Symmetrie (Physik)

Unter einer Symmetrie (von altgriech. σύν syn „zusammen“, μέτρον métron „Maß“) versteht man in der Physik die Eigenschaften eines Systems, nach einer bestimmten Änderung (Transformation, insbesondere Koordinatentransformationen) unverändert zu bleiben (invariant zu sein). Wenn eine Transformation den Zustand eines Physikalischen Systems nicht verändert, werden diese Transformationen Symmetrietransformationen genannt. Unterschieden werden diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die nur eine endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen, sowie kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die eine unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen.

Die mathematische Beschreibung von Symmetrien erfolgt durch die Gruppentheorie.

Einordnung

Symmetrien spielen in der modernen physikalischen Forschung eine große Rolle. Wird in einem Experiment eine Symmetrie festgestellt, so muss die zugehörige Theorie, die durch eine Lagrangefunktion oder ein „Wirkungsfunktional“ dargestellt wird, invariant unter einer entsprechenden Symmetrieoperation sein. In den in der Teilchenphysik häufig verwendeten Eichtheorien, d. h. Theorien die invariant unter einer Eichtransformation sind, legt diese Symmetrie weitgehend Art und relative Stärke der Kopplungen der Teilchen untereinander fest.

• Erkenntnisse über Symmetrien erwiesen sich oft als Ausgangspunkte für gänzlich neue Theorien. So war die Invarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen ein Ausgangspunkt für Albert Einstein zur Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie, und gewisse Muster im Spektrum der Elementarteilchen führten zur Entwicklung des Quark-Modells für Atomkerne (z. B. für das Proton).

• Symmetrien sind eng mit Erhaltungssätzen verknüpft:

Das sog. Noether-Theorem besagt z. B., dass jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgröße zugeordnet werden kann. So folgt beispielsweise aus der Zeittranslationsinvarianz die Energieerhaltung des Systems; in der Hamiltonschen Mechanik gilt auch die Umkehrung. Für ein System mit Energieerhaltung gilt also die Zeittranslationsinvarianz als zugehörige Symmetrie.

• Wichtig sind nicht nur die Symmetrien selbst, sondern auch Symmetriebrechungen:

So wird in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung die Eichsymmetrie durch den Higgs-Mechanismus gebrochen, wozu das Higgs-Boson, benötigt wird. Auch können Symmetriebrechungsvorgänge in Zusammenhang mit Phasenübergängen stehen, ähnlich wie beim ferromagnetischen Phasenübergang.

Manche Symmetrien werden in der Theoretischen Physik erforscht, ohne dass bereits ein Nachweis erbracht ist, dass sie in der Natur vorkommt. Eine solche hypothetische Symmetrie ist die Supersymmetrie die eine gleiche Anzahl von Fermionen und Bosonen vorhersagt.

Übersicht

Folgende Tabelle gibt einen Überblick über wichtige Symmetrien und ihre Erhaltungsgrößen. Sie sind aufgeteilt in kontinuierliche und diskrete Symmetrien.

Symmetrie	Erhaltungsgröße	Typ	Bedeutung
Kontinuierliche („fließende“) Symmetrien
Translationsinvarianz	Impuls	geometrisch	Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Homogenität des Raumes genannt.
Zeitinvarianz	Energie	geometrisch	Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Homogenität der Zeit genannt.
Rotationsinvarianz	Drehimpuls	geometrisch	Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Isotropie des Raumes genannt.
Eichtransformationsinvarianz	Ladungsdichte	Ladung	Die Gesamtladungsdichte in einem abgeschlossenen System ist konstant.
SU(2) des starken Isospins	Baryonenzahl	Ladung	Die Baryonenzahl in einem abgeschlossenen System ist konstant.
SU(2) des schwachen Isospins	Leptonenzahl	Ladung	Die Leptonenzahl in einem abgeschlossenen System ist konstant.
Diskrete („abzählbare“) Symmetrien
C, Ladungskonjugation	−	Ladung	Werden die Vorzeichen aller Ladungen eines Systems umgedreht, so ändert sich dessen Verhalten nicht.
P, Räumliche Spiegelung	−	geometrisch	Wird ein System räumlich gespiegelt, ändert sich sein physikalisches Verhalten nicht. Die schwache Wechselwirkung verletzt diese Symmetrie jedoch (siehe Symmetriebrechung).
T, Zeitumkehr	−	geometrisch	Ein System verhielte sich genauso, wenn die Zeit rückwärts abliefe.
CPT	−	geometrisch	Ein vollkommen inverses (sowohl räumlich, als auch zeitlich, als auch ladungsgespiegeltes) System verhielte sich genauso wie das nichtgespiegelte.

