine bemerkenswerte Form: Sie ist ausschließlich aus fundamentalen Naturkonstanten zusammengesetzt, die unabhängig vom Bezugssystem des Betrachters sind, was sich folglich auf die Größe $c$ überträgt.

Situation am Teich: Der bewegte Beobachter sieht die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wasserwelle um seine eigene Geschwindigkeit verringert. Maxwell sagt für elektromagnetische Wellen voraus, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit c für beide Beobachter gleich ist.

Grundlage der klassischen Mechanik ist das galileische Relativitätsprinzip, das besagt, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen – solchen Bezugssystemen, in denen Körper, auf die keine Kraft wirkt, sich geradlinig fortbewegen – dieselbe Form haben (Galilei-Invarianz). Ein sich zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegendes Bezugssystem ist ebenfalls ein Inertialsystem.

Nach diesem Relativitätsprinzip wäre nun zu erwarten, dass ein Beobachter, der sich mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zur elektromagnetischen Welle bewegt, eine unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit misst, wie etwa auch ein mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegender Spaziergänger am Rande eines Teiches eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wasserwelle auf dem Teich feststellen würde als ein ruhender Beobachter. Die Maxwellgleichungen sagen aber für beide Beobachter die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit voraus – sie sind nicht Galilei-invariant.

Dieser Widerspruch zur klassischen Mechanik löst sich allerdings nicht zu Ungunsten der Maxwellgleichungen auf: Die Tatsache, dass sich elektromagnetische Wellen (also Licht in einem weiter gefassten Sinne) in allen Inertialsystemen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten – die vielzitierte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit − bildet ein Postulat Einsteins 1905 veröffentlichter spezieller Relativitätstheorie, die experimentell sehr gut bestätigt ist. An Stelle der Galilei-Invarianz tritt die sogenannte Lorentz-Invarianz.

Mathematische Beschreibung

Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung

Die zur Wellenausbreitung gehörigen mathematischen Beziehungen lassen sich auf Basis der maxwellschen Gleichungen nachvollziehen. Insbesondere lässt sich dieselbe Wellengleichung herleiten, mit der sich auch Schallwellen ausbreiten, obwohl dort völlig andere, rein mechanische Grundlagen maßgebend sind.

Eine elektromagnetische Welle breite sich im Vakuum aus, und zwar im ladungsfreien Raum unter Ausschluss von dielektrischen, dia- und paramagnetischen Effekten (${\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}$ und ${\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}$, siehe Materialgleichungen der Elektrodynamik). Die Stromdichte ${\vec {j}}$ und Ladungsdichte $\varrho$ betragen null.

Ausgehend von der dritten maxwellschen Gleichung

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$		(1)

wendet man auf beide Seiten den Rotationsoperator an. Dadurch erhält man:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times \left({\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)$.

Setzt man darin die vierte maxwellsche Gleichung (mit ${\vec {j}}=0$) ein,

$\nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$,

ergibt sich

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$.		(2)

Dazu gilt ganz allgemein die vektoranalytische Beziehung

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$.

Dabei ist mit $\Delta {\vec {A}}$ (in Einsteinscher Summenkonvention äquivalent zu $\partial _{i}\partial _{i}A_{j}{\vec {e}}_{j}$) die Anwendung des vektoriellen Laplace-Operators auf das Vektorfeld ${\vec {A}}$ gemeint. In kartesischen Koordinaten wirkt der vektorielle Laplace-Operator einfach wie der skalare Laplace-Operator $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ nur eben auf jede Komponente von ${\vec {A}}$.

Wendet man diese Beziehung auf ${\vec {E}}$ an und berücksichtigt, dass der ladungsfreie Raum betrachtet wird, in dem nach der ersten Maxwellschen Gleichung die Divergenz von ${\vec {D}}$ null beträgt, so folgt:

$\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\Delta {\vec {E}}=-\Delta {\vec {E}}$.		(3)

Setzt man nun (2) und (3) zusammen, ergibt sich folgende Wellengleichung:

$\Delta {\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$.		(4)

Fast alle Wellen lassen sich durch Gleichungen der Form

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta f$

beschreiben, wobei $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen, die Lichtgeschwindigkeit $c$, gilt daher:

$c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$.

Damit erhält man aus (4) die Gleichung

${\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {E}}$.

Analog kann man für die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$ die Beziehung

${\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {B}}$

herleiten. Die Lösungen dieser Gleichungen beschreiben Wellen, die sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit $c$ ausbreiten. Breitet sich die elektromagnetische Welle in isotropem Material mit der Dielektrizitätskonstante $\varepsilon$ und der Permeabilität $\mu$ aus, beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit

$c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$.

