Bezugssystem

Ein Bezugssystem ist in der Physik ein raum-zeitliches Gebilde, das erforderlich ist, um das Verhalten ortsabhängiger Größen eindeutig und vollständig zu beschreiben. Insbesondere kann die Lage und Bewegung von physikalischen Körpern nur relativ zu einem Bezugssystem angegeben werden. Es wird definiert, indem man einen Bezugspunkt wählt und die Raumrichtungen festlegt, sowie einen physikalischen Prozess für die Zeitmessung bestimmt. Dadurch ist automatisch festgelegt, was unter „Ruhe“ und „Bewegung“ jeweils zu verstehen ist. Dies ist notwendig, weil verschiedene Beobachter denselben physikalischen Vorgang unterschiedlich beschreiben. Beispielsweise könnte ein Autofahrer behaupten, dass ihm ein Baum entgegenkommt, während ein Fußgänger am Straßenrand die Situation genau umgekehrt beschreibt.

Bezugspunkte und Koordinatensysteme

Skizze eines Bezugssystems

Als Bezugspunkt wird häufig ein Punkt eines realen Körpers gewählt, z. B. „die linke, vordere Ecke des Tisches“, „die Mitte des Bahnsteigs“ oder „das Zentrum der Sonne“.. Es kann sich aber auch um einen gedachten Punkt handeln, z. B. „der gemeinsame Schwerpunkt von Erde und Mond“ oder „ein frei fallendes Bezugssystem“.

Um die drei Raumrichtungen festlegen zu können, bedarf es noch mindestens zweier weiterer Punkte: Durch diese drei Punkte wird eine Ebene aufgespannt. Die dritte Dimension erhält man dann z. B. als Normale auf dieser Ebene. Damit hat man alle Voraussetzungen für die Definition eines Koordinatensystems, das zur Angabe von Raumpunkten verwendet werden kann. Deshalb wird der Begriff Bezugssystem in der Literatur auch gelegentlich synonym zum Begriff Koordinatensystem verwendet. Meist werden die Begriffe jedoch unterschieden, weil ein und dasselbe Bezugssystem (z. B. das der Erde) durch verschiedene Koordinatensysteme (z. B. kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten) beschrieben werden kann. Dabei lassen sich durch eine Koordinatentransformation die Raum- und Zeitkoordinaten eines beliebigen Vorgangs von einem Koordinatensystem in das andere umrechnen. Physikalische Formeln, die im selben Bezugssystem denselben Vorgang beschreiben, können daher bei Benutzung verschiedener Koordinatensysteme trotzdem ganz verschiedene Gestalt annehmen.

Haufig gewählte Bezugssysteme

Ruhesystem

Das Bezugssystem, in dem ein betrachteter Körper ruht, nennt man das Ruhesystem des betrachteten Körpers. Er besitzt in diesem Bezugssystem keine kinetische Energie, weder durch Translation noch durch Rotation, und befindet sich im Kräftegleichgewicht.

Laborsystem

Das Ruhesystem des Beobachters bzw. der Apparatur des betrachteten Experiments heißt Laborsystem. Es ist meist das naheliegendste Bezugssystem zur Beschreibung eines Experiments, aber nicht immer das am besten geeignete. Das Laborsystem ist – sofern es sich auf der Erde befindet – nur angenähert ein Inertialsystem.

Schwerpunktsystem

Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt eines physikalischen Systems zum Ursprung des Bezugssystems gewählt, er „ruht“ also. Für manche physikalischen Prozesse, z. B. den elastischen Stoß, erlaubt das Schwerpunktsystem eine besonders einfache Beschreibung, weil die Impulse der beiden beteiligten Körper hier per Definition entgegengesetzt gleich sind.

Inertialsystem

→ Hauptartikel: Inertialsystem

Ein Bezugssystem, in dem kräftefreie Teilchen ruhen oder mit konstanter Geschwindigkeit gerade Bahnen durchlaufen, heißt Inertialsystem. Dies besagt der Trägheitssatz. Die Ortskoordinaten ${\vec {r}}(t)$ dieser Bahnen sind linear inhomogene Funktionen der Zeit $t$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}(0)+{\vec {v}}\,t\,.$

Darin ist ${\vec {r}}(0)$ der Ort des Teilchens zur Zeit $t=0$, und ${\vec {v}}$ seine Geschwindigkeit. Solche Bezugssysteme sind bis auf die Wahl des Orts- und Zeitursprungs, die Wahl von drei Richtungen („oben, vorn, rechts“) und die Wahl einer konstanten Geschwindigkeit des ganzen Bezugssystems (gegenüber einem anderen Inertialsystem) festgelegt. Das bedeutet: Jedes Bezugssystem, das relativ zu einem Inertialsystem ruht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit gegenüber ihm bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem.