Transformationen

Transformationen können wie die Symmetrien selbst stetig oder diskret sein. Ein Beispiel für eine stetige Transformation ist die Drehung eines Kreises um einen beliebigen Winkel. Beispiele für eine diskrete Transformation sind die Spiegelung einer zweiseitig symmetrischen Figur, die Drehung eines regelmäßigen Vielecks oder die Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von Gitterabständen. Die durchführbaren Transformationen bestimmen, um welchen Symmetrietyp es sich handelt. Während diskrete Symmetrien durch Symmetriegruppen (wie z.B. Punktgruppen und Raumgruppen) beschrieben werden, verwendet man zur Beschreibung stetiger Symmetrien Lie-Gruppen.

Transformationen, die nicht vom Ort abhängen, nennt man globale Transformationen. Kann der Transformationsparameter an jedem Ort (abgesehen von Stetigkeitsbedingungen) frei gewählt werden, spricht man von lokalen Transformationen oder von Eichtransformationen. Physikalische Theorien, deren Wirkung invariant unter Eichtransformationen sind, heißen Eichtheorien. Alle fundamentalen Wechselwirkungen, Gravitation, die elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung werden nach heutigem Wissen durch Eichtheorien beschrieben.

Symmetriebrechung

Die Thermodynamik ist nicht zeitinvariant, da „umgekehrte Wärmeströme“ (von kalt zu heiß) nicht existieren und die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet.

Analog ist die Schwache Wechselwirkung nicht invariant unter Raumspiegelung, wie 1956 im Wu-Experiment gezeigt wurde. Das Verhalten von K-Mesonen und B-Mesonen ist nicht invariant unter gleichzeitiger Spiegelung und Ladungsaustausch. Ohne diese CP-Verletzung wäre beim Urknall gleich viel Materie wie Antimaterie entstanden und jetzt noch in gleichem Ausmaß vorhanden. Erst durch die CP-Symmetriebrechung kann also die Baryonenasymmetrie, das ist das heutige Überwiegen von Materie, erklärt werden.

Beim Übergang von klassischen zu Quantentheorien können zusätzliche Symmetriebrechungen erfolgen. Beispiele sind der Higgs-Mechanismus als dynamischer Symmetriebruch und die chirale Anomalie.

Ein Beispiel aus der Chemie sind Spiegelbildisomere, die nicht nur gleich aussehen (bis auf die Spiegelung), sondern auch gleiche Energieniveaus und Übergangszustände haben. Aus einem prochiralen Molekül entstehen sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit bzw. Reaktionskinetik. Durch autokatalytische Reaktionsmechanismen, also spätestens mit der Entstehung des Lebens, ist jedoch die Spiegelbildsymmetrie spontan gebrochen, siehe Chiralität (Chemie)#Biochemie.

Symmetrisches Potential

Ein wichtiges Beispiel einer Symmetrie ist ein kugelsymmetrisches oder rotationssymmetrisches Potential, wie das elektrische Potential einer Punktladung (z. B. ein Elektron) oder das Gravitationspotential einer Masse (z. B. ein Stern). Das Potential ist nur vom Abstand zur Ladung oder zur Masse abhängig, nicht jedoch vom Winkel zu einer gewählten Achse. Es spielt also keine Rolle, welches Bezugssystem zur Beschreibung gewählt wird, solange sich Ladung oder Masse in dessen Ursprung befinden. Als Folge der Symmetrie gilt für ein Teilchen in einem kugelsymmetrischen Potential die Drehimpulserhaltung. Wegen fehlender Translationssymmetrie ist der Impuls des Teilchens in diesem Beispiel keine Erhaltungsgröße.

Weiterführendes

• Louis Michel: Symmetry defects and broken symmetry. Configurations Hidden Symmetry. In: Reviews of Modern Physics. 52, 1980, S. 617–651, doi:10.1103/RevModPhys.52.617.
• Werner Hahn: Symmetrie als Entwicklungsprinzip in Natur und Kunst. Mit einem Vorwort von Rupert Riedl. Königstein i. Ts. (Verlag Langewiesche) 1989
• Mouchet, A. "Reflections on the four facets of symmetry: how physics exemplifies rational thinking". European Physical Journal H 38 (2013) 661.
• Symmetry and Symmetry Breaking. Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• Walter Greiner, Berndt Mueller: Quantenmechanik. Symmetrien. 3. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-8171-1142-8. (Theoretische Physik. Band 5)