Schätzfehler

In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion ${\hat {\vartheta }}$ vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit $\vartheta$. Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).

Definition

Er ist definiert als:

$e:={\hat {\vartheta }}-\vartheta$

Ist der wahre Parameter unbekannt so ist auch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Schätzfehlers zu machen.

Parameter des Schätzfehlers

• Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
• Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.

Beispiele

Wenn $\mu$ der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, $\sigma ^{2}$ die Varianz und $\pi$ der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet $N(\mu ,\sigma ^{2})$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$.

Parameter der Grundgesamtheit	Stichprobenvariablen	Schätzfunktion ${\hat {\theta }}$	Schätzfehler $e$	Verzerrung $\operatorname {E} (e)$
$\mu$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$	${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	${\bar {X}}-\mu$	$0$
$\mu$	$X_{i}\sim (\mu ,\sigma ^{2})$ und ZGS erfüllt	${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	${\bar {X}}-\mu$	$0$
$\pi$	$X_{i}$ dichotom	$\Pi ={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	$\Pi -\pi$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ bekannt	$S^{*2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$	$S^{*2}-\sigma ^{2}$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt	$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$	$S^{2}-\sigma ^{2}$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt	$S^{'2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$	$S^{'2}-\sigma ^{2}$	$-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}$