Beschleunigtes Bezugssystem

Ein Bezugssystem, das kein Inertialsystem ist, heißt beschleunigtes Bezugssystem.

Zur Erläuterung des Unterschiedes soll folgendes Beispiel dienen:

In einem Zug steht ein Kinderwagen. Das Bezugssystem, in dem der Bahnsteig ruht, ist näherungsweise ein Inertialsystem, das Bezugssystem des anfahrenden Zuges jedoch nicht. Der Kinderwagen erfährt längs der Fahrtrichtung keine Kräfte. Im Bezugssystem „Bahnsteig“ verharrt er also in Ruhe. Relativ zum anfahrenden Zug bewegt sich der Kinderwagen jedoch beschleunigt nach hinten.

In einem beschleunigten Bezugssystem bewegen sich also Körper, auf die vom Standpunkt des Inertialsystems aus keine Kräfte wirken, beschleunigt bzw. auf gekrümmten Bahnen. Da jedoch eine Beschleunigung ${\vec {a}}$ nach der Grundgleichung der Mechanik

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

immer durch eine Kraft ${\vec {F}}$ verursacht wird, schließt der Beobachter im beschleunigten Bezugssystem auf eine Kraft, die es für den Beobachter im Inertialsystem gar nicht gibt. Solche Kräfte werden Scheinkräfte oder Trägheitskräfte genannt. Für den Beobachter im beschleunigten Bezugssystem sind sie aber, obwohl sich keine Ursache für sie finden lässt, genauso real wie alle anderen Kräfte. So verharrt ein Körper im beschleunigten System nur dann in Ruhe, wenn es eine zu der Trägheitskraft entgegengesetzte Kraft gibt, die den Körper im Gleichgewicht hält. Im obigen Beispiel bedeutet das: Jemand muss den Kinderwagen festhalten, sonst rollt er weg.

Rotierendes Bezugssystem

Ein rotierendes Bezugssystem führt verglichen mit einem Inertialsystem eine Drehbewegung aus. Obwohl an dieser Situation nichts beschleunigt erscheint (sofern die Winkelgeschwindigkeit konstant ist), gehört das rotierende Bezugssystem zu den beschleunigten Bezugssystemen. Körper, die sich außerhalb der Drehachse befinden, erfahren im rotierenden Bezugssystem eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft. Sie verharren nur dann in Ruhe, wenn gleichzeitig eine nach innen gerichtete Zentripetalkraft auf sie einwirkt. Betrachtet man dieselbe Situation von einem Inertialsystem aus, so bewirkt die Zentripetalkraft gerade diejenige nach innen gerichtete Beschleunigung, die die Körper auf ihren Kreisbahnen um die Drehachse hält (siehe etwa Kettenkarussell).

Neben der Zentrifugalkraft wirkt auf einen Körper, wenn in einem rotierenden Bezugssystemen nicht ruht, sondern sich relativ zu ihm bewegt, noch eine zweite Scheinkraft: die Corioliskraft. Steht man auf einer rotierenden Scheibe, so spürt man nur die Zentrifugalkraft als eine Kraft, die einen stets von der Drehachse weg nach außen drückt. Versucht man, auf der Scheibe zu gehen, tritt die Corioliskraft hinzu. Sie ist immer zur Bewegungsrichtung seitwärts gerichtet und lässt einen eine Kurve beschreiben. Versucht man z. B., geradeaus auf die Drehachse zu (oder von ihr weg) zu gehen, wird man abgelenkt. Läuft man auf der Scheibe auf einem Kreis gegen die Drehrichtung um die Achse herum, ist die Corioliskraft der Zentrifugalkraft entgegengerichtet. Läuft man gerade so schnell, dass man von außen (von einem Inertialsystem aus) betrachtet ruht, dann bleibt man kräftefrei, weil die Corioliskraft die Zentripetalkraft genau aufhebt.

Die Erde als Bezugskörper definiert ein rotierendes Bezugssystem. Jedoch können aufgrund der langsamen Erdrotation die Unterschiede zu einem Inertialsystem oft vernachlässigt werden, so z. B. bei vielen physikalischen Vorgängen im Alltag. Im Labor sind die Unterschiede nur mit speziellen Experimenten wie dem Foucaultschen Pendel nachweisbar. Großräumig haben sie aber unübersehbaren Einfluss z. B. auf Meeresströmungen und Wetter.

Wechsel des Bezugssystems

Die genaue Beschreibung eines physikalischen Phänomens hängt im Allgemeinen vom gewählten Bezugssystem ab, zum Beispiel die beobachteten Werte für Ortskoordinaten und Zeiten und damit alle daraus gebildeten Größen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung etc. Je nach Bezugssystem erscheinen die Beobachtungen desselben konkreten Vorgangs verschieden, so dass daraus verschiedene Formeln abgelesen werden und unter Umständen verschiedene Schlüsse hinsichtlich des Ablaufs des Vorgangs oder der ihm zugrundeliegenden physikalischen Gesetze gezogen werden können.

