Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators. Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.

Definition

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra $L\left(H\right)$ der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums $H$, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• $A=A''$.
• $A$ ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.
• $A$ ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.

Hierbei ist $A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}$ die Kommutante von $A$ und entsprechend $A''$ die Kommutante von $A'$.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

• Ist $A\subset L(H)$ eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist $A''$ der Abschluss von $A$ sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

• Eine Von-Neumann-Algebra $A$ ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums $A_{\star }$ ist.

Faktoren

Die Von-Neumann-Algebra $A$ heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• $A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}$.
• $A\cup A'$ erzeugt $L\left(H\right)$.

Da $A\cap A'$ die Menge der Operatoren aus $A$ ist, die mit allen Operatoren aus $A$ kommutieren, ist $A\cap A'$ das Zentrum von $A$. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

$L\left(H\right)$ und $\mathbb {C} \cdot 1_{H}$ sind Beispiele für Faktoren. Mit $A$ ist auch $A'$ ein Faktor; offenbar gilt $L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}$ und $(\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)$.

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

Kommutative Von-Neumann-Algebren

Sei $(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Dann ist $H=$ L²$(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion $f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ definiert via Multiplikation einen Operator $M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g$. Die Abbildung $f\to M_{f}$ ist ein *-Isomorphismus von $f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ auf eine kommutative Von-Neumann-Algebra ${\mathcal {M}}\subset L(H)$, man kann sogar ${\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}$ zeigen, das heißt, die Algebra ${\mathcal {M}}$ stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, ${\mathcal {M}}$ ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum $([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )$ (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von $\{M_{f};\,f\in C([0,1])\}$ mit ${\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])$ zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt $C([0,1])$ zum maßtheoretischen Konstrukt $L^{\infty }([0,1])$ entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Eigenschaften

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

Siehe auch

• Typ I Von-Neumann-Algebra
• Typ II Von-Neumann-Algebra
• Typ III Von-Neumann-Algebra
• Tomita-Takesaki-Theorie

Literatur

• Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
• Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras, Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
• Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.