Darin sind aber im Allgemeinen die Materialkonstanten nicht linear, sondern können selbst beispielsweise von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während Licht sich in der Luft immer noch fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für die Ausbreitung in Wasser nicht, was unter anderem den Tscherenkow-Effekt ermöglicht.

Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium wird als Brechzahl $n$ bezeichnet.

$n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}$,

wo $\mu _{r}$ und $\varepsilon _{r}$ die relative Permeabilität und die relative Permittivität des Mediums bezeichnen.

Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

Mit Hilfe der Maxwellgleichungen lassen sich aus der Wellengleichung noch weitere Schlüsse ziehen. Betrachten wir eine allgemeine ebene Welle für das elektrische Feld

${\vec {E}}={\vec {E}}_{0}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$,

wo ${\vec {E}}_{0}$ die (konstante) Amplitude ist, $f$ eine beliebige ${\mathcal {C}}^{2}$-Funktion, ${\hat {k}}$ ein Einheitsvektor, der in Propagationsrichtung zeigt, und ${\vec {x}}$ ein Ortsvektor. Zunächst sieht man durch Einsetzen in die Wellengleichung, dass $f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$ die Wellengleichung erfüllt, dass also

$\Delta f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$.

Damit ${\vec {E}}$ nun eine elektromagnetische Welle beschreibt, muss es aber nicht nur die Wellengleichung erfüllen, sondern auch die Maxwellgleichungen. Das bedeutet zunächst

$\nabla \cdot {\vec {E}}={\hat {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}f'({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)=0$,

${\vec {E}}\cdot {\hat {k}}=0$.

Das elektrische Feld steht also stets senkrecht zur Propagationsrichtung, es handelt sich also um eine Transversalwelle. Einsetzen von ${\vec {E}}$ in eine weitere Maxwellgleichung ergibt

$\nabla \times {\vec {E}}={\hat {k}}\times {\vec {E}}_{0}f'({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$,

${\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\hat {k}}\times {\vec {E}}$.

Die magnetische Flussdichte in der elektromagnetischen Welle steht also ebenfalls senkrecht zur Propagationsrichtung und auch senkrecht zum elektrischen Feld. Außerdem sind ihre Amplituden proportional zueinander:

$E_{0}=c\cdot B_{0}$.

In natürlichen Einheiten ($c=1$) sind die Amplituden sogar gleich.

Mit dieser Beziehung lässt sich auch eine Aussage über die Energiedichte des elektromagnetischen Felds

$w_{em}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(E^{2}+c^{2}B^{2})$

für den Fall der elektromagnetischen Welle herleiten:

$w_{em}=\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}$.

Nicht jede elektromagnetische Welle hat die Eigenschaft, dass ihre Ausbreitungsrichtung sowie die Richtungen des elektrischen als auch des magnetischen Feldes paarweise orthogonal zueinander sind, die Welle also eine reine Transversalwelle ist, auch TEM-Welle genannt. Die hier demonstrierten ebenen Wellen sind von diesem Typ, daneben existieren aber auch Wellen, in denen nur einer der beiden Feldvektoren senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, der andere aber eine Komponente in Ausbreitungsrichtung hat (TM- und TE-Wellen). Ein wichtiger Anwendungsfall für solche nicht rein transversale elektromagnetische Wellen sind zylindrische Wellenleiter. Das Gesagte gilt aber vor allem in Kristallen mit Doppelbrechung. Allerdings gibt es keine rein longitudinalen elektromagnetischen Wellen.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 4 Auflage. De Gruyter, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.
• Claus Müller: Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen. Springer, 1957.
• K. Küpfmüller und G. Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung. 16. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-20792-9.
• Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 10. Auflage. Barth Verlagsgesellschaft, 1993, ISBN 3-335-00375-6.
• Karl Rawer: Wave Propagation in the Ionosphere. Kluwer Acad.Publ., 1993, ISBN 0-7923-0775-5.

Weblinks

 Commons: Electromagnetic radiation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Versuche und Aufgaben auf Schülerniveau (LEIFI)
• Forscher machen erstmals Lichtwellen sichtbar
• Einfache Simulation zur Ausbreitung von elektromagnetischer Strahlung
• Anschauliche Herleitung von elektromagnetischen Wellen aus den Maxwell-Gleichungen, nahezu formelfrei