Satz von Levi (Lie-Algebra)

Der Satz von Levi, benannt nach Eugenio Elia Levi, ist ein Satz aus der Theorie der Lie-Algebren aus dem Jahre 1905, der die Zerlegung einer endlichdimensionalen, reellen oder komplexen Lie-Algebra in eine semidirekte Summe aus einer halbeinfachen und einer auflösbaren Lie-Algebra zum Inhalt hat; diese nennt man auch die Levi-Zerlegung.

Begriffe

Das mit $\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})$ bezeichnete Radikal einer Lie-Algebra ist das größte in ihr enthaltene auflösbare Ideal. Der Quotient ${\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})$ nach dem Radikal hat kein Radikal, das heißt, das Radikal ist der Nullraum und ist definitionsgemäß halbeinfach.

Formulierung des Satzes

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann gibt es eine halbeinfache Lie-Algebra ${\mathfrak {s}}\subset {\mathfrak {g}}$ mit ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})$ (Vektorraumsumme).

Da $\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {g}}$ ein Ideal ist, handelt es sich sogar um eine semidirekte Summe ${\mathfrak {s}}\ltimes \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})$ von Lie-Algebren.

Beweislinie

Da $\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {g}}$ ein Ideal ist, erhält man eine kurze exakte Sequenz

$0\rightarrow \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}\,{\xrightarrow {\varphi }}\,{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow 0$.

Die oben genannte Zerlegung in eine Vektorraumsumme ergibt sich sofort, wenn das Zerfallen dieser Sequenz gezeigt ist, das heißt die Existenz eines Lie-Algebren-Homomorphismus $\psi :{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}$, so dass $\varphi \circ \psi$ die identische Abbildung auf ${\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})$ ist. ${\mathfrak {s}}:=\psi ({\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}}))$ leistet dann das Verlangte. Das ist genau der Inhalt des folgenden Satzes, der mit Hilfe des 2-ten Lemmas von Whitehead bewiesen werden kann:

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann zerfällt die kurze exakte Sequenz

$0\rightarrow \mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow {\mathfrak {g}}\,{\xrightarrow {\varphi }}\,{\mathfrak {g}}/\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})\rightarrow 0$.

Der Satz von Levi ist ein einfaches Korollar dieses Satzes.

Levi-Komplement

Eine halbeinfache Lie-Algebra ${\mathfrak {s}}\subset {\mathfrak {g}}$ heißt Levi-Komplement, wenn die direkte Vektorraumsumme mit dem Radikal ganz ${\mathfrak {g}}$ ergibt. Daher lässt sich der Satz von Levi auch kurz wie folgt formulieren:

Jede endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra hat ein Levi-Komplement.