Quantenelektrodynamik

Die Quantenelektrodynamik (QED) ist im Rahmen der Quantenphysik die quantenfeldtheoretische Beschreibung des Elektromagnetismus.

Allgemeines

Die QED gibt eine Beschreibung aller Phänomene, die von geladenen Punktteilchen, wie Elektronen oder Positronen, und von Photonen verursacht werden. Sie enthält die klassische Elektrodynamik als Grenzfall starker Felder bzw. hoher Energien, bei denen die möglichen Messwerte als kontinuierlich angesehen werden können. Von tieferem Interesse ist allerdings die Anwendung in mikroskopischen Objekten, wo sie etwa Quantenphänomene, wie die Struktur von Atomen und Molekülen, erklärt. Daneben umfasst sie Vorgänge der Hochenergiephysik, wie die Erzeugung von Teilchen durch ein elektromagnetisches Feld. Eines ihrer besten Ergebnisse ist die Berechnung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons, die auf 11 Dezimalstellen mit dem experimentell bestimmten Wert übereinstimmt (Landé-Faktor). Damit ist die QED heute eine der am genauesten experimentell überprüften Theorien.

Die QED beschreibt die Wechselwirkung eines Spinorfeldes mit Ladung -e, das das Elektron beschreibt, mit einem Eichfeld, das das Photon beschreibt. Man erhält ihre Bewegungsgleichungen aus der Elektrodynamik durch Quantisierung der maxwellschen Gleichungen. Die Quantenelektrodynamik erklärt mit hoher Genauigkeit die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen (zum Beispiel Elektronen, Myonen, Quarks) mittels des Austauschs virtueller Photonen sowie die Eigenschaften elektromagnetischer Strahlung.

Die QED war die erste Quantenfeldtheorie, bei der die Schwierigkeiten einer konsistenten quantentheoretischen Beschreibung von Feldern und der Erzeugung und Auslöschung von Teilchen befriedigend gelöst wurden. Die Schöpfer der in den 1940er Jahren entwickelten Theorie wurden mit der Verleihung des Nobelpreises für Physik an Richard P. Feynman, Julian Schwinger und Shin’ichirō Tomonaga im Jahr 1965 gewürdigt.

Lagrange-Dichte

Die fundamentale Funktion einer Quantenfeldtheorie ist ihre Lagrangedichte. Die Quantenelektrodynamik ist eine relativistische Eichtheorie auf Basis der unitären Gruppe $U(1)$ (Kreisgruppe), sodass folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

• Invarianz unter Transformationen der Poincaré-Gruppe, welche die Lorentz-Transformationen einschließt,
• Invarianz unter einer lokalen Eichtransformation der Feldoperatoren $\psi \to \psi '=e^{\mathrm {i} q\alpha (x)}\psi$ sowie $A_{\mu }\to A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }\alpha (x)$ und
• Renormierbarkeit im Rahmen einer störungstheoretischen Berechnung

Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik ist so konzipiert, dass sie aus der Lagrangedichte des freien Spinorfeldes und des freien Photonfeldes entsteht, wenn zusätzlich die lokale Eichinvarianz gefordert wird, welche sich in einem Kopplungsterm manifestiert (vgl. Dirac-Gleichung). Insbesondere ist die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik der maximale Ausdruck, der alle obigen Kriterien erfüllt, das heißt, es kann kein Term hinzugefügt werden, der die Bedingungen nicht verletze.

${\mathcal {L}}_{\text{QED}}=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{n})\psi _{n}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-\sum _{n}q_{n}{\bar {\psi }}_{n}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi _{n}.$

Das freie Spinorfeld $\psi$ gehorcht dabei der Dirac-Gleichung und beschreibt Fermionen wie beispielsweise Elektronen oder Quarks; das Photonenfeld $A^{\mu }$ gehorcht den Maxwell-Gleichungen und der Feldstärketensor $F_{\mu \nu }$ ist eine Abkürzung für $\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$. Die freien physikalischen Parameter der Quantenelektrodynamik sind die (nackten) Massen $m_{n}$ der einzelnen Objekte sowie deren (nackten) Kopplungskonstanten $q_{n}$, die im Falle der Quantenelektrodynamik zur klassischen elektrischen Ladung korrespondiert.

Bedeutung der Eichtransformationen

Die Transformation $A_{\mu }\to A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }\alpha (x)$ ist die klassische lokale Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale $\Phi$ und ${\vec {A}}$, die den Wert des elektrischen Feldes ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\Phi -\partial _{t}{\vec {A}}$ beziehungsweise der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ nicht verändert.

Die dazu korrespondierende Transformation $\psi \to \psi '=e^{\mathrm {i} q\alpha (x)}\psi$ hingegen beschreibt eine lokale Änderung der Phase ohne direktes Analogon in der klassischen Physik. Die Invarianz der Lagrangedichte unter dieser Phasenänderung führt nach dem Noether-Theorem jedoch zur Erhaltungsgröße des Dirac-Stroms $j_{\mu }={\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$ mit der Kontinuitätsgleichung $\partial ^{\mu }j_{\mu }=0$.

Die Forderungen nach Eichinvarianz, Lorentz-Invarianz und Renormierbarkeit der Lagrangedichte führen darüber hinaus zur Aussage, dass das Photon masselos ist, da ein renormierbarer skalarer Masseterm für das Photon $A_{\mu }m_{\gamma }^{2}A^{\mu }$ nicht eichinvariant ist.

Bewegungsgleichungen

Die Lagrange-Dichte führt über die Lagrange-Gleichung zu den Bewegungsgleichungen für die Feldoperatoren:

$(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =q\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi$

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }$

Dabei stellt das zweite Gleichungssystem genau die Maxwell-Gleichungen in Potentialform dar, wobei die klassische elektromagnetische Vierer-Stromdichte durch den Dirac-Strom ersetzt wurde.

Siehe auch

• Dirac-Gleichung
• Quantenmechanik
• Grundkräfte der Physik
• Kritisches Feld (QED)

Literatur

• Richard P. Feynman: QED. Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. Piper-Verlag, München u. a. 1988, ISBN 3-492-03103-X (populärwissenschaftliches Lehrbuch).
• Franz Mandl, Graham Shaw: Quantenfeldtheorie. Aula-Verlag, Wiesbaden 1993, ISBN 3-89104-532-8 (einführendes Lehrbuch).
• Silvan S. Schweber: QED and the men who made it. Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press, Princeton NJ 1994, ISBN 0-691-03685-3.
• G. Scharf: Finite Quantum Electrodynamics. The Causal Approach. 2. Auflage. Springer. Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-60142-2
• Peter W. Milonni: The quantum vacuum. An introduction to quantum electrodynamics. Academic Press, Boston u. a. 1994, ISBN 0-12-498080-5.
• Walter Dittrich, Holger Gies: Probing the Quantum Vacuum. Perturbative Effective Action Approach in Quantum Electrodynamics and its Application (= Springer Tracts in modern Physics 166). Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67428-4.
• Giovanni Cantatore: Quantum electrodynamics and physics of the vacuum (= AIP Conference Proceedings 564). American Institute of Physics, Melville NY 2001, ISBN 0-7354-0000-8.

Videos

• Richard Feynman: The 1979 Sir Douglas Robb Lectures (online-Video) University of Auckland, Teile 1–4, Grundlage des populärwissenschaftlichen Buches: QED. Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie.

Weblinks

• Quantenelektrodynamik auf dem Prüfstand. Pressemitteilung des MPI Heidelberg.