Größen und mathematische Beziehungen, die bei einem Wechsel des Bezugssystems unverändert bleiben, nennt man invariant.

Einfache Beispiele

Siehe auch Kinematik (Teilchenprozesse)

Welche Kugel stößt die andere an?

Auf einem Billardtisch, d. h. im Laborsystem, stößt eine rote Billardkugel zentral gegen eine ruhende weiße und bleibt dann liegen. In einem anderen Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit so bewegt, dass die rote Kugel darin anfangs ruht, kommt die weiße Kugel mit entgegengesetzter Geschwindigkeit auf die ruhende rote Kugel zu, stößt sie an und bleibt dann liegen, während die rote Kugel sich nun mit der anfänglichen Geschwindigkeit der weißen davonbewegt. In einem dritten Bezugssystem, dem Schwerpunktsystem beider Kugeln, bewegen sich beide Kugeln erst aufeinander zu, stoßen zusammen, und bewegen sich voneinander weg, stets mit gleicher Geschwindigkeit, die gerade halb so groß ist wie die Anfangsgeschwindigkeit der roten Kugel im ersten Bezugssystem. Die Frage, welche Kugel die andere anstößt, ist keine physikalisch sinnvolle Frage.

Unter welchem Winkel fliegen die Kugeln auseinander?

Im Bezugssystem „Billardtisch“ gilt die allgemeine Regel, dass nach einem nicht zentralen Stoß der roten gegen die ruhende weiße Billardkugel sich beide unter genau 90° auseinander bewegen. Im Schwerpunktsystem dagegen bilden ihre Bewegungsrichtungen nach dem Stoß stets einen Winkel von 180° (genau so wie vor dem Stoß, nur längs einer anderen Richtung). Keine dieser beiden Regeln ist ein allgemeines Naturgesetz.

Koordinatentransformation von einem Bezugssystem in ein anderes

Wird ausgehend von einem Bezugssystem ein zweites definiert, dann lassen sich mittels einer Koordinatentransformation für jeden Punkt und jeden Zeitpunkt die in einem Bezugssystem gültigen Koordinaten durch die Koordinaten aus dem anderen Bezugssystem ausdrücken. Im Fall einer konstanten Geschwindigkeit der Bezugssysteme gegeneinander ist für kartesische Koordinaten die Lorentz-Transformation anzuwenden. Für Geschwindigkeiten, die viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit, kann sie durch die Galilei-Transformation angenähert werden, die nicht nur mathematisch einfacher, sondern auch mit der unmittelbaren Anschauung verträglich ist (z. B. sind räumliche und zeitliche Abstände invariant). Zu demselben Vorgang gehören in den beiden Bezugssystemen dann verschiedene Beschreibungen, die nach Umrechnung mit der korrekten Koordinatentransformation aber vollständig übereinstimmen müssen.

Relativitätsprinzip

Nach dem Relativitätsprinzip sind beliebige zwei Bezugssysteme, die sich relativ zueinander geradlinig gleichförmig bewegen, äquivalent. Das heißt, es gibt keinen physikalischen Prozess, an dem man neben der Tatsache, dass die beiden Bezugssysteme sich relativ zueinander bewegen (und den notwendigen Folgen wie z. B. Doppler-Effekt), ein weiteres Unterscheidungsmerkmal zwischen ihnen beobachten könnte. Daher müssen die grundlegenden physikalischen Gesetze gegenüber dem Wechsel zwischen diesen Bezugssystemen invariant sein. Hat das Gesetz die Gestalt einer Formel, in der die Koordinaten des jeweiligen Bezugssystems auftreten, dann müssen die Formeln für beide Koordinatensysteme exakt gleich aussehen, und die eine muss sich aus der anderen ergeben, wenn man die Koordinaten darin durch die des anderen Bezugssystems ausdrückt. Mathematisch gesagt müssen die Naturgesetze invariant gegenüber der Koordinatentransformation sein. Als Folge sind Begriffe wie "absolute Ruhe" oder "absolute Bewegung" physikalisch sinnlos, weil nicht nachweisbar.

Geschichte

Mechanik

Huygens: Zwei Beobachter (einer im Boot, einer an Land) beschreiben die Kollision zwischen zwei Kugeln unterschiedlich.

Bei Aristoteles ist der natürliche Zustand eines Körpers die absolute Ruhe. Wenn der Körper sich bewegt, so nur durch einen inneren Antrieb oder einen äußeren Zwang. Für ihn sind Ruhe und Bewegung objektiv unterscheidbare Dinge, also gibt es in der Physik des Aristoteles nur ein objektives Bezugssystem: Die Erde.

