Sphärisches Pendel

Ein sphärisches Pendel, auch Kugelpendel oder räumliches Pendel ist ein Pendel, dessen Aufhängung Ausschläge in unterschiedliche Richtungen zulässt. Im Unterschied zum (ebenen) Kreispendel, bei dem die Bewegung der Pendelmasse auf einen vertikalen Kreis beschränkt ist, bewegt sich beim (räumlichen) Kugelpendel die Pendelmasse auf einer Kugelfläche. Ein Spezialfall des Kugelpendels ist das konische Pendel, auch Kegelpendel, Kreispendel, Rundlaufpendel oder Zentrifugalpendel, bei dem sich die Pendelmasse auf einer horizontalen Kreisbahn und der Faden deshalb auf einer Kegelfläche bewegt.^[1]

In der theoretischen Behandlung des sphärischen Pendels wird vereinfachend die Aufhängung als masselos und der Pendelkörper als punktförmig angenommen sowie der Einfluss der Reibung vernachlässigt. Neben der Energieerhaltung ist beim sphärischen Pendel auch die Drehimpulserhaltung von Bedeutung. Die Projektion des Pendelfadens auf eine horizontale Ebene überstreicht daher in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

Mathematische Betrachtungen

Die Bewegung des sphärischen Pendels lässt sich am besten in Kugelkoordinaten beschreiben:

{\vec {r}}(t)=(r,\theta ,\phi )

Dabei ist $r$ die Länge des Pendels, die sich wegen der starren Verbindung zwischen Aufhängungspunkt und Pendelkörper nicht ändern kann. Der Polarwinkel $\theta$ stellt die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage dar, der Azimutwinkel $\phi$ misst die Rotation um die senkrechte $z$ -Achse.

Auf den Pendelkörper wirken im homogenen Schwerefeld zwei Kräfte:

Die Gewichtskraft ${\vec {F}}_{\text{G}}$ in negative $z$ -Richtung, d. h. senkrecht nach unten
Die Zwangskraft ${\vec {F}}_{\text{Z}}$ durch den „Faden“ des Pendels. Da der Faden nicht nur Zug- sondern auch Druckkräfte aufnehmen kann, stellt man sich besser einen sehr dünnen, starren Stab vor. ${\vec {F}}_{\text{Z}}$ wirkt stets in radialer Richtung zum Aufhängepunkt hin oder von ihm weg. Es handelt sich also um eine Zentralkraft. ${\vec {F}}_{\text{Z}}$ hängt wegen der auftretenden Trägheitskräfte nicht nur vom Ort ${\vec {r}}$ sondern auch von der Geschwindigkeit ${\dot {\vec {r}}}$ ab.

Die Resultierende aus beiden Kräften ${\vec {F}}_{\text{R}}({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}})={\vec {F}}_{\text{G}}+{\vec {F}}_{\text{Z}}$ weist stets in tangentialer Richtung. Weil sie mit der $z$ -Achse und ${\vec {r}}$ in einer Ebene liegt, bewirkt sie nur Beschleunigungen in Richtung des Winkels $\theta$ und lässt insbesondere die $z$ -Komponente des Drehimpulses $L_{z}$ unverändert.

Die potenzielle Energie des Pendels beträgt

V(r,\theta ,\phi )=-mgr\cos \theta

,

wenn man als Bezugspunkt den Aufhängepunkt verwendet. Die kinetische Energie beträgt

T({\vec {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mr^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )

.

Es ergeben sich z. B. nach Lagrange zwei gekoppelte Differentialgleichungen in den Variablen $\phi (t)$ und $\theta (t)$ . Diese haben folgende besondere Lösungen:

$\theta (t)\equiv 0$ stellt eine triviale Lösung dar: Das Pendel verharrt in seiner stabilen Gleichgewichtslage in Ruhe.
$\theta (t)\equiv \pi$ ist ebenfalls eine Lösung. Hierbei steht der Pendelkörper senkrecht über dem Aufhängepunkt. Es handelt sich um eine labile Gleichgewichtslage.
${\dot {\phi }}=0$ ist der Spezialfall des mathematischen Pendels. Es findet keine Rotation um die $z$ -Achse statt. Der Drehimpuls $L_{z}$ ist stets Null. Der Pendelkörper führt Schwingungen um seine Gleichgewichtslage aus. Bei sehr kleinen Auslenkungen können diese Schwingungen näherungsweise als harmonisch angesehen werden. (siehe Mathematisches Pendel; beachte, dass dort für die Winkelkoordinate $\varphi$ anstelle von $\theta$ geschrieben wird).
${\dot {\phi }}={\sqrt {\frac {g}{r\cos \theta }}}$ : Das Pendel rotiert mit einer fixen Auslenkung und konstanter Winkelgeschwindigkeit um die $z$ -Achse. Seine Bewegung gleicht hier einem Kegelpendel.
In allen anderen Fällen ergeben sich mehr oder weniger komplexe Bewegungen. Die Lösung wird dadurch erschwert, dass sich die Gleichungen nicht separieren lassen. Bemerkenswert ist unter anderem, dass (wegen $L_{z}={\text{const.}}\neq 0$ ) die Punkte $\theta =0$ und $\theta =\pi$ nie erreicht werden (außer in den drei oben genannten Fällen).