Gammafunktion

Graph der Gammafunktion im Reellen

Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts.

Betrag der komplexen Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein $\Gamma$, den griechischen Großbuchstaben Gamma bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

$\Gamma (n+1)=n!$

für jede natürliche Zahl $n$, wobei mit $!$ die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.

Definition

Die Gammafunktion kann für komplexe Zahlen $z$ mit positivem Realteil über das Integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}{\mathrm {e} }^{-t}\mathrm {d} t$

definiert werden. Die dadurch definierte Funktion ist holomorph, die Gammafunktion ist ihre meromorphe Fortsetzung.

Geschichte

Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:

${\Bigl (}A+{\frac {x}{2}}{\Bigr )}^{x-1}{\Bigl (}{\frac {2}{1+x}}\cdot {\frac {3}{2+x}}\cdot {\frac {4}{3+x}}\cdots {\frac {A}{A-1+x}}{\Bigr )}$

für unendlich große $A$, entsprechend heutiger Notation $x!$ oder $\Gamma (x+1)$. Wenige Tage später, am 13. Oktober^jul./ 24. Oktober 1729^greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel

${\frac {1\cdot 2\cdot 3\dotsm n}{(1+m)(2+m)\dotsm (n+m)}}\,(n+1)^{m},$

die Gauß 1812 für den allgemeineren Fall komplexer Zahlen wiederentdeckte (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Sie nähert sich mit wachsendem $n$ dem wahren Wert für $m!$ oder $\Gamma (m+1)$, Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion, das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:

$\int \!\mathrm {d} x(-lx)^{n},$     in heutiger Notation:     $\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{1}(-\log x)^{n}\mathrm {d} x$

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet und geht durch die Substitution $t=-\log x$ in die Form

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }t^{n}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t$

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.

Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel $\Gamma$ (Gamma) als Funktionssymbol ein. Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol $\Pi$ (Pi) so, dass $\Pi (x)=\Gamma (x+1)$ und somit auch $\Pi (n)=n!$ für nichtnegative ganzzahlige $n$ gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird $\Pi$ als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu $\Sigma$ für eine Summe).

Weitere Darstellungsformen

Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es noch andere äquivalente Darstellungen. Eine direkte Definition von $\Gamma (x)$ für alle $x\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dotsc \}$ gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach Gauß,

$\Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\dotsm (x+n)}},$

die für positive reelle Zahlen bereits von Euler 1729 angegeben wurde. Daraus abgeleitet ist die Darstellung von $1/\Gamma$ als Weierstraß-Produkt:

$1/\Gamma (x)=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x\log({\frac {n+1}{n}})}=x\cdot \mathrm {e} ^{\gamma \,x}\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x/n}$

mit der Eulerschen Konstante $\gamma =\lim _{n\to \infty }{\bigl (}({\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb +{\tfrac {1}{n}})-\log n{\bigr )}$. Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, Karl Weierstraß verwendete jedoch nur das erste.

Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück, sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t,$     wenn     $\operatorname {Re} (x)>0.$

Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte E. F. Prym 1876 eine in ganz $\mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,-3,\dotsc \}$ gültige Darstellung:

$\Gamma (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+x)}}+\int _{1}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung gibt es für $x\in \mathbb {C}$ mit $0<\operatorname {Re} (x)<1$:

$\Gamma (x)=\mathrm {e} ^{\pi \mathrm {i} x/2}\int _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t$

Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.

Ernst Eduard Kummer gab 1847 die Fourierentwicklung der logarithmischen Gammafunktion an:

$\log \Gamma (x)=\left({\tfrac {1}{2}}-x\right){\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)$     für     $0<x<1$

Sie heißt auch Kummersche Reihe. Bereits 1846 fand Carl Johan Malmstén eine ähnliche Reihe:

$\log {\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-x)}}=-2x\,{\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)$     für     $-{\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {1}{2}}$

Axiomatische Charakterisierung

Fortsetzung der Fakultät

Die Bedingungen $G(1)=1$ und $G(x+1)=x\cdot G(x)$, die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive $x$ erfüllt beispielsweise die Funktion

$G(x)=\Gamma (x)\cdot {\bigl (}1+c\,\sin(2\pi x){\bigr )}$

für $0<c<1$ die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung

$\lim _{n\to \infty }{\frac {G(x+n)}{G(n)\,n^{x}}}=1$

hinzu, womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war. Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.

