Tupel

Tupel (abgetrennt von mittellat. quintuplus ‚fünffach‘, septuplus ‚siebenfach‘, centuplus ‚hundertfach‘ etc.) sind in der Mathematik neben Mengen eine wichtige Art und Weise, mathematische Objekte zusammenzufassen. Ein Tupel besteht aus einer Liste endlich vieler, nicht notwendigerweise voneinander verschiedener Objekte. Dabei spielt, im Gegensatz zu Mengen, die Reihenfolge der Objekte eine Rolle. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Tupel formal als Mengen darzustellen. Tupel finden in vielen Bereichen der Mathematik Verwendung, zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder als Vektoren in mehrdimensionalen Vektorräumen. In der Informatik dienen Tupel beispielsweise als Datenfelder.

Notation

Ein $n$-Tupel ist eine Zusammenfassung von $n$ mathematischen Objekten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ in einer Liste. Im Gegensatz zu Mengen müssen die Objekte dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge ist von Bedeutung. Tupel werden meist mittels runder Klammern

$(x_{1},\ldots ,x_{n})$

notiert, wobei zwei aufeinander folgende Objekte durch ein Komma getrennt werden. Das an der $i$-ten Stelle stehende Objekt $x_{i}$ heißt dabei die $i$-te Komponente des Tupels. Gelegentlich werden zur Notation aber auch andere Klammertypen, wie eckige Klammern, und andere Trennzeichen, wie Semikolon oder senkrechter Strich, verwendet. Weitere Notationsvarianten sind

$(x_{i})_{i=1,\ldots ,n},(x_{i})_{i\in \{1,\ldots ,n\}},(x_{i})_{i=1}^{n}$

oder auch kurz $(x_{i})$, wenn die Länge des Tupels aus dem Kontext klar ist. Ein 2-Tupel nennt man auch geordnetes Paar, ein 3-Tupel auch Tripel, ein 4-Tupel auch Quadrupel, ein 5-Tupel auch Quintupel und so fort. Das 0-Tupel heißt leeres Tupel und wird durch $()$ notiert.

Beispiele

Tupel gleichartiger Objekte:

• $(a)$ und $(b)$ sind zwei 1-Tupel von Elementen $a,b$ einer Menge $A$
• $(1,3)$, $(2,2)$ und $(3,1)$ sind drei verschiedene 2-Tupel ganzer Zahlen
• $(\{1,2\},\{3,4,5\},\{6\})$ ist ein 3-Tupel aus Mengen
• $(\sin ,\ \cos ,\ \tan ,\ \cot )$ ist ein 4-Tupel trigonometrischer Funktionen

Tupel verschiedenartiger Objekte:

• Ein gerichteter Graph ist ein Paar $(V,E)$ bestehend aus einer Menge von Knoten $V$ und einer Menge gerichteter Kanten $E\subseteq V\times V$.
• Ein Körper ist ein Tripel $(K,+,\cdot )$ bestehend aus einer Menge $K$ und zwei zweistelligen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$, die bestimmte Eigenschaften besitzen.
• Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel $(\Omega ,\Sigma ,P)$ bestehend aus einer Ergebnismenge $\Omega$, einer σ-Algebra $\Sigma$ und einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$.

Gleichheit von Tupeln

Zwei Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(y_{1},\ldots ,y_{m})$ sind genau dann gleich, wenn sie gleich lang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind, das heißt

$(x_{1},\ldots ,x_{n})=(y_{1},\ldots ,y_{m})~\Longleftrightarrow ~n=m~{\text{und}}~x_{i}=y_{i}~{\text{für}}~i=1,\ldots ,n$.

Darstellung als Menge

Tupel können auch als Mengen dargestellt werden. Eine einfache Darstellung von $n$-Tupeln lautet:

$n=0:\;():=\emptyset$

$n>0:\;(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1}),\{x_{n}\}\}$

Mit dieser Darstellung ist das geordnete Paar $\,(x,y)$ die Menge $\{\{\emptyset ,\{x\}\},\{y\}\}$.

Einer anderen Darstellung liegt die Vorstellung zugrunde, dass Tupel endliche Folgen bzw. Familien sind, das heißt Funktionen mit einem eventuell leeren Abschnitt der Menge der positiven natürlichen Zahlen als Indexbereich (geordnete Paare hier in eckigen Klammern):

$n=0:\;():=\emptyset$

$n>0:\;(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\{[1,x_{1}],\ldots ,[n,x_{n}]\}=(x_{i})_{i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Nicht leere Tupel können auch rekursiv auf Basis geordneter Paare dargestellt werden (geordnete Paare auch hier in eckigen Klammern):

$n=1:\;(x):=x$

$n>1:\;(x_{1},\ldots ,x_{n}):=[(x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}]$

Allerdings gilt für auf letztgenannte Weise dargestellte Tupel lediglich eine schwächere Form des Gleichheitsaxioms: Zwei gleich lange Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Unabhängig davon, wie Tupel als Mengen dargestellt werden, verhalten sich 2-Tupel genauso wie geordnete Paare und können wie diese verwendet werden, auch wenn sich, wie bei der Tupel-Darstellung als endliche Folge, 2-Tupel- und Paar-Darstellungen unterscheiden.

Die letzte der drei obigen Definitionen hat den Vorteil, dass sie auch für echte Klassen definiert ist, sofern das geordnete Paar $[a,b]$ für echte Klassen definiert ist. Das heißt, man kann z. B. das Monoid der Ordinalzahlen $\Omega$ mit Addition $+$ und neutralem Element $0$ als Tupel $(\Omega ,+,0)$ definieren, obwohl es sich bei den Ordinalzahlen um keine Menge, sondern um eine echte Klasse handelt.

Verwendung

Tupel werden in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in $n$-dimensionalen Räumen und in der Informatik als Datenfelder und -strukturen verwendet. Folglich werden auch Zeilen oder Spalten von Matrizen ggf. als Tupel angesehen und behandelt.

Siehe auch

• Familie (Mathematik)
• Index (Mathematik)
• Wort (Theoretische Informatik)

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar – Lern- und Lehrmaterialien

• V.N. Grishin: Tuple. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
• Raymond Puzio u. a.: Ordered tuplet. In: PlanetMath. (englisch)
• Eric W. Weisstein: n-Tuple. In: MathWorld. (englisch)