Mit Beginn der Neuzeit erkannten im 17. Jhdt. Galileo Galilei und Isaac Newton, dass kräftefreie Körper nicht von selbst in einen Ruhezustand übergehen, sondern sich mit ihrer momentanen Geschwindigkeit geradlinig weiterbewegen und somit in ihrem Bewegungszustand verharren. Dieses „Beharrungsvermögen“ wird Trägheit genannt und gilt gleichermaßen für ruhende und bewegte Körper. Ob sich ein Körper geradlinig bewegt oder ruht, hängt daher lediglich vom Standpunkt des Beobachters, d. h. von seinem Bezugssystem ab.

Ebenfalls im 17. Jhdt. untersuchte Christiaan Huygens die Unterschiede in den Beschreibungen eines einfachen mechanischen Vorgangs in verschiedenen Bezugssystemen. Er beschrieb etwa einen elastischen Stoß zweier Gegenstände vom Ufer und von einem vorüberfahrenden Schiff aus gesehen. Das diente ihm u. a. zur Präzisierung des Begriffs "Bewegungsgröße" oder Impuls.

Bis Anfang des 20. Jhdts. wurden verschiedene elementare Größen stillschweigend als invariant bei Wechsel des Bezugssystems angesehen, so z. B. räumliche und zeitliche Abstände. Einstein postulierte in der speziellen Relativitätstheorie im Jahr 1905, dass alle Inertialsysteme physikalisch gleichwertig seien (s. Relativitätsprinzip) und dass die Lichtgeschwindigkeit nicht vom Bewegungszustand der Lichtquelle abhinge. Daraus folgt direkt die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit. Wenn die Lichtgeschwindigkeit jedoch im Gegensatz zu allen anderen Geschwindigkeiten in allen Bezugssystemen gleich ist, so können Zeiten und Längen nicht invariant sein.

Elektrodynamik

→ Hauptartikel: Äther (Physik)

Bis Anfang des 20. Jhdt. wurde nach einem Medium gesucht, das die Wellenausbreitung des Lichtes ermöglicht. Die Unmöglichkeit, Effekte der Bewegung gegenüber diesem hypothetischen Äther nachzuweisen, führte zur Aufstellung des oben genannten Relativitätsprinzips und der daraus sich ergebenden Relativitätstheorie. Demnach musste die Vorstellung des Äthers fallen gelassen werden. Einstein konnte in seiner speziellen Relativitätstheorie weiterhin die Verwandtschaft von elektrischen und magnetischen Feldern erklären, die sich in den Maxwellschen Gleichungen schon gezeigt hatte. Demnach gehen magnetische Felder aus den elektrischen Feldern hervor, wenn man das Bezugssystem wechselt, und umgekehrt.

Astronomie und Kosmologie

→ Hauptartikel: geozentrisches Weltbild und heliozentrisches Weltbild

Aristoteles verwandte ausschließlich das geozentrische Bezugssystem und formulierte seine Bewegungsgesetze nur in Bezug auf dieses. Ptolemäus folgte ihm und schuf das bis ins 17. Jhdt hinein dominierende geozentrische Weltbild, das u. a. von der katholischen Kirche stark verteidigt wurde (vgl. Galilei-Prozess). Kopernikus beschrieb Mitte des 16. Jhdts. das Planetensystem im heliozentrischen Bezugssystem. Darin bewegt sich der Beobachter mit der Erde mit, wodurch die in seinem Bezugssystem kompliziert scheinenden Schleifenbewegungen der äußeren Planeten eine einfache Erklärung finden. Mit dem Apparat der Newtonschen Mechanik konnten die Planetenbewegungen sehr präzise vorhergesagt werden, wenn man als Bezugspunkt den Schwerpunkt des Sonnensystems nahm. Da dieser jedoch nicht allzu weit vom Mittelpunkt der Sonne entfernt ist, ist das heliozentrische Weltbild ein brauchbar angenähertes Modell.

Wenn man sich gedanklich von der Erde entfernt, erscheint je nach Größenskala ein anderes Bezugssystem sinnvoll: Im Bezugssystem Erde-Mond bewegen sich beide Himmelskörper um den gemeinsamen Schwerpunkt. Im Bezugssystem Sonnensystem bewegt sich die Erde auf einer Ellipse um die Sonne. Im Bezugssystem Milchstraße bewegt sich das Sonnensystem um das Zentrum der Milchstraße. Usw.

Nach der Relativitätstheorie dürfte es an und für sich gar kein universelles Bezugssystem geben. Allerdings gibt es nur ein Bezugssystem, in dem die kosmische Hintergrundstrahlung isotrop ist. Dieses könnte man theoretisch als das „Ruhesystem des Universums“ ansehen. Dies ändert an dem Relativitätsprinzip jedoch nichts.