Der Satz von Hölder

Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886) ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form $f(z,y(z),y'(z),\dotsc ,y^{(n)}(z))=0$ mit einer nichtnegativen ganzen Zahl $n$ und einem Polynom $f\neq 0$ in $y,y',\dotsc ,y^{(n)}$, dessen Koeffizienten rationale Funktionen von $z$ sind, und der Lösung $y=\Gamma$.

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922) erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion $G\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} _{>0}$ ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn gilt:

1. $G(1)=1,$
2. $G(x+1)=x\cdot G(x),$
3. $G$ ist logarithmisch konvex, das heißt, $x\mapsto \log G(x)$ ist eine konvexe Funktion.

Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.

Der Satz von Wielandt

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939) charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:

Eine holomorphe Funktion $G$, definiert auf einem Gebiet $D$, das den Streifen $S=\{x\mid 1\leq \operatorname {Re} (x)<2\}$ enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf $D$, wenn gilt:

1. $G(1)=1,$
2. $G(x+1)=x\cdot G(x),$
3. $|G|$ ist auf dem Streifen $S$ beschränkt, das heißt, es existiert ein $c>0$, sodass $|G(x)|<c$ für alle $x$ aus $S$.

Genauer gilt $|\Gamma (x)|\leq \Gamma (\operatorname {Re} (x))$ für alle $x$ mit $\operatorname {Re} (x)>0$.

Funktionalgleichungen und spezielle Werte

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

$\Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x)$     mit     $\Gamma (1)=1.$

Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)

$\Gamma (x)\cdot \Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}$     für     $x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$

erhält man insbesondere $\Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}=1{,}77245\,38509\,05516\,02729\dotso$ (Folge A002161 in OEIS) sowie

$\Gamma (-n+{\tfrac {1}{2}})={\frac {n!\,(-4)^{n}}{(2n)!}}\,{\sqrt {\pi }}$     und     $\Gamma (n+{\tfrac {1}{2}})={\frac {(2n)!}{n!\,4^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}$     für     $n=0,1,2,\dotsc$

Mit allgemeiner gewähltem $n$ wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)

$\Gamma \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {x+1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{x-1}}}\cdot \Gamma (x)$     für     $x\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dotsc \}.$

Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)

$\Gamma \left({\frac {x}{n}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {x+1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {x+n-1}{n}}\right)={\frac {(2\pi )^{(n-1)/2}}{n^{\,x-1/2}}}\cdot \Gamma (x)$     für     $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$     und     $x\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dotsc \}.$

Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass jede der Zahlen $\Gamma (1/6)$, $\Gamma (1/4)$, $\Gamma (1/3)$, $\Gamma (2/3)$, $\Gamma (3/4)$ und $\Gamma (5/6)$ transzendent und algebraisch unabhängig von $\pi$ ist. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert $\Gamma (1/5)=4{,}59084\,37119\,98803\,05320\,\dotso$ (Folge A175380 in OEIS) nicht einmal bekannt, ob er irrational ist.

Mit der lemniskatischen Konstante $\varpi$ gilt

$\Gamma ({\frac {1}{4}})={\sqrt {2\varpi \,{\sqrt {2\pi }}}}=3{,}62560\,99082\,21908\,31193\dotso$ (Folge A068466 in OEIS).

Der Betrag der Steigung der Gammafunktion an der Stelle 1 ist gleich der Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$:

$\Gamma '(1)=-\gamma$

Die Gammafunktion hat an den Stellen $x=-n\ \left(n=0,1,2,\dotsc \right)$ Pole erster Ordnung. Aus der Funktionalgleichung erhält man für die Residuen

$\operatorname {Res} _{x=-n}\Gamma (x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.$

Alternativ lassen sie sich direkt an der Formel

$\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

ablesen. Da $\Gamma$ keine Nullstellen hat, ist $1/\Gamma$ eine ganze Funktion.

Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion

Bernhard Riemann brachte 1859 die Gammafunktion mit der Riemannschen ζ-Funktion über die Formel

$\Gamma (s)\,\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$

und die folgende Feststellung in Beziehung: Der Ausdruck $\Gamma (s/2)\,\pi ^{-s/2}\,\zeta (s)$ „bleibt ungeändert, wenn $s$ in $1-s$ verwandelt wird“, also

$\Gamma (s/2)\,\pi ^{-s/2}\,\zeta (s)=\Gamma {\bigl (}(1-s)/2{\bigr )}\,\pi ^{-(1-s)/2}\,\zeta (1-s).$

Näherungsweise Berechnung

Stirlingsche Formel

Näherungswerte der Gammafunktion für $x>0$ liefert unter anderem die Stirlingsche Formel, es gilt

$\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}\,x^{x-1/2}\,\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {e} ^{\mu (x)}$     mit     $0<\mu (x)<1/(12x).$

Rekursive Näherung

Aus der Funktionalgleichung

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z),$

die eine Art Periodizität beinhaltet, können aus bekannten Funktionswerten in einem Streifen der Breite 1 in $\operatorname {Re} (z)$ die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen rekursiv berechnet werden. Mit

$\log \Gamma (z)=\log \Gamma (z+1)-\log z$

kann man von einem Streifen auf den benachbarten mit kleinerem Realteil gelangen, und das $m$-fach. Da es für großes $|z|$ sehr gute Näherungen für $\log \Gamma (z)$ gibt, kann deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, in denen direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel empfiehlt sich, wie schon von Carl Friedrich Gauß bemerkt, die aus der Stirling-Formel abgeleitete asymptotische Entwicklung in $z$

$\operatorname {Ro} (z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\log \left(z-{\frac {1}{2}}\right)-1\right)$.

Diese hat zwar im Nahbereich bei $z={\tfrac {1}{2}}$ eine Irregularität, ist aber schon für $|z|>10$ brauchbar. Mit dem Korrekturterm $-{\tfrac {1}{24}}\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)^{-1}$ wird ihr Fehler auf die Größenordnung ${\mathcal {O}}(z^{-3})$ für unbeschränkt wachsendes $|z|$ verringert.

Die $m$-fache Anwendung dieser Näherung führt auf

$\log \Gamma (z)\approx \operatorname {Ro} (z+m)-\sum _{k=0}^{m-1}\log(z+k).$

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polardarstellung von $z$. Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellenausbreitung, sollte $m=100$ ausreichen.

Unvollständige Gammafunktion

In der Literatur wird dieser Begriff, im Hinblick auf Integrationsgrenzen und Normierung (Regularisierung), nicht einheitlich verwendet.

Häufige Notationen sind:

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$     unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze

$\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$     unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze

$\operatorname {P} (a,x)={\frac {\gamma (a,x)}{\Gamma (a)}}$     regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der oberen Grenze

$\operatorname {Q} (a,x)={\frac {\Gamma (a,x)}{\Gamma (a)}}$     regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der unteren Grenze

Spricht man von einer regularisierten Gammafunktion, so impliziert dies schon, dass sie unvollständig ist.

$\Gamma (a,x,y)=\int _{x}^{y}t^{a-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$     oder     $\Gamma (a,x,y)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{x}^{y}t^{a-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

steht für die verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion.

Siehe auch

• Digamma-Funktion
• Meijersche G-Funktion
• Eulersche Betafunktion

Literatur

• Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. B. G. Teubner, Leipzig 1906 (im Internetarchiv, dito, dito).
• E. T. Whittaker, G. N. Watson: The Gamma function. Kapitel 12 in A course of modern analysis. Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (englisch; im Internetarchiv).
• Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. B. G. Teubner, Leipzig 1931; The Gamma function. Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (englische Übersetzung von Michael Butler).
• Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen. B. G. Teubner, Leipzig 1951.
• Philip J. Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. The American Mathematical Monthly 66, 1959, S. 849–869 (englisch; 1963 mit dem Chauvenet-Preis ausgezeichnet; bei MathDL).
• Konrad Königsberger: Die Gammafunktion. Kapitel 17 in Analysis 1. Springer, Berlin 1990; 6. Auflage 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360.
• Reinhold Remmert: Die Gammafunktion. Kapitel 2 in Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 1991; mit Georg Schumacher: 3. Auflage 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 31–73.
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Die Gammafunktion. Kapitel 4.1 in Funktionentheorie 1. Springer, Berlin 1993; 4. Auflage 2006, ISBN 3-540-31764-3, S. 194–212.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gamma Function. In: MathWorld. (englisch)
• Aaron Krowne u. a.: Gamma Function. In: PlanetMath. (englisch)
• Gamma Function. Bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeiten).
• Videos über die Gamma Funktion für Anfänger.