Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

• in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
• in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Definition

Die Gammaverteilung $\gamma (p,\,b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle b^{p}}{\displaystyle \Gamma (p)}}x^{p-1}e^{-bx}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$. Der Parameter $b$ ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter $p$ ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b>0$ und $p>0$ gefordert. Der Vorfaktor $b^{p}/\Gamma (p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\Gamma (p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion $F(x)={\begin{cases}P(p,bx)&x\geq 0\\0&x<0,\end{cases}}$ wobei $P(p,\,bx)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig

$(\alpha =p,\beta =b)$ oder $\left(k=p,\theta ={\frac {1}{b}}\right).$

$\beta =b$ ist die Umkehrung eines Skalierparameters und $\theta =1/b$ ist der Skalierparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $\alpha /\beta$ beziehungsweise $k\theta$). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert $p/b$ und Varianz $p/b^{2}$ zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte $f$ besitzt für $p>1$ an der Stelle $x_{M}={\tfrac {p-1}{b}}$ ihr Maximum und für $p>2$ an den Stellen

$x_{W}=x_{M}\pm {\frac {(p-1)^{\frac {1}{2}}}{b}}$

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

$\operatorname {E} (X)={p \over b}.$

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

$\operatorname {Var} (X)={p \over b^{2}}.$

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

$\operatorname {v} (X)={\frac {2}{\sqrt {p}}}.$

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p_{x}$ bzw. $p_{y}$, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p_{x}+p_{y}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)=\left({\frac {b}{b-is}}\right)^{p}.$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

$m_{X}(s)=\left({\frac {b}{b-s}}\right)^{p}.$

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

$H(X)=\ln \left(\Gamma (p)\right)-\ln \left(b\right)+(1-p)\psi (p)+p$

wobei $\psi (p)$ die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X_{1}\sim \gamma (p_{1},b)$ und $X_{2}\sim \gamma (p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe $X_{1}+X_{2}$ gammaverteilt, und zwar

$X_{1}+X_{2}\sim \gamma (p_{1}+p_{2},b).$

Allgemein gilt: Sind $X_{i}\sim \gamma (p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

$X_{1}+\dotsb +X_{n}\sim \gamma (p_{1}+\dotsb +p_{n},b).$

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn $X\sim \gamma (p_{1},b)$ und $Y\sim \gamma (p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_{1},b$ bzw. $p_{2},b$, dann ist die Größe ${\tfrac {X}{X+Y}}$ betaverteilt mit Parametern $p_{1}$ und $p_{2}$, kurz

$\operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.$

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

• Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=k/2$ und $b=1/2$.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $\lambda$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p=n$ und $b=\lambda$ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des $p$-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter $p=1$, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda =b$.
• Die Faltung von $n$ Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung mit $p=n,b=\lambda$.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y=e^{X}$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

• Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
• P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

Weblinks

• siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
• Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
• Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

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