Kreis des Apollonios

In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis) ein spezieller geometrischer Ort, nämlich die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem apollonischen Problem, einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen Apollonios von Perge.

Satz und Definition

Kreis des Apollonios

• Gegeben seien eine Strecke $[AB]$ und eine positive reelle Zahl $\lambda \neq 1$. Dann ist die Punktmenge
  $k_{A}=\{X|{\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda \}$
  ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke $[AB]$ im Verhältnis $\lambda$. Diese beiden Punkte ($T_{i}$ und $T_{a}$) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke $[AB]$ harmonisch. Ist nun $X$ ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft ${\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda$, so teilt die Gerade $XT_{i}$ die gegebene Strecke $[AB]$ im Verhältnis ${\overline {XA}}:{\overline {XB}}$. $XT_{i}$ muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels $AXB$ übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade $XT_{a}$ den Nebenwinkel von $\angle AXB$ halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss $X$ auf dem Thaleskreis über $[T_{i}T_{a}]$ liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt $X$ des genannten Thaleskreises die Bedingung ${\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda$.

Im speziellen Fall $\lambda =1$ ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere Eigenschaften

• Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt $r_{A}={\tfrac {\lambda }{|\lambda ^{2}-1|}}{\overline {AB}}$.

• Der durch $T_{i}$ gehende Apollonioskreis für die Strecke $[AB]$ ist der durch $T_{i}$ gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte $A,B$ zueinander invers sind.

• Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig. Dies gilt insbesondere auch für den über $[AB]$ geschlagenen Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis ${\tfrac {\lambda +1}{\lambda -1}}$ statt $\lambda$ ) – ist der Kreis über $[AB]$ Apollonioskreis für die Strecke $[T_{i}T_{a}]$.

• Die drei Kreise des Apollonios eines Dreiecks schneiden sich im isodynamischen Punkt des entsprechenden Dreiecks.

Weblinks

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf (PDF-Datei; 